在向量空間Fx課件

1、 向量空間（Vector Spaces）又稱線性空間（Linear Spaces）. 本章的特點(diǎn)及要求： 向量空間是線性代數(shù)的最基本的、最重要的概念之一，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必備的內(nèi)容. 向量空間產(chǎn)生有著豐富的數(shù)學(xué)背景，又在許多領(lǐng)域（包括數(shù)學(xué)本身）中有著廣泛的應(yīng)用，例如：線性方程組解的結(jié)構(gòu). 向量空間是我們遇到的第一抽象的代數(shù)系統(tǒng).所謂代數(shù)系統(tǒng)，就是帶有運(yùn)算的集合.6.1向量空間的定義和例子 一、引例定義產(chǎn)生的背景 例1 設(shè) F 是一個(gè)數(shù)域， 表示上mn矩陣的集合，回憶一下 上所能夠施行的運(yùn)算（教材P182）：只有加法和數(shù)乘兩種，并且滿足(教材P183)： A+B=B+A(A+B)+C= A+(

2、B+C) OA=AA+(-A)=Oa(A+B)= aA+Ab(a+b)B=a B +Bb(ab)A=a(b)A還有一個(gè)顯而易見(jiàn)的：8. 1AA例2 設(shè)R是實(shí)數(shù)域，V3表示空間向量的集合.兩個(gè)向量可以作加法（平行四邊形法則），可以用R中的一個(gè)數(shù)乘一個(gè)向量，加法和數(shù)乘滿足同樣的8條性質(zhì).按照解析幾何的方法，向量可以用的坐標(biāo)（x,y,z）來(lái)表達(dá)，加法和數(shù)乘都有表達(dá)式，類似的問(wèn)題許多，有必要總結(jié)它們的共性： 涉及兩個(gè)集合（其中一個(gè)集合）. 涉及兩種運(yùn)算（什么樣的運(yùn)算？）. 滿足8條運(yùn)算性質(zhì).二、 向量空間的定義抽象出的數(shù)學(xué)本質(zhì)定義1設(shè)F是一個(gè)數(shù)域，V是一個(gè)非空集合.我們把V中的元素稱為向量，V稱為向量

3、空間，如果下列條件成立：閉合性：(c1) V上有(閉合的)加法運(yùn)算，即：對(duì)任意u,v屬于V, 一定有u+v屬于V.(c2) F上的數(shù)對(duì)V上的向量有 (閉合的)數(shù)乘運(yùn)算，即：對(duì)任意F中數(shù)a 和V中元素v, 一定有： av屬于V.加法的性質(zhì)：(a1) u+v= v +u，對(duì)所有u和v屬于V.(a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 對(duì)所有u、v和w屬于V.(a3) V中存在一個(gè)向量，記作o, 它滿足：v+o= v 對(duì)所有V中的v.(a4) 給定V中每一個(gè)向量v, V中存在一個(gè)向量u滿足： u+v= 0. 這樣的u稱為v的負(fù)向量.乘法的性質(zhì)：(m1) (m2) (m3) (m4) 1u= u 對(duì)

4、所有u屬于V. 三、進(jìn)一步的例子加深定義的理解例3按照定義1， 是數(shù)域F上的向量空間，稱為矩陣 空間. （1） 統(tǒng)稱為元向量空間，統(tǒng)一用符號(hào) 表示. （2） 是解析幾何的坐標(biāo)平面、坐標(biāo)空間的推廣它是常 用的一類. 例4 數(shù)域F上一元多項(xiàng)式集合Fx按照通常的加法與數(shù)乘構(gòu)成F上的向量空間，稱為多項(xiàng)式空間.證明：根據(jù)多項(xiàng)式加法和數(shù)乘的定義， (c1) f(x)+g(x) Fx, 任給f(x),g(x) Fx. (c2) f(x) Fx，任給 F，f(x) Fx. (a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任給f(x),g(x) Fx. (a2) f(x)+g(x)+h(x)= f(

5、x)+ g(x) +h(x) , 任給f(x),g(x),h(x) Fx. (a3) 0向量就是零多項(xiàng)式. (a4) f(x)的負(fù)向量為（- f(x)）.(m1) f(x)= f(x). (m2) f(x)+g(x)= f(x)+ g(x). (m3) f(x)= f(x)+ f(x). (m4) 1 f(x)= f(x). 例5 Ca,b表示區(qū)間a,b上連續(xù)實(shí)函數(shù)按照通常的加法與數(shù)乘構(gòu)成實(shí)數(shù)域R的向量空間，稱為函數(shù)空間.證明：比照例3，給出完整步驟.例6 （1）數(shù)域F是F上的向量空間.（2）R是Q上的向量空間，R是否為C上的向量空間？注2：這個(gè)例子說(shuō)明向量空間與F有關(guān).例7 設(shè)數(shù)域取R, 集

6、合為R+(實(shí)數(shù))，加法和數(shù)乘定義為：證明 關(guān)于給定的運(yùn)算構(gòu)成R上的向量空間. 證明：注3：運(yùn)算可以是通常的，可以重新定義的.注4：向量空間與運(yùn)算有關(guān).注5：證明向量空間需要10條性質(zhì)，其中：8條是驗(yàn)證，2條需要解方程求出零向量與負(fù)向量. 例8 在上定義加法和數(shù)乘： 證明 關(guān)于給定運(yùn)算構(gòu)成R上的向量空間. 證明：留作課外練習(xí).四、簡(jiǎn)單性質(zhì)（1） 零向量0是唯一的.（2） 一個(gè)向量v的負(fù)向量是唯一的，用（- v）表示.（3）0v0， 00. （4）(-v)= （5）6.2 子空間學(xué)習(xí)目標(biāo) 1理解并掌握子空間的概念.2掌握子空間的判別方法，熟悉幾種常見(jiàn)的子空間.3掌握子空間的交與和的概念.一、子空間

7、的概念1、定義：設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)向量空間，W是V 的一個(gè)非空子集. （1）如果W中任意兩個(gè)向量的和仍在W內(nèi)，那么就說(shuō)，W對(duì)于V的加法是封閉的. （2）如果對(duì)于W中任意向量和數(shù)域F中任意數(shù)a，a仍在W內(nèi)，那么就說(shuō)，W 對(duì)于標(biāo)量與向量的乘法是封閉的.2、定理：設(shè)W是數(shù)域F上向量空間V的一個(gè)非空子集.如果W 對(duì)于V 的加法以及標(biāo)量與向量乘法是封閉的，那么本身也作成上一個(gè)向量空間. 3、定義：令W是數(shù)域F上向量空間V的一個(gè)非空子集.如果W 對(duì)于V 的加法以及標(biāo)量與向量的乘法來(lái)說(shuō)是封閉的，那么就稱W是V 的一個(gè)子空間. 注：V的一個(gè)子空間也是F上一個(gè)向量空間，并且一定含有V的零向量。例： 向量空間V總

8、是它自身的一個(gè)子空間。另一方面，單獨(dú)一個(gè)零向量所成的集合0顯然對(duì)于V的加法和標(biāo)量與向量的乘法是封閉，因而也是V的一個(gè)子空間，稱為零空間。 注：一個(gè)向量空間V本身和零空間叫做V的平凡子空間。V的非平凡子空間叫做V的真子空間。 例： 是不是 的子空間？ 是不是 的子空間？解 U中的矩陣是上三角形矩陣，顯然U為向量空間 的非空子集。又中 的運(yùn)算是矩陣的加法及數(shù)與矩陣的乘法，而兩個(gè)上三角形的和仍是一個(gè)上三角形矩陣，一個(gè)數(shù)與一個(gè)上三角形矩陣的乘積仍是上三角形矩陣，所以，由子空間的定義 ，U是 的 一個(gè)子空間。 不是 的子空間，因?yàn)閚階單位矩陣I及 I W，但 在空間V2里，平行于一條固定直線的一切向量空

9、間作成V2的一個(gè)子空間。在間間V3里，平行于一條固定直線或一張固定平面的一切向量分別作成V3的子空間。例：例：中一切形如的向量作成 的一個(gè)子空間。 例： F x中次數(shù)不超過(guò)一個(gè)給定的整數(shù)n的多項(xiàng)式全體連同零多項(xiàng)式一起作成F x的一個(gè)子空間。 例：閉區(qū)間a,b上一切可微分函數(shù)作成C a,b的一個(gè)子空間。例： 設(shè) (1) 把滿足AX = 0的解X表示為 ，顯然 。并記AX = 0的解集為 證明 是向量空間 的一個(gè)子空間。(2) 記AX = 的解集為 是否也是 的一個(gè)字空間？這里證明 ：（1）首先， ，且A0 = 0，所以， 。 其次，如果 那么 所以 ，對(duì)于任何 。故 對(duì)于 的兩種運(yùn)算封閉， 是向

10、量空間 的一個(gè)子空間。4、定理：向量空間W的一個(gè)非空子集W是V的一個(gè)子空間，要且只要對(duì)于任意a,bF和任意,W，都有 a+bW （2）可以知道，在0 的時(shí)候， 不一定是 的子空間。因?yàn)閷?duì)任何 ，都有A (X + Y) = AX +AY =+，故 對(duì) 的加法不封閉。 二、子空間的交與和1、設(shè)W1，W2是向量空間V的二個(gè)子空間，那么它們的交W1W2也是V的一個(gè)子空間.2、一般，設(shè) Wi 是向量空間V的一組子空間（個(gè)數(shù)可以有限，也可以無(wú)限）.則 也是V的一個(gè)子空間.3、注：二個(gè)子空間W1與W2 的并集，一般說(shuō)來(lái)不是子空間由于0W1，0W2，所以0=0+0W1+W2，因此W1+W2。設(shè)a, bF, ,

11、W1+W2, 那么, 因?yàn)閃1,W2都是子空間,所以 , ,于是這就證明了W1+W2是V的子空間,這個(gè)子空間叫做W1與W2 的和. 6.3向量的線性相關(guān)一、內(nèi)容分布6.3.1 線性組合與線性表示6.3.2 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)6.3.3 向量組等價(jià)6.3.4 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組二、教學(xué)目的 1準(zhǔn)確理解和掌握向量的線性相關(guān)性概念及判別 2理解向量組的等價(jià)及極大無(wú)關(guān)組的概念3掌握向量的線性相關(guān)性證明及極大無(wú)關(guān)組求法 三、重點(diǎn)、難點(diǎn) 線性相關(guān)性（無(wú)關(guān)）、向量組的極大線性無(wú)關(guān)組等概念，替換定理的證明6.3.1 線性組合與線性表示定義1 設(shè) 是向量空間V的r個(gè)向量， 是數(shù)域F中任意r個(gè)數(shù). 我們把和叫

12、做向量 的一個(gè)向量組合.如果V 中某一向量可以表示成向量 的線性組合，我們也說(shuō)可以由 線性表示.零向量顯然可以由任意一組向量 線性表示，因?yàn)?.3.2 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)定義2 設(shè) 是向量空間V的r個(gè)向量。如果存在F中不全為零的數(shù) 使得（1）那么就說(shuō) 線性相關(guān).如果不存在F中不全為零的數(shù) 使得等式（1）成立，換句話說(shuō)，等式（1）僅當(dāng) 時(shí)才成立，那么就說(shuō)，向量 線性無(wú)關(guān).例1 令F是任意一個(gè)數(shù)域。 中向量1=（1,2,3），2=（2,4,6），3=（3,5,-4）線性相關(guān)。例2 判斷 的向量1=（1,-2,3），2=（2,1,0），3=（1,-7,9）是否線性相關(guān)。例3 在向量空間F x里，對(duì)于

13、任意非負(fù)整數(shù) n ,線性無(wú)關(guān)。 命題6.3.1 向量組 中每一個(gè)向量 都可以由這一組向量線性表示. 命題6.3.2 如果向量可以由 線性表示，而每一個(gè)又都可以由 線性表示，那么可以由 線性表示.命題6.3.3 如果向量組 線性無(wú)關(guān),那么它的任意一部分也線性無(wú)關(guān).一個(gè)等價(jià)的提法是:如果向量組 有一部分向量線性相關(guān),那么整個(gè)向量組 也線性相關(guān).命題6.3.4 設(shè)向量組 線性無(wú)關(guān),而 線性相關(guān).那么一定可以由 線性表示.定理 6.3.5 向量 線性相關(guān),必要且只要其中某一個(gè)向量是其余向量的線性組合.6.3.3 向量組等價(jià)定義3 設(shè) 和 是向量空間V的兩個(gè)向量組,如果每一個(gè) 都可以由 線性表示,而每一

14、 也可以由 線性表示, 那么就說(shuō)這兩個(gè)向量組等價(jià).例4 向量組1=(1,2,3), 2=(1,0,2)與向量組1=(3,4,8), 2=(2,2,5), 3=(0,2,1)等價(jià).等價(jià)的概念顯然具有傳遞性:如果 與 等價(jià),而后者又與 等價(jià), 那么 與 等價(jià).定理6.3.6 (替換定理）設(shè)向量組 線性無(wú)關(guān),并且每一 都 可以由向量組線性表示,那么rs, 并且必要時(shí)可以對(duì) 中向量重新編號(hào),使得用 替換后所得的向量 與 等價(jià). 推論6.3.7 兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組含有相同個(gè)數(shù)的向量。6.3.4 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組(1) 線性無(wú)關(guān)；定義4 向量組 的一部分向量組 叫做一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)部分組（簡(jiǎn)

15、稱極大無(wú)關(guān)組），如果 (2)每一 ，j = 1, n,都可以由 線性表示。例5看F3的向量組在這里 線性無(wú)關(guān)，而 ,所以 是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。另一方面，容易看出， ， 也是向量組 的極大無(wú)關(guān)組。推論6.3.8 等價(jià)的向量組的極大無(wú)關(guān)組含有相同個(gè)數(shù)的向量.特別，一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組含有相同個(gè)數(shù)的向量。 6.4 基和維數(shù) 一、內(nèi)容分布6.4.1 子空間的生成元6.4.2向量空間的基與維數(shù)6.4.3 維數(shù)定理6.4.4余子空間與子空間的直和二、教學(xué)目的 1掌握有限維向量空間基與維數(shù)的概念及其求法2理解基在向量空間理論中所起的作用三、重點(diǎn)、難點(diǎn) 基和維數(shù)的概念及求法、維數(shù)定理 6.4.1 子空

16、間的生成元設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)向量空間. 考慮 的一切線性組合所成的集合。這個(gè)集合顯然不空，因?yàn)榱阆蛄繉儆谶@個(gè)集合.其次,設(shè)那么對(duì)于任意仍是 的一個(gè)線性組合,因此, 的一切線性組合作成V的一個(gè)子間.這子空間叫做由 所生成的子空間,并且用符號(hào) 表示,向量 叫做這個(gè)子空間的一組生成元.例1看 如下的n個(gè)向量:這里除 第 i 位置是1外,其余位置的元素都是零. 令是 中任意一個(gè)向量。我們有因此, , 而 是 的一組生成元.例2F X在里,由多項(xiàng)式 所生成的子空間是就是F上一切次數(shù)n不超過(guò)的多項(xiàng)式連同零多項(xiàng)式所生成的子空間.設(shè) 是向量組 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.由命題6.3.2,子空間 的每一個(gè)向量都可以由

17、 線性表示.另一方面， 的任意一個(gè)線性組合自然是 中的向量. 定理6.4.1 設(shè) 是向量空間V 的一組不全為零的向量,而 是它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.那么根據(jù)這個(gè)定理,如果子空間 不等于零子空間, 那么它總可以由一個(gè)線性無(wú)關(guān)的生成元生成.6.4.2 向量空間的基定義1 設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)向量空間.V中滿足下列兩個(gè)條件的向量組 叫做V的一個(gè)基:（1） 線性無(wú)關(guān)； （2）V的每一個(gè)向量都可以由 線性表示.根據(jù)這個(gè)定義，向量空間V的一個(gè)基就是V的一個(gè)組線性無(wú)關(guān)的生成元。例3 由例1可得， 中向量組 是 的一組生成元。顯然這組向量是線性無(wú)關(guān)的，因此 是 的一個(gè)基。這個(gè)基叫做的標(biāo)準(zhǔn)基。例4 在空間 里，任意兩

18、個(gè)不共的向量 都構(gòu)成一個(gè)基；在 里，任意三個(gè)不共面的向量 都構(gòu)成一個(gè)基。定義 一個(gè)向量空間的基所含向量的個(gè)數(shù)叫做的維數(shù)零空間的維數(shù)定義為空間的維數(shù)記作dim這樣，空間的維數(shù)是；的維數(shù)；n的維數(shù)是n；上一切mn矩陣所成的向量空間是維數(shù)是mn如果一個(gè)向量空間不能由有限個(gè)向量生成，那么它自然也不能由有限個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量生成在這一情況，就說(shuō)這個(gè)向量空間是無(wú)限維的定理. 例5 x作為上向量空間，不是有限生成的，因而是無(wú)限維的.設(shè) 是向量空間的一個(gè)基那么的每一個(gè)向量可以唯一地被表成基向量 的線性組合定理.3 n維向量空間中任意多于n個(gè)向量一定線性相關(guān) 定理. 設(shè) 是n維向量空間中一組線性無(wú)關(guān)的向量那么總可

19、以添加 n r 個(gè)向量 ，使得 作為的一個(gè)基特別，n維向量空間中任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都可以取作基6.4.3 維數(shù)定理定理. 設(shè)和都是數(shù)域上向量空間的有限維子空間那么也是有限維的，并且dim（）dimdimdim（）6.4.4 余子空間與子空間的直和定理. 6 設(shè)向量空間V是子空間W與W的直和 . 那么V中每一向量 可以唯一地表成 W W 定理 6.4.7 n 維向量空間V的任意一個(gè)子空間W都有余子空間 , 如果W是W的一個(gè)余子空間 , 那么dimV = dimW + dimW.6.5 坐 標(biāo)一、內(nèi)容分布6.5.1 坐標(biāo)的概念及其意義6.5.2 過(guò)渡矩陣6.5.3坐標(biāo)變換公式二、教學(xué)目的 1.

20、理解向量空間中坐標(biāo)的概念及其意義.2.掌握坐標(biāo)變換公式，過(guò)渡矩陣的概念及性質(zhì).三、重點(diǎn)、難點(diǎn) 坐標(biāo)變換公式，過(guò)渡矩陣 6.5.1 坐標(biāo)的概念及其意義定義1 設(shè) ， 是V的一個(gè)基則 稱為 關(guān)于基 的坐標(biāo).例1 的向量 關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)基的坐標(biāo)就是 例2 的向量 關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)基 的坐標(biāo)是 . 關(guān)于基 的坐標(biāo)是，這里c F. 例3 的向量 關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)基 的坐標(biāo)是 .（i） 關(guān)于基 的坐標(biāo)是；（ii ） 關(guān)于基 的坐標(biāo)是；，這里a F . 注：向量的坐標(biāo)依賴于基的選擇，即同一向量關(guān)于不同基的坐標(biāo)一般是不同的 .設(shè) 關(guān)于基 的坐標(biāo)分別是和 ，則定理6. 5. 16.5.2 過(guò)渡矩陣定義2 設(shè) ， 、 是V的兩個(gè)基，若

21、關(guān)于基 的坐標(biāo)是 ，則矩陣叫做基 到基 的過(guò)渡矩陣1基 到基 的過(guò)渡矩陣是T，則基 到基 的過(guò)渡矩陣是設(shè) ， ，則2基 到基 的過(guò)渡矩陣是，即 ，即 。 ， ，所以基 到基 的過(guò)渡矩陣是，即則 。所以基 到基 的過(guò)渡矩陣是TH例4 考慮中 以下兩組向量： 證明： 和 都是的基求出由基 到基 的過(guò)渡矩陣。證明：易知 ，這里 是 的標(biāo)準(zhǔn)基。所以 。因此，由基 到 的過(guò)渡矩陣是 6.5.3 坐標(biāo)變換公式定理6. 5. 2 設(shè) 關(guān)于基 的坐標(biāo)是 ，即 關(guān)于基 的坐標(biāo)是 ，即(1)(2)基 到基 的過(guò)渡矩陣是T，即(3)由（2）和（3）得 (4)比較（1）和（4）得 例5 取 的兩個(gè)彼此正交的單位向量

22、,它們作成 的一個(gè)基令分別是由旋轉(zhuǎn)角所得的向量那么 也是 的一個(gè)基 到 的過(guò)渡矩陣是這正是平面解析幾何里,旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸的坐標(biāo)變換公式例6 考慮 的向量證明： 構(gòu)成 的一個(gè)基，并且求出向量 (4,12,6)關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)易知 ，這里所以 ，向量(4,12,6)關(guān)于這個(gè)基 的坐標(biāo)是 證明：6.6向量空間的同構(gòu) 一、內(nèi)容分布6.6.1 同構(gòu)映射6.6.2 同構(gòu)映射的性質(zhì)6.6.3向量空間的同構(gòu)二、教學(xué)目的 1.理解向量空間同構(gòu)的概念、性質(zhì)及重要意義.2.掌握有限維向量空間同構(gòu)的充要條件. 三、重點(diǎn)、難點(diǎn) 向量空間同構(gòu)的概念，同構(gòu)的判別.6.6.1 同構(gòu)映射定義1 設(shè) 、 是兩個(gè)向量空間。V 到W的一

23、個(gè)映射 f 叫做一個(gè)同構(gòu)映射，如果（i）f 是V到W的雙射；（ii） ；（iii） .6.6.2 同構(gòu)映射的性質(zhì)1. 設(shè)f 是V 到W 的同構(gòu)映射，則 是W 到V 的同構(gòu)映射。（i）（ii）（iii）（iv）線性相關(guān)線性相關(guān).3. 設(shè) 、 是兩個(gè)向量空間， 是V的基，f 是V到W的同構(gòu)映射，則 是W的基.2. 設(shè) f 是V到W的同構(gòu)映射，則6.6.3 向量空間的同構(gòu)如果兩個(gè)向量空間 與 之間可以建立一個(gè)同構(gòu)映射,那么就說(shuō) 與 同構(gòu),記作 .定理1 設(shè) ，則 。定理2 向量空間的同構(gòu)是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.定理3 67 矩陣的秩 齊次線性方程組的解空間一、內(nèi)容分布6.7.1矩陣的行空間與列空間6.7.2線性方程組的解的結(jié)構(gòu)二、教學(xué)目的 1掌握矩陣的秩和它的行空間、列空間維數(shù)之間的關(guān)系2準(zhǔn)確地確定齊次線性方程組解空間維數(shù)3熟練地求出齊次線性方程組基礎(chǔ)解系及非齊次線性方程式組的任意解三、重點(diǎn)、難點(diǎn) 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，次線性方程組的基礎(chǔ)解系與全部解的關(guān)系.6.7.1 矩陣的行空間與列空間設(shè)給了數(shù)域F上一個(gè)mn矩陣1矩陣A的每一行可以看成 的一個(gè)向量，叫做A的行向量令 表示A的行向量，這里， 由A的n個(gè)列向量 所生成的 的子空間 叫做矩陣A的行空間2矩陣A的每一列可以看成 的