大數定律中心極限定理51切比雪夫不等式引理1設隨機變量X的數學課件

1、第五章 大數定律和中心極限定理5.1 切比雪夫不等式5.2 大數定律5.3 中心極限定理1 概率論與數理統(tǒng)計是研究隨機現象統(tǒng)計規(guī)律性的學科。隨機現象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現出來，也就是說，要從隨機現象中去尋求必然的法則，應該研究大量的隨機現象。 研究大量的隨機現象時，常常采用極限形式。例如第一章中曾指出頻率是概率的反映,隨著觀察次數的增大，頻率將會逐漸穩(wěn)定于概率。這里的“穩(wěn)定”是指試驗的次數無限增大時, 頻率值在某種收斂意義下逼近某一常數。此類極限形式導致了對極限定理進行研究。2本章要解決的問題 為何能以某事件發(fā)生的頻率 作為該事件的 概率的估計？為何能以樣本均值作

2、為總體 期望的估計？為何正態(tài)分布在概率論中占 有極其重要的地位？大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎 是什么？大數定律中心極限定理35.1 切比雪夫不等式引理1 設隨機變量X的數學期望E(X)與方差 D(X)均存在，則對于任意實數 0，有下述不等式成立或4切比雪夫不等式示意圖E(X)E(X) +eE(X) -eF(x)xD(X)/e25例1 已知E(X)=100, D(X)=30，試估計隨機變量X 落在(70,130)內的概率。解: P70X130=P|X100|30由切比雪夫不等式可得0.967 契比雪夫不等式給出了在隨機變量X的分布未知的情況下，事件 | X |0，有或8引入隨機變量序列Xk由題設X1

3、,X2,Xn相互獨立證明：故n+時，結論成立。由切比雪夫不等式9貝努里（Bernoulli）大數定律的意義“ 穩(wěn)定于”事件 A 在一次試驗中發(fā)生的概率是指：在概率的統(tǒng)計定義中，事件 A 發(fā)生的頻率頻率 與 p 有較大偏差是小概率事件 因而在試驗次數 n 足夠大時，可用事件發(fā)生的頻率近似代替事件發(fā)生的概率 ，即此類定律說明了大次數的重復試驗所呈現的客觀規(guī)律。同時，頻率的這種穩(wěn)定性也稱為依概率穩(wěn)定。10切比雪夫（Chebyshev）大數定律定理2 設X1, X2, . , Xn,.是相互獨立的隨機變量，且分別具有數學期望E(Xk)和方差D(Xk),（k=1,2,.)。若方差有界，即存在常數C，使得

4、 D(Xk)C，則對于任意的0，恒有 切比雪夫大數定律是貝努里大數定律的推廣，而貝努里大數定律是切比雪夫大數定律的一個特例。11證明：對于隨機變量序列 Xk記根據切比雪夫不等式可知n1由方差和期望的性質可得12均服從同一分布，并且有相同的數學期望 和方差2，則對于任意的0，恒有或是相互獨立的隨機變量，推論 設13當 n 足夠大時，算術平均值幾乎是一常數。 具有相同數學期望和方差的獨立隨機變量序列的算術平均值依概率收斂于數學期望。算術均值數學期望近似代替可被切比雪夫（Chebyshev）大數定律的意義14辛欽（）大數定律定理3 設隨機變量相互獨立，均服從同一分布，且具有相同的數學期望 E(X k

5、) = , k= 1,2, 則對任意的 0，均有155.3 中心極限定理 在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產生的總影響。 觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個隨機因素在總影響中所起的作用不大，那么這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布。 研究“在一定條件下，大量獨立隨機變量和的分布是以正態(tài)分布為極限分布”的定理統(tǒng)稱為中心極限定理。 16獨立同分布的中心極限定理 的分布函數Fn(x)收斂到標準正態(tài)分布函數，即定理4 設隨機變量X1, X2, , Xn, 相互獨立,服從同一分布,且具有有限的數學期望和方差, E(Xk)= , D(Xk)=20 (k=1,2,)則隨機變量 17(1) 對于當 n 足夠大時，Y n 的分布函數近似于標準正態(tài)隨機變量的分布函數，即近似近似服從表明：當n充分大時，n個具有期望和方差的獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態(tài)分布。稱 Y n 為的標準化隨機變量。18德莫弗-拉普拉斯（DeMoivre-Laplace）定理定理5 設隨機變量 Xn B( n , p) , 0 p 1, n = 1,2,，則對任意實數 x，均有X n N (np , np(1-p) (近似)即 n 足夠大時191 會利用契比雪