南開大學高等代數

1、南開大學2000年碩士入學考試試題一一高等代數x + y + z + 1 = 0.1、 （ 10分）求直線J Z在平面3x + 2 y + z + 1 = 0上的垂直投影。x + 2 y + 2 z = 02、（ 10分）求過點（0,1,0）且與兩條直線x + y + 1 = 0 x + 3 y + z + 1 = 0， 1 ；且設f (x)的一階微商可以整除 f (x)，證明 f (x) = a (x 一 b)n，a, b e P , a 尹 0南開大學2001年碩士研究生入學考試高等代數在空間仿射坐標系O-xyz中，已知三角形ABC的兩頂點A(-4，-1，2)，B(3,5,-16)若 AC

2、的中點在y軸上，BC的中點在zx平面上，求C點的坐標( 1)證明下述兩平面丸i:2x一卻+乙+1 =晶交兀：x + y + z +1 = 0證明坐標原點(0,0,0)不在平面兀和兀2的交線上求經過坐標原點(0,0,0)及平面兀和兀2的交線上平面方程(1)在空間直角坐標系O-xyz中，方程x2 + y 2 - 4 z = 0與x2 + y 2 + z2 = 4分別代表什 么曲面？I x 2 + y 2 + z 2 = 4(2)求交線-+y + z 4x2 + y2 一 4 z = 0在xy平面上的正投影曲線的方程f (x)(f (x), f (x)設f (x)是復數域上首項系數為一的n次多項式，

3、如=(x 一 b )(x 一 b ), b 尹 b1212且x -七是f (x)的k-重因式(這里f(x)是f (x)的一階微商)，問f (x) = ?為什么?f 32-5 :f 620-34。5.判別A=26-10和B=632- 51是否相似，為什么？2-3 7:420-32 7a x+ax+ax =b11 112 21nn1a x+a x+ax=b有解，如t是滿足1 t 3a + b c a + b c a + b c 1n 12n2nn n設V是數據P上的3維線性空間，線性變換f : V t V在V的基e , e , e下的矩陣123 TOC o 1-5 h z (2-12 為 5-33

4、、-10-2/求線性變換f在V的基e , e + e , e + e下的矩陣；11213求線性變換f的特征值和特征向量；線性變換f可否在V的某組基下矩陣為對角形，為什么？4.設V是數域P上3維線性空間，線性變換f : V t V在V的基ee2, e3下矩陣為4 6-15 r 1-33 A=1 3一 5問f可否在V的某組基下矩陣為B =-2-613為什么？247I-1-48 7設R4是具有通常內積的歐式空間，W是R4的子空間， TOC o 1-5 h z x 一 x + 3 x 一 x = 01234如W是下列方程組J 3 x + 2 x - 2 x = 0 x + x + 9 x 一 x =

5、01234的解空間，求W=？ W在中正交不W = ?求W和W 的標準正交基設 A g Rnxn，已知 A 在 Rnxn 中的中心化子 C (A) = x e Rnxn I AX = XA 是 Rnxn 的 子空間，證明：當A為實對稱矩陣是，C(A)的維數dim C (A) n，且等號成立當 且僅當A有n個不同的特征值設V是實數域R上的n維線性空間，吒2是V的子空間，且咯A嗎=。(1)如(,),(,)分別是W和W上的內積，證明：存在 V上的內積(,)滿足 1212(,)= (，)j，i = 1,2滿足(1)中的內積(,)是否唯一，為什么？8.設A =(七)n為數域P上的A-1 = B = (b

6、), i = 1, 2, .，n, d = Z n b c , i = 1, 2, .，niij=1 ii j令C = (dc )，試證明；d e C = d At +(或 c d )i=1南開大學2004年碩士研究生入學考試高等代數 TOC o 1-5 h z 11InL設n階行列式=1 a ?nlnn且滿足a = a , L j= 1, -2-,阿對任意數b,求n階行列式i Jj i(a + b . a +1 1zd.o. . . =, .+ b - a pnln n2.設A, B分別為數域P上的心s矩陣和矩陣，令AB=C,證明；如秩A=i;則數域P上存在一個秩為min s -r,n的sx

7、矩陣D ,滿足對于數域P上任何n階方陣QA(DQ+B)=C3 .設A” “為數域P上二階方陣，定義&2X2上變換b如下:U d)CT (X) = AX XA,X G 尸2x2證明b為線性變換E =10、,E =(0,E =(00、,E = 2x n1 + x n - 2nnx + ax + bx = 0- x. + cx + dx = 0ax + cx 一 ex = 0124bx . + dx - ex = 0的一般解以x 3 , x 4為自由未知量r 531-8303、(1)已知 A =1-3-2B =-590且XAI21 215- 2111b(2)已知A =1-21,B=2a9且矩祐程AX

8、、11-2J2J求a,b,c,d,e滿足的條件求齊次線形方程組的基礎解系=B ,求 X=?=B有解，求a,bX4、設f(x ,x，x )=X，AX和g(y ,y ,y )=Y，BY均為實數域上n元二次型，且 TOC o 1-5 h z 12n12n存在實數域上n階方陣C和D使得A = D BD, B = C，AC ,證明：f(x , x , x )和甘(尸,y , y )具有相同的規(guī)范形 12n12n5、設為數域.已知P4上兩組向量組a = G,0,1,1) g = G,1,1,1)a =(0-1,1,2)|3 = G,l,0,2)J 2J 2a =(!,-1,3,3)0 = (1,0,0,3

9、)33a =(2,-2,5,6)|3 =(3,2,1,6)I 4I 4試問是否存在P 4上的線形變換A使A Cx ) = p , i = l,2,3,4 ii6、設V為數域上n維線形空間，A為V上線形變換.已知A3 = A2但A芝A 2試問是否存在V的一組基使A在這組基下的矩陣為對角矩陣？7、設A為n階正定實對稱矩陣，a ,a，-,a , 0為n維歐式空間R n (標準度量)中的12nn+1個向量.若已知G) a 0 G = 1,2, , ni(2)a Aa = 0 (i u j, i, j = 1,2, n 證明& =0i jG)0與 a 正交 G = 1,2, n)i8、設V為數域P上n維

10、線形空間(nNl).證明：必存在V中一個無窮的向量序列b技i i二1使得ix 中任何n個向量都是V的一組基.i i二1南開大學2006碩士研究生入學考試試題高等代數、(1)11-1-1-1:-11-1-1A=-1-11-1-1-1-11 7又A為A中的(ij)元素在IA中的代數余子試，試求勇Ai，E(2)試將矩陣133)57寫成若干個形如0)111 與 101 7 V7的矩陣的乘積(2)試證明行列式127913569771332511751432599131558771的值能夠被8整除、(1)設1211 :1100、A =312，B =012-10 73122 7試求 A -1, BA -1三

11、、設線性方程組x + X + 3 X 一 X + X = 0 TOC o 1-5 h z 12345 3)維線性空間V上的線性變換，3的特征多項式為f (九)=Xn + a 人n-1 + a人n 一2 + a X + an -1n - 210試證明a 2 = J( tr (3 )2 - tr (3 2)，其中tr表示線性變換的跡五、設f = X AX是一個非退化的二次型，其中A為對稱矩陣，證明f可用正交變換化為規(guī)范形當且僅當A是正交矩陣六、設M是Pn x n的一個非空子集，假定M滿足下列條件，M中至少有一個非零矩陣V A, B e M , A - B e M ;(3) VA e M , x e

12、 Pxn, AX e M , XA e M證明M = Pnxn七、設A為n階方陣，將A作分塊其中A , A分別為k階和n-k階方陣(1 k n ),已知A為可逆矩陣，又B = (b ,b , , b ) TOC o 1-5 h z 144X1,. , X為未知數，證明;為一個列矩陣，作線性方程組AX=B，其中X = (X，X )，(1)若A - A A -1A可逆，則線性方程組有唯一的解1243(2) 設 B = (b ,b ,，b ),，B = (b ,，b )，B = B112k2k +1n3r (A - A A -1A , B ) = r (A - A A -1A ) r (A - A

13、A -1A )，則線性方程組無解124331243南開大學2007碩士研究生入學考試試題高等代數一、1.試求下列行列式的值；-25-13-91373-1558- 7 -102求3階實矩陣(a -1 ax - y A1 a x + ay、bc bx + cy /3設A，B為n階實正定對稱矩陣，C為任意n階實矩陣，求分塊矩陣的秩(6 3 2 4設3階方陣A = 1 5 2試將3階單位矩陣13寫成A的多項式、1 1 2 /-3 -1 -1、5設A = 1-1 -3試求A的若當標準型J，并求可逆矩陣T使得廣-1 AT = J TOC o 1-5 h z 002 )二、設V為數域P上的n維線性空間，V

14、, V是V的子空間，V = VV，又設P是V上1212的線性變換，證明；P是可逆的線性變換當且僅當V =。(V)1。(V2)三、設V為數域上的有限維線性空間，對V中m個向量組成的向量組S = a 1, a 2, ., a ，定義Pmx1 中的集合W = (a ,a ,. ,a ) I a e P,a a + a a +.+ a as12m i1122m m證明；W為Pm1的線性子空間存在V中線性變)-1是反對稱矩陣設S = a ,a ,.,a ，& = a ,a ,. ,a 為兩組向量組，證明;12m12m換T是T (a .) = a , i = 1,2, m的充分必要條件是W u W四、設A為n階正交矩陣且-1不是A的特征值，證明B = (A - I )(A +