應(yīng)用數(shù)學(xué)第六章-數(shù)--列課件

1、應(yīng)用數(shù)學(xué) 主編:河南機(jī)電學(xué)校基礎(chǔ)部第六章數(shù)列在日常生活中，常常會(huì)遇到按某種順序排成一列的數(shù)，如學(xué)生的學(xué)號(hào)是按自然數(shù)順序依次排列的.某班共50人，則其學(xué)號(hào)可以編排為： 1，2，3，50 (1)一些城鎮(zhèn)街道的門牌號(hào)是一邊按單數(shù)排列，另一邊按雙數(shù)順序排列的.某街道共有300個(gè)門，一邊150個(gè)，則它們的門牌號(hào)可編排為： 1，3，5，299 (2)及 2，4，6，300 (3)第一節(jié)數(shù)列的概念某雜技團(tuán)表演疊羅漢時(shí)，自下而上各層人數(shù)依次是 5，4，3，2，1 (4)上述例子中的數(shù)都是按照一定順序排列而成的一列數(shù)，對(duì)于這樣的數(shù)，給出下面定義：定義按照一定順序排成的一列數(shù)a1,a2,a3，an,稱為數(shù)列，記作

2、an.第一節(jié)數(shù)列的概念數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的一個(gè)項(xiàng). a1稱為第一項(xiàng)，也稱為首項(xiàng)，a2稱為第二項(xiàng)，依次類推，an稱為第n項(xiàng). 第n項(xiàng)an中的n稱為該項(xiàng)的序號(hào). 例如： 2，4，8，16， 2n, (5) 1/2,2/3,3/4,4/5,，n/n+1, (6)都是數(shù)列.第一節(jié)數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)an能用一個(gè)含n的解析式來(lái)表示，則稱這個(gè)解析式為這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.例如，上述數(shù)列(5)的通項(xiàng)公式為2n，數(shù)列(6)的通項(xiàng)公式為n/n+1.一個(gè)數(shù)列，如果已知它的通項(xiàng)公式，可以據(jù)此求出它的每一項(xiàng).第一節(jié)數(shù)列的概念反過(guò)來(lái)，有些數(shù)列的變化遵循比較明顯的規(guī)律，我們也可以通過(guò)觀察寫出它的通項(xiàng)公式.只

3、有有限多項(xiàng)的數(shù)列稱為有窮數(shù)列.如前面例子中的數(shù)列(1),(2),(3),(4).有無(wú)窮多項(xiàng)的數(shù)列稱為無(wú)窮數(shù)列. 如前面例子中的數(shù)列(5),(6).第一節(jié)數(shù)列的概念第二節(jié)等 差 數(shù) 列一、等差數(shù)列的概念先看下面兩個(gè)數(shù)列： 1， 3， 5， 7， 9， 11， (1) 10， 7， 4， 1，-2， -5， (2)這兩個(gè)數(shù)列都有以下特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差都等于常數(shù).在數(shù)列(1)中，這個(gè)常數(shù)為2，在數(shù)列(2)中，這個(gè)常數(shù)為-3.對(duì)于這樣的數(shù)列，給出以下定義.定義如果數(shù)列a1，a2，a3，an，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，即a2-a1=a3-a2=an-an-

4、1=則稱這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差，它通常用字母d表示.因此上述數(shù)列(1)和(2)都是等差數(shù)列，數(shù)列(1)的公差d=2，數(shù)列(2)的公差d=-3.特別地，數(shù)列2，2，2，2，也是等差數(shù)列，它的公差為0.公差為0的數(shù)列稱為常數(shù)列.第二節(jié)等 差 數(shù) 列二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果一個(gè)數(shù)列a1,a2,a3, ,an,是等差數(shù)列，它的公差是d，那么由定義可知由此可知，如果已知首項(xiàng)和公差，則等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式可表示為從上式可以看出，對(duì)于等差數(shù)列，只要知道了它的首項(xiàng)和公差，就可以求出它的任意一項(xiàng).第二節(jié)等 差 數(shù) 列例如，如果一個(gè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)是1，公差是2，那么將它們代入上面的

5、公式，就得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式an=1+(n-1)2即an=2n-1.等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式表示了首項(xiàng)a1、公差d、項(xiàng)的序號(hào)n以及第n項(xiàng)an這四個(gè)量之間的關(guān)系.因此只要知道了其中任意三個(gè)量，就可以求出另外一個(gè)量.第二節(jié)等 差 數(shù) 列第二節(jié)等 差 數(shù) 列第二節(jié)等 差 數(shù) 列第二節(jié)等 差 數(shù) 列第二節(jié)等 差 數(shù) 列三、等差中項(xiàng)一般地，如果在兩個(gè)數(shù)a與b中間插入一個(gè)數(shù)D,使a，D，b成等差數(shù)列，那么D就稱為a與b的等差中項(xiàng).比如在10與6中間插入一個(gè)數(shù)8，那么10, 8,6這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，8就稱為10與6的等差中項(xiàng).由定義可知，如果a，D，b成等差數(shù)列，則這就表明，兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)就是它們的算術(shù)

6、平均數(shù).第二節(jié)等 差 數(shù) 列第二節(jié)等 差 數(shù) 列四、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和想一想你能用簡(jiǎn)便的方法計(jì)算前100個(gè)正整數(shù)的和嗎? 即1+2+3+4+99+100=?分析仔細(xì)觀察數(shù)列1，2，3，4，96，97，98，99，100.這100個(gè)數(shù)可以分成50對(duì)，先計(jì)算每一對(duì)數(shù)的和：第二節(jié)等 差 數(shù) 列然后把每一對(duì)數(shù)的和101乘以50，便得出前100個(gè)正整數(shù)的和：10150=5050從小到大排成的正整數(shù)組成的數(shù)列就是一個(gè)等差數(shù)列.上述問(wèn)題就是求這個(gè)數(shù)列的前100項(xiàng)的和.一般地，我們把等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和記作Sn,即Sn=a1+a2+a3+an第二節(jié)等 差 數(shù) 列如何求Sn? 從求前100個(gè)正整數(shù)的和的方法

7、受到啟發(fā)，我們先計(jì)算然后把這n個(gè)等式的左、右兩邊分別相加，得2Sn=n(a1+an)第二節(jié)等 差 數(shù) 列由此得出即等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等于首、末兩項(xiàng)和的一半與項(xiàng)數(shù)的乘積.由于an=a1+(n-1)d，代入上式便得出如果知道首項(xiàng)a1和公差d，可利用此公式計(jì)算等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.在這兩個(gè)公式中，都涉及四個(gè)變量的關(guān)系，只要知道其中任意三個(gè)，就可以求出第四個(gè).第二節(jié)等 差 數(shù) 列第二節(jié)等 差 數(shù) 列第三節(jié)等 比 數(shù) 列一、等比數(shù)列的概念先看下面兩個(gè)數(shù)列： 1，2，4，8，16， (1) 3，32，33，34，35， (2)這兩個(gè)數(shù)列有這樣的特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的比都等于一個(gè)常數(shù).如在數(shù)列

8、(1)中，這個(gè)常數(shù)為2；在數(shù)列(2)中，這個(gè)常數(shù)為3.對(duì)于這樣的數(shù)列，給出下列定義.定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列a1，a2，a3，an，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，即則稱這個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列. 該常數(shù)稱為這個(gè)等比數(shù)列的公比，它常用字母q表示.上述數(shù)列(1)的公比為q=2；數(shù)列(2)的公比q=3.由于0不能當(dāng)分母用，因此如果一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，那么它的任何一項(xiàng)都不等于0，從而公比q0 .第三節(jié)等 比 數(shù) 列二、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式由等比數(shù)列的定義可知由此可知，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為從等比數(shù)列的通項(xiàng)公式看出，只要知道首項(xiàng)a1和公比q，就可以求出等比數(shù)列的任何一項(xiàng).第三節(jié)等 比 數(shù) 列第

9、三節(jié)等 比 數(shù) 列第三節(jié)等 比 數(shù) 列第三節(jié)等 比 數(shù) 列第三節(jié)等 比 數(shù) 列三、等比中項(xiàng)一般地，如果在兩個(gè)數(shù)a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a，G，b成等比數(shù)列，那么G就稱為a與b的等比中項(xiàng).比如在2與8中間插入一個(gè)數(shù)4，那么2，4，8這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列. 4就稱為2與8的等比中項(xiàng).如果G是a與b的等比中項(xiàng)，則G/a=b/G，即則容易看出，一個(gè)等比數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮等比數(shù)列的末項(xiàng)除外)是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng).四、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn為Sn=a1+a2+a3+an.根據(jù)等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn也可以寫成 Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1 (1)我們知道，把等比數(shù)列的任一項(xiàng)乘以公比，就可得到它后面相鄰的一項(xiàng).現(xiàn)將(1)式的兩邊分別乘以公比q，得到 qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn (2)第三節(jié)等 比 數(shù) 列比較(1)、(2)兩式，我們看到(1)式的右邊從第2項(xiàng)到最后一項(xiàng)，與(2)式的右邊的第1項(xiàng)到倒數(shù)第2項(xiàng)完全相同.于是將(1)式的兩邊分別減去(2)式的兩邊，可以消去相同的項(xiàng)，得到(1-q)Sn=a1-a1qn第三節(jié)等 比 數(shù) 列當(dāng)q1時(shí)，等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和的公式為(3)因?yàn)閍1qn=(a1qn-1)q=anq,所以上面的公式還可寫成(4)很顯然，當(dāng)q=1時(shí)，則這個(gè)等比數(shù)