非線性動(dòng)力學(xué)中科大課件

1、非線性動(dòng)力學(xué)第一章汪 秉 宏 近代物理系7/21/20221第一章 引言1 Newton 力學(xué)及其發(fā)展2 非線性動(dòng)力學(xué)的研究對象3 非線性動(dòng)力系統(tǒng)模型的建立7/21/202221 Newton 力學(xué)及其發(fā)展力學(xué)的定性研究時(shí)期 （公元前17世紀(jì)中葉） Archimedes， Galileo， Kepler定量研究時(shí)期 （ 17世紀(jì)中葉19世紀(jì)末） Newton，Lagrange, Hamilton7/21/20223（17世紀(jì)）Newton方程：基本問題：已知 的函數(shù)形式， 求上述方程組的解析表達(dá)式。數(shù)學(xué)家可證明其存在性及唯一性。基本方法微擾論： 存在收斂問題。在天體力學(xué)中取得很大成功，能夠精確

2、預(yù)言天體的運(yùn)動(dòng)。7/21/2022418世紀(jì)： Lagrange 方程Lagrange 函數(shù)7/21/2022519世紀(jì) Hamilton 方程引進(jìn)廣義動(dòng)量Hamilton 函數(shù)7/21/20226Lagrange, Hamilton方程均與Newton方程等價(jià)力學(xué)的基本問題、基本方法未變結(jié)論：二百多年來牛頓力學(xué)無實(shí)質(zhì)性進(jìn)展7/21/2022719世紀(jì)末、20世紀(jì)初發(fā)生的對于牛頓力學(xué)的三大變革7/21/20228太陽系是否穩(wěn)定？N 體穩(wěn)定性問題微擾是否收斂？許多科學(xué)家宣稱太陽系是穩(wěn)定的，但并未給出其證明。如 Dirichlet。奧斯卡獎(jiǎng)1890年授予 Poincare. 他證明了所有微擾級數(shù)是

3、發(fā)散的，因而研究穩(wěn)定性必須使用新的方法 定性方法：幾何拓?fù)?，微分拓?fù)洹ＡW(xué)的基本問題及基本方法必須徹底改變。 求解析解并不解決問題。7/21/20229新力學(xué)的理論特點(diǎn): 力學(xué)的基本問題研究系統(tǒng)在相空間中的軌跡的幾何性質(zhì)。即：研究相軌圖(phase portrait) 例如：是否周期解？（用微擾法不能回答這一問題） 給出級數(shù)展開式： 如何證明?7/21/202210新力學(xué)的理論特點(diǎn)基本方法：定性方法： 微分拓?fù)浯蠓秶治?代數(shù)與群論數(shù)值方法：計(jì)算機(jī)模擬大大拓寬了力學(xué)的研究領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)了許多新的力學(xué)現(xiàn)象。如：混沌、分岔、突變、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性轉(zhuǎn)變7/21/2022112 非線性動(dòng)力學(xué)的研究對象非線性動(dòng)力系

4、統(tǒng)及各種特征系統(tǒng)的現(xiàn)象a) 什么是非線性動(dòng)力系統(tǒng)？線性方程：量滿足的方程 L()=0若（i） 是線性空間中一個(gè)元素（矢量）（ii） L(ab)=a L() b L()非線性動(dòng)力系統(tǒng)的定義：一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)，若其基本力學(xué)量的運(yùn)動(dòng)由非線性方程描述，則稱作非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。7/21/202212非線性動(dòng)力系統(tǒng)若一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)由方程 描述，其中 也可以用系綜概率密度 (x) 的運(yùn)動(dòng)描述。 Liuvill 方程：是線性的。 兩個(gè)方程等價(jià)。但兩者的基本力學(xué)量不同。若以x為基本力學(xué)量，F(xiàn)為非線性時(shí)，則系統(tǒng)為非線性。7/21/202213考慮一對一變換則非線性方程有可能化為線性的習(xí)題1：求G的顯示表達(dá)式有些系統(tǒng)，其

5、相空間不是線性空間，這類系統(tǒng)必定是非線性的。例如：剛體動(dòng)力學(xué)方程，相空間為SO3 流形。稱為運(yùn)動(dòng)(Kinetic)非線性。F的非線性稱為力學(xué)非線性。7/21/202214b) 什么是特征非線性現(xiàn)象？例： 考慮映射設(shè) f(x)x 則xn+1 xn 即使 f 是非線性的，沒有任何不同于線性系統(tǒng)的有趣特征 7/21/202215已知的特征非線性現(xiàn)象：混沌、分岔、突變、自組織現(xiàn)象、耗散結(jié)構(gòu)，分形特征 當(dāng) f(x)=r x(1-x) 時(shí)出現(xiàn)一系列分岔、混沌等非線性現(xiàn)象。非線性科學(xué)并不研究對于線性關(guān)系的偏離，而必須研究質(zhì)的變化。7/21/2022163 非線性動(dòng)力系統(tǒng)模型的建立實(shí)際系統(tǒng)往往包含巨大數(shù)目自由

6、度 s1023，從中得出基本力學(xué)量及其遵循的方程微觀描述 為控制參量，表示外界的影響7/21/202217亞宏觀描述引進(jìn)集體運(yùn)動(dòng)變量： 忽略連續(xù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的漲落，可由微觀描述得到 漲落耗散定理 漲落項(xiàng)7/21/202218宏觀描述 在長時(shí)間后，絕大多數(shù)集體運(yùn)動(dòng)模式由于耗散而衰減掉，可以考慮剩余運(yùn)動(dòng)模式。設(shè)長時(shí)間后只剩下 x1 , xm 的運(yùn)動(dòng)，則在 t 時(shí)有Haken稱之為隨動(dòng)原理(slaving principle). 代入前一方程，消去 xj , j=m+1,n 得 xj , j=1,m 稱作序參量（基本力學(xué)量）絕熱消除法： 中心流形 慣性流形7/21/202219 IP address： 43 User na