第四章結(jié)構(gòu)位移計算 課件

1、6-1 概 述6-2 變形體系的虛功原理6-3 位移計算的一般公式 單位荷載法6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算6-5 圖乘法6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算6-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理第六章 結(jié)構(gòu)位移計算 一、結(jié)構(gòu)的位移 (Displacement of Structures)1. 結(jié)構(gòu)的位移是指結(jié)構(gòu)上的某一截面在荷載或其它因素作用下由某一位置移動到另一位置，這個移動的量就稱為該截面的位移（線位移和角位移）。 思考：變形與位移的差別？變形：結(jié)構(gòu)在外部因素作用下發(fā)生的形狀的變化。兩者之間的關(guān)系：有形變必有位移；有位移不一定有形變。6-1 概述A位移轉(zhuǎn)

2、角位移線位移A點(diǎn)線位移A點(diǎn)水平位移A點(diǎn)豎向位移A截面轉(zhuǎn)角P2. 位移的分類6-1 概述 截面C、D 的相對豎向線位移為 :截面C、D 的相對角位移為: 6-1 概述AP引起結(jié)構(gòu)位移的原因制造誤差 等荷載溫度改變支座移動還有什么原因會使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移?3.位移產(chǎn)生的原因6-1 概述鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定: 二、計算位移的目的(1) 剛度要求在工程上，吊車梁允許的撓度1/600 跨度；橋梁在豎向靜活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度1/700 和1/900跨度高層建筑的最大位移1/1000 高度。 最大層間位移1/800 層高。6-1 概述(2) 超靜定結(jié)構(gòu)、動力和穩(wěn)定計算的基礎(chǔ)(3）施工要求 超靜定結(jié)構(gòu)

3、的內(nèi)力不能僅由平衡條件確定，分析時必須考慮變形條件，因而需要計算結(jié)構(gòu)的位移。 在結(jié)構(gòu)的施工過程中，常需預(yù)先知道結(jié)構(gòu)變形后的位置，以便采取一定的施工措施，使結(jié)構(gòu)物符合設(shè)計圖紙的要求。6-1 概述（3）理想聯(lián)結(jié) (Ideal Constraint)。三、 本章位移計算的假定疊加原理適用（principle of superposition)(1) 線彈性 (Linear Elastic),(2) 小變形 (Small Deformation),6-1 概述本章只討論應(yīng)用虛功原理求解結(jié)構(gòu)位移。2. 功能法虛功原理應(yīng)變能(卡氏定理) 研究變形和位移的幾何關(guān)系，用求解微分方程式的辦法求出某截面的位移（材

4、料力學(xué)用過，但對復(fù)雜的桿系不適用）。1.幾何法 四、 計算方法6-1 概述 一、基本概念實(shí)功： 力在其本身引起的位移上所作的功。位移是由外力F引起的，F(xiàn) 做的功可表示為: 1.外力的實(shí)功6-2 變形體系的虛功原理 實(shí)功的數(shù)值就等于圖上三角形OAB的面積。實(shí)功是外力的非線形函數(shù)，計算外力實(shí)功不能應(yīng)用疊加原理。所以 設(shè)線彈性材料的彈性系數(shù)為k，則6-2 變形體系的虛功原理2.外力的虛功 虛功：力在其它原因引起的位移上所作的功，即做功的力系和相應(yīng)的位移是彼此獨(dú)立無關(guān)的。 虛功的數(shù)值是位移曲線所圍的矩形面積。 虛功中的力與位移兩者相互獨(dú)立，計算外力虛功可應(yīng)用疊加原理。 6-2 變形體系的虛功原理力F1

5、在力F2引起的位移12上作的功為虛功為例 F1力在其引起的位移11 上作的功為實(shí)功為 6-2 變形體系的虛功原理 結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的各種位移，包括截面的線位移、角位移、相對線位移、相對角位移或者是一組位移等等都可泛稱為廣義位移。 3.廣義位移和廣義力廣義位移 與廣義位移對應(yīng)的就是廣義力，可以是一個集中力，集中力偶或一對大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一組力系。 注意：廣義位移與廣義力的對應(yīng)關(guān)系，能夠在某一組廣義位移上做功的力系，才稱為與這組廣義位移對應(yīng)的廣義力。 廣義力6-2 變形體系的虛功原理4.內(nèi)力功 定義：從桿上截取一微段,作用在該微段上的內(nèi)力在該微段的變形上做的功定義為該內(nèi)力做的功。該微段

6、上相應(yīng)的變形為軸向變形 剪力變形 彎曲變形 6-2 變形體系的虛功原理 如果變形就是由此內(nèi)力引起的，則此微段上內(nèi)力功應(yīng)為實(shí)功，其為軸力、剪力和彎矩分別做的功之和：因?yàn)橛珊硕捎校?故 實(shí)功數(shù)值上就等于微段的應(yīng)變能。 所以內(nèi)力實(shí)功6-2 變形體系的虛功原理 若變形與內(nèi)力彼此無關(guān)，則此微段上的內(nèi)力功是虛功，其為對于整根桿的內(nèi)力虛功，則可對整根桿積分求得： 原因而定。 , 和 的具體表達(dá)式要視引起這個變形的具體內(nèi)力虛功6-2 變形體系的虛功原理二、虛功原理 1. 變形體的虛功原理 設(shè)一變形體在外力系作用下處于平衡狀態(tài)。當(dāng)變形體由于其他原因產(chǎn)生一符合約束條件的微小連續(xù)位移時，則外力系在位移上做的虛功

7、的總和We，等于變形體的內(nèi)力在變形上做的虛功的總和Wi，即， 這就是虛功方程。 （證明略）需注意： 外力系必須是平衡力系，物體處于平衡狀態(tài)；6-2 變形體系的虛功原理 位移必須滿足虛位移的條件滿足約束條件的非常微小的連續(xù)位移； 外力與位移兩者之間是相互獨(dú)立沒有關(guān)聯(lián)的。平衡的外力系與相應(yīng)的內(nèi)力是力狀態(tài)；符合約束條件的微小位移與相應(yīng)的變形是位移狀態(tài)。力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上做功之和(外力虛功)等于力狀態(tài)的內(nèi)力在位移狀態(tài)的變形上做功之和(內(nèi)力虛功)。 對于兩個相互無關(guān)的力狀態(tài)和位移狀態(tài)的，可以虛設(shè)其中一個狀態(tài)，讓另一實(shí)際狀態(tài)在此虛設(shè)狀態(tài)下做功，列出虛功方程，可以求解不同的問題。 6-2 變形體

8、系的虛功原理解釋：兩種狀態(tài)力狀態(tài)位移狀態(tài)FPFP /2FP /2（虛）力狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）無關(guān)（虛）位移狀態(tài)q注意：（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關(guān)；（2）均為可能狀態(tài)。即位移應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件,力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡條件。 （1）屬同一體系；6-2 變形體系的虛功原理2.桿系結(jié)構(gòu)虛功方程 以上結(jié)論與材料物理性質(zhì)及具體結(jié)構(gòu)無關(guān)，因此，虛功原理虛功方程既適用于一切線性結(jié)構(gòu)，也適用于一切非線性結(jié)構(gòu)。6-2 變形體系的虛功原理虛位移原理 令實(shí)際的力狀態(tài)在虛設(shè)的位移狀態(tài)下做功所建立的虛功方程表達(dá)的是力的平衡條件。從中可以求出實(shí)際力系中的未知力。這就是虛位移原理。 虛力原理 令虛設(shè)的平衡力系在實(shí)際的

9、位移狀態(tài)下做功所建立虛功方程表達(dá)的是位移協(xié)調(diào)條件，從中可求出位移狀態(tài)中的一些未知位移。這就是虛力原理(也稱為余虛功原理)。 一個力系平衡的充分必要條件是：對任意協(xié)調(diào)位移，虛功方程成立。 一個位移是協(xié)調(diào)的充分必要條件是：對任意平衡力系，虛功方程成立。3. 虛功原理的兩種應(yīng)用6-2 變形體系的虛功原理 注意: 虛位移原理寫出的虛功方程是一個平衡方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。例如：應(yīng)用虛位移原理求支座C的反力FC。即 故 撤除與FC相應(yīng)的約束,將FC變成主動力，取與FC正向一致的剛體位移作為虛位移。列出虛功方程： 6-2 變形體系的虛功原理 注意：虛力原理寫出的虛功方程是一個幾何方程，可用于

10、求解幾何問題。 例：當(dāng)A支座向上移動一個已知位移c1，求點(diǎn)B產(chǎn)生的豎向位移。在擬求線位移的方向加單位力 由平衡條件 令虛設(shè)的平衡力系在實(shí)際的位移狀態(tài)下做功，得虛功方程求得與單位力方向相同。6-2 變形體系的虛功原理單位荷載法 (Dummy-Unit Load Method) 是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也稱為Maxwell-Mohr Method。圖示結(jié)構(gòu)，要求 =?實(shí)際狀態(tài) 位移狀態(tài)虛擬狀態(tài) 力狀態(tài)6-3 位移計算的一般公式 單位荷載法 用虛功原理，位移狀態(tài)即實(shí)際狀態(tài)，另虛設(shè)一個力狀態(tài)（稱力虛設(shè)狀態(tài)），要使虛擬力的虛功正好等于所求位移，可接右圖選取虛擬狀態(tài)，用

11、虛擬力為單位力，故稱為單位荷載法。外力虛功: 內(nèi)力虛功:由虛功方程：此式即為平面結(jié)構(gòu)位移計算一般公式。若結(jié)果為正，說明 在 上做正功，這表明的實(shí)際方向與方向相同。若結(jié)果為負(fù)，說明 在 上做負(fù)功，這表明的實(shí)際方向與方向相反。 6-3 位移計算的一般公式 單位荷載法幾點(diǎn)說明：(1) 所建立的虛功方程 ，實(shí)質(zhì)上是幾何方程。(2) 虛設(shè)的力狀態(tài)與實(shí)際位移狀態(tài)無關(guān)，故可設(shè)單位廣義力 P=1(3) 求解時關(guān)鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關(guān)系。特點(diǎn): 是用靜力平衡法來解幾何問題。單位位移法的虛功方程 平衡方程單位荷載法的虛功方程 幾何方程總的來講：6-3 位移計算的一般公式 單位荷載法2. 結(jié)構(gòu)類型：梁、剛

12、架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)； 靜定和超靜定結(jié)構(gòu)；1. 位移原因：荷載、溫度改變、支座移動等；3. 材料性質(zhì)：線性、非線性；4. 變形類型：彎曲變形、拉(壓)變形、剪切變形；5. 位移種類：線位移、角位移；相對線位移 和相對角位移。一般公式的普遍性表現(xiàn)在：6-3 位移計算的一般公式 單位荷載法BA(b)試確定指定廣義位移對應(yīng)的單位廣義力A(a)F=1F=1F=16-3 位移計算的一般公式 單位荷載法F=1(c)A(d)ABF=1F=16-3 位移計算的一般公式 單位荷載法ABCd(e)ABC(f)6-3 位移計算的一般公式 單位荷載法AB(g)F=1F=1C(h)左右=？F=1F=16-3 位移計算

13、的一般公式 單位荷載法由虛功原理有：W= Wi外力虛功 變形虛功 荷載作用引起的位移計算 等號左側(cè)是虛設(shè)的單位外力在實(shí)際的位移上所做的外力虛力，右側(cè)是虛設(shè)單位力狀態(tài)的內(nèi)力在實(shí)際位移狀態(tài)的變形上做的內(nèi)力虛功之和。6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算對于直桿，則可用dx代替ds。計算位移的公式為 單位力狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的軸力、剪力和矩方程式。 實(shí)際荷載引起結(jié)構(gòu)的軸力、剪力和彎矩方程式。 E、G 材料的彈性模量和剪力彈性模量. A、I 桿件的橫截面面積和橫截面慣性矩. 剪力在截面上分布的不均勻系數(shù)，對于矩形截面=1.2。 6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算（1）梁、剛架：只考慮彎矩Mp引起的位移。

14、（2）桁架：只有軸力。 桁架各桿均為等截面直桿則6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算公式簡化： 拱壩一類的厚度較大的拱形結(jié)構(gòu)，其剪力也是不能忽略的。所以計算拱壩時，軸力、剪力和彎矩三項(xiàng)因素都須要考慮進(jìn)去。 (4) 跨度較大的薄拱，其軸力和彎矩的影響相當(dāng)，剪力的影響不計，位移計算公式為 6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算（3）組合結(jié)構(gòu) 例6-1 圖示剛架，已知各桿的彈性模量E和截面慣性矩 I 均為常數(shù)，試求B點(diǎn)的豎向位移BV，水平位移BU, 和位移B 。 解: (1) 作出荷載作用下的彎矩圖，寫出各桿的彎矩方程。橫梁BC 豎柱CA 6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算(2)求B 點(diǎn)的豎向

15、位移BV 寫出各桿單位力作用下的彎矩方程式，畫出彎矩圖橫梁BC 豎柱CA 6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算(3) 求B點(diǎn)的水平位移BU 在B點(diǎn)加單位水平力。畫出彎矩圖并寫出各桿的彎矩方程 橫梁BC 豎柱CA 注意：負(fù)號表示位移的方向與假設(shè)的單位力的方向相反。 6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算（4）求B點(diǎn)的線位移B 例6-3 平面桁架如圖，已知各桿截面積均為A=0.410-2m2彈性橫量E=200GPa，試求B點(diǎn)和D點(diǎn)的豎向位移。解: (1) 求出實(shí)際荷載狀態(tài)下各桿的內(nèi)力。 (2) 求BV6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算 在B點(diǎn)加一向下的單位力,求此單位力引起的各桿軸力FN 。

16、6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算(3) 求DV 在D點(diǎn)加一向下單位力，求出此虛設(shè)狀態(tài) 各桿的軸力FN 。6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算 在桿件數(shù)量多的情況下,不方便. 下面介紹計算位移的圖乘法。6-5 圖乘法 (Graphic Multiplication Method and its Applications)1. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算；2. 利用位移計算公式求靜定結(jié)構(gòu)的位移；3. 剛架與梁在荷載作用下的位移計算公式, 即:已有基礎(chǔ)：(對于等截面桿)(對于直桿)圖乘法求位移公式為:圖乘法的適用條件是什么?圖乘法是Vereshagin于1925年提出的，他當(dāng)時為莫斯科鐵路運(yùn)輸學(xué)院的

17、學(xué)生。6-5 圖乘法 例.試求圖示梁B端轉(zhuǎn)角。解:MPMi為什么彎矩圖在桿件同側(cè)圖乘結(jié)果為正?6-5 圖乘法 頂點(diǎn)：指曲線切線與桿軸重合或平行6-5 圖乘法 幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法圖乘法小結(jié)：1. 圖乘法的應(yīng)用條件（1）等截面直桿，EI為常數(shù)；（2）兩個M圖中應(yīng)有一個是直線；（3） 應(yīng)取自直線圖中。2.若 與 在桿件的同側(cè)， 取正值；反之，取負(fù)值。3. 如圖形較復(fù)雜，可分解為簡單圖形。6-5 圖乘法 (1) 曲-折組合圖形分解6-5 圖乘法 (2) 梯-梯同側(cè)組合6-5 圖乘法 (3) 梯-梯異側(cè)組合ABCDabcd圖圖b c取負(fù)值6-5 圖乘法 復(fù)雜圖形的處理：+=+=6-5

18、 圖乘法 求MPMi6-5 圖乘法 (4) 階梯形截面桿6-5 圖乘法 例 1. 已知EI為常數(shù)，求C、D兩點(diǎn)相對水平位移 。應(yīng)用舉例lqhqMP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖6-5 圖乘法 例 2. 圖示梁EI 為常數(shù)，求C點(diǎn)豎向位移。l/2ql/2MP6-5 圖乘法 l/2ql/2MP6-5 圖乘法 l/2ql/2MP6-5 圖乘法 例3. 試求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)豎向位移。解:MPMi6-5 圖乘法 例4.已知 EI為常數(shù)，求鉸C 兩側(cè)截面相對轉(zhuǎn)角 。解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖lqllqMP6-5 圖乘法 例5.已知 EI 為常數(shù)，求A點(diǎn)豎向位移 。解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖qll

19、lqMP6-5 圖乘法 6. 求B點(diǎn)水平位移。解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖MPll注意:各桿剛度可能不同6-5 圖乘法 7.已知EI為常數(shù)，求B截面轉(zhuǎn)角。MP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖Mi6-5 圖乘法 解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖8. 求B點(diǎn)水平位移,EI=常數(shù)。lPllMP1MP6-5 圖乘法 解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖9. 求C、D 兩點(diǎn)相對水平位移 。lllMP6-5 圖乘法 解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖10.求A點(diǎn)豎向位移, EI=常數(shù) 。MPlllAkk6-5 圖乘法 lPlPl11.圖示結(jié)構(gòu) EI 為常數(shù)，求AB兩點(diǎn)(1)相對豎向位移,(2)相對水平位移,

20、(3)相對轉(zhuǎn)角 。MP1111對稱彎矩圖反對稱彎矩圖 對稱結(jié)構(gòu)的對稱彎矩圖與其反對稱彎矩圖圖乘,結(jié)果為零.116-5 圖乘法 PP11繪制變形圖時，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點(diǎn)的利用。如：6-5 圖乘法 由溫度變化引起的位移計算 (1)每根桿受的溫度是均勻作用的，即每桿上各截面的溫度是相同的。 (2)桿件的兩側(cè)的溫度可以是不同的，但從高溫一側(cè)到低溫一側(cè)溫度是按直線變化的。 (3)由于假定溫度沿桿長均勻分布,不可能出現(xiàn)剪切變形, 只有軸向變形dut 和截面轉(zhuǎn)角d。假定： 6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算溫度引起的纖維軸向變形為： 其中材料的線膨脹系數(shù)，即溫度升高1時桿的應(yīng)變。

21、設(shè)微段 ds 的 溫度變化為：6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算梁段上側(cè)、下側(cè)和中心軸處纖維伸長分別為由于截面內(nèi)的溫度呈直線變化，有 得： 其中t= t2 t1 ，為桿兩側(cè)的溫度變化之差。 6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算 令虛設(shè)的力狀態(tài)在結(jié)構(gòu)的實(shí)際位移狀態(tài)下做功。在擬求位移的截面虛設(shè)一單位力，則外力在位移上做的功應(yīng)等于內(nèi)力在溫度引起的變形上做的功之和，即式中 對結(jié)構(gòu)中各桿求和。 單位力彎矩圖中該桿彎矩圖的面積。 單位力軸力圖中該桿軸力圖的面積。 所以 6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算 正負(fù)符號取決于虛功是正功還是負(fù)功。若桿的軸心處的溫度t0 是升高，而單位力軸力圖中該桿受拉力，則此

22、桿的內(nèi)力虛功為正功，此項(xiàng)取正號，反之取負(fù)號。 若溫度變化t使桿彎曲而某側(cè)受拉，而單位力彎矩圖中該桿的彎矩也使該側(cè)受拉，則虛內(nèi)力做正功取正號，反之為負(fù)號。6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算 例6-5 圖示剛架，各桿均為矩形截面，截面高h(yuǎn)=40cm，截面形心位于截面高度1/2處。l=4m設(shè)剛架內(nèi)部溫度上升10外部下降20。線膨脹系數(shù)=110-5，試求D點(diǎn)的豎向位移。 解 (1) 在D點(diǎn)作用一向上的單位力F=1，作彎矩圖 和軸力圖 6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算(2)計算 D點(diǎn)的豎向位移。兩側(cè)的溫度差為 有桿軸線處的溫升值為6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算 例6-6 圖示桁架，受日照均勻

23、溫升30。求C點(diǎn)豎向位移。 解：在C點(diǎn)作單位力并求出各桿軸力 。 己知各桿 t0= 30,t = 0故 6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算制造誤差引起的位移計算：每個上弦桿加長8mm,求由此引起的A點(diǎn)豎向位移。6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算由支座移動引起的位移計算 求由支座移動引起的結(jié)點(diǎn)某點(diǎn)的位移只是一個單純的幾何問題?？梢杂昧W(xué)方法剛體的虛力原理來求解。 式中 是由單位力F所引起的支座反力；c 是與反力 相應(yīng)的已知的支座位移。當(dāng)二者方向一致時，其乘積取正值，相反時取負(fù)值。 在要求位移的點(diǎn)上沿位移的方向加一單位力F，求出在此單位力作用下的支座反力R 。所有外力虛功之和應(yīng)為零有：6-7

24、靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算由平面桿件結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式： 對于靜定結(jié)構(gòu)，支座移動不引起內(nèi)力，材料不變形，因此du、d和ds為零，上式簡化為: 負(fù)號系原來移項(xiàng)所得，不可漏掉！6-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算 例6-7 三鉸剛架如圖所示，若支座A下沉C，求BD柱的轉(zhuǎn)角。 解：(1) 在BD柱上作用單位力矩M =1，求支座反力。 (2) 代入公式計算得： 結(jié)果得正值表示柱的轉(zhuǎn)角方向與所假定的單位力矩的方向相同。 6-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算 例6-8 圖示剛架右邊支座的豎向位移By=0.06m(向下)，水平位移Bx=0.04m(向右)，已知l=12m，h=8m。試求由此引起的A端轉(zhuǎn)

25、角A6-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算 1. 功的互等定理 F1作用下產(chǎn)生的內(nèi)力和變形稱為第一狀態(tài)，F(xiàn)2作用下產(chǎn)生的內(nèi)力和變形稱為第二狀態(tài)。 先加F1然后加F2的情況，整個加載過中系統(tǒng)做的總功為 表示由編號為j 的力引起i點(diǎn)的位移。 先加F2后加F1，整個過程中系統(tǒng)做的總功為 6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 因?yàn)榫€彈性體系做功與加荷的次序無關(guān)，有 故得 虛功互等定理：狀態(tài)的力在狀態(tài)的位移上做功等于狀態(tài)的力在狀態(tài)的位移上做功。6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 由功的互等定理 可推出位移互等定理2. 位移互等定理 令功的互等定理中的力F1=F2=1 ,則有 位移互等定理：由單位荷載F1 引起的與荷載F

26、2相應(yīng)的位移21，在數(shù)值上等于由單位荷載F2引起的與荷載F1相應(yīng)的位移12。這里用小寫的字母表示單位力引起的位移。 在一般情況下位移互等定理可寫成： 6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 注意：位移互等定理適用于廣義力及其對應(yīng)的廣義位移。 上圖表示了兩個狀態(tài)的線位移12 與21互等。 上圖表示了線位移12數(shù)值上等于角位移21。6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 3. 反力互等定理 第狀態(tài)，支座1產(chǎn)生單位位移 1V=1而引起支座反力k11 和 k21 。 第狀態(tài)，支座2產(chǎn)生單位位移2V=1而引起支座反力k12 和 k22 6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 由功的互等定理，第狀態(tài)的力在第狀態(tài)的位移上做虛功 ，等于第

27、狀態(tài)的力在第狀態(tài)的位移上做虛功 。故有即 一般情況下可寫成 6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 支座i由于支座j發(fā)生單位位移所引起的支座反力kij，等于支座j由于支座i發(fā)生單位位移而引起的支座反力kji。注意：反力互等定理也適用于其他廣義力的互等。 例： k12 是反力矩， k21是反力，兩者互等只是數(shù)值上互等。 6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 4. 反力位移互等定理 單位廣義力引起的結(jié)構(gòu)中某支座的反力等于該支座發(fā)生單位廣義位移所引起的單位廣義力作用點(diǎn)沿其方向的位移，但符號相反。-反力位移互等定理6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 小 結(jié) 本章討論了虛功原理以及應(yīng)用虛功原理來求解結(jié)構(gòu)的位移。虛功原理又分為虛

28、位移原理和虛力原理，它們都是虛功原理的具體應(yīng)用。前者用于求內(nèi)力和反力，后者用于求位移。在應(yīng)用虛功原理時要涉及兩個量：力系和位移。這兩者是彼此無關(guān)的，但卻需滿足一定的條件。力系必須是平衡的；位移必須是符合約束條件的、無限小的連續(xù)位移。由于力與位移兩者彼此無關(guān)，因此可以虛設(shè)一組力系(虛力原理)，讓它在實(shí)際的結(jié)構(gòu)位移上做功, 列出虛功方程，從中求出未知位移。 這就是虛力原理表達(dá)的虛功方程。也就是位移計算的一般公式最基本的形式。小結(jié) 位移和變形( )是結(jié)構(gòu)在給定條件下所具有的. 是實(shí)際的位移狀態(tài)。力系( )則是虛設(shè)的。 虛擬力系的設(shè)置應(yīng)當(dāng)根據(jù)所求位移來相應(yīng)的設(shè)置，并根據(jù)需要求出其相應(yīng)的反力和內(nèi)力。 變

29、形(, )是泛指的，若是荷載引起的則代入公式(6.3.3) 即導(dǎo)出公式(6.5.2）。若是溫度引起的，則代入公式(6.3.1a) 、(6.7.1a) 和(6.7.2b)即導(dǎo)出溫度變化引起的位移計算公式(6.7.3a)。 若計算支座移動引起的位移，則因靜定結(jié)構(gòu)因支座位移不會引起結(jié)構(gòu)變形，只會引起結(jié)構(gòu)的剛體位移, 這時=0 。公式等號右邊前一項(xiàng)為零，只剩后一項(xiàng). 這就是公式(4.7.4)。小結(jié) 虛功原理本身適用于任何變形體，但在本章推導(dǎo)位移計算公式時引入了彈性規(guī)律，故公式(6.5.2) 只適用于線彈性體系。 圖乘法是具體的運(yùn)算方法。只有滿足一定的條件下才能用圖乘法。象曲桿、變截面桿等均不能用圖乘法。 互等定理是線彈性體系的基本定理。本章介紹的四個互等定理是最常用的。 這四個互等定理中，功的互等定理是最基本的。小結(jié) 1. 虛功原理不涉及材料的物理性質(zhì)，因此它適用于任何固體材料。 3. 圖示桁架中腹桿截面的大小對C點(diǎn)的豎向位移有影響。 一、判