高數(shù)6--多元函數(shù)積分學(xué)(1) 課件

1、專題2高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)解讀第六章 多元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié) 二重積分的概念與計(jì)算一、二重積分的概念與性質(zhì)曲頂柱體的體積 2二重積分的概念3二重積分的性質(zhì)二、在直角坐標(biāo)系中計(jì)算二重積分上式也可簡記為 化二重積分為累次積分時(shí),需注意以下幾點(diǎn)：（1）累次積分的下限必須小于上限; (a) (b)1. 極坐標(biāo)系下的面積元素三、在極坐標(biāo)系中計(jì)算二重積分(a) 2.極坐標(biāo)系下化二重積分為累次積分 (b) 第二節(jié) 二重積分應(yīng)用舉例一、平面薄板的質(zhì)量二、平面薄板的重心三、平面薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第三節(jié) 三重積分的概念與計(jì)算二、在直角坐標(biāo)系中計(jì)算三重積分 一、三重積分的概念 2.三重積分的計(jì)算 三、在柱面坐標(biāo)系中計(jì)算三重積分

2、 (a) (b)四、在球面坐標(biāo)系中計(jì)算三重積分 上的連續(xù)函 是定義在 設(shè)某物體的密度函數(shù) 數(shù)當(dāng) 是直線段時(shí), 應(yīng)用定積分就能計(jì)算得該物體 的質(zhì)量.現(xiàn)在研究當(dāng) 是平面或空間中某一可求長度的曲線段時(shí)物體的質(zhì)量的計(jì)算問題. (2) 近似求和：在每一個(gè) 上任取一點(diǎn) 由于 (1) 分割：把 分成 個(gè)可求長度的小曲線段 第四節(jié) 曲線積分一 第一類（對(duì)弧長的）曲線積分1.第一類曲線積分的定義 上的連續(xù)函數(shù), 故當(dāng) 的弧長都很小時(shí), 每一小段 的質(zhì)量可近似地等于 其中 為小曲線段 的長度. 于是在整個(gè) 上的質(zhì)量就近似地等于和式 (3) 當(dāng)對(duì)的分割越來越細(xì)密(即 ) 時(shí), 上述和式的極限就應(yīng)是該物體的質(zhì)量.由上

3、面看到, 求物質(zhì)曲線段的質(zhì)量, 與求直線段的質(zhì) 量一樣, 也是通過“分割、近似求和、取極限”來得到的. 下面給出這類積分的定義. 個(gè)可求長度的小曲線段 的弧長,它把 定義在 上的函數(shù). 對(duì)曲線 做分割 分成記為 分割 的細(xì)度為 在 上任取 一點(diǎn) 若有極限 為平面上可求長度的曲線段, 定義1 設(shè) 為且 的值與分割 的取法無關(guān), 則稱此 極限為上的第一類曲線積分, 記作為空間可求長曲線段 , 若 為定義在 上 的函數(shù), 則可類似地定義 在空間曲線 上 的第一類曲線積分, 并且記作 于是前面講到的質(zhì)量分布在曲線段 上的物體的質(zhì) 量可由第一類曲線積分 (1) 或 (2) 求得. 1. 若, 為 常數(shù),

4、 則也存在, 且2. 若曲線段 由曲線 首尾相接而成, 都存在, 則 也存在, 且3 都存在, 且在 則4也存在, 且 5存在, 的弧長為則存在常數(shù) 使得6. 第一類曲線積分的幾何意義 為L若為坐標(biāo)平面 上的分段光滑曲線, 上定義的連續(xù)非負(fù)函數(shù). 由第一類曲線的定義, 易見 以 為準(zhǔn)線, 母線平行于 軸的柱面上截取 的部分的面積就是 定理1 設(shè)有光滑曲線 為定義在 上的連續(xù)函數(shù), 則 證 由弧長公式知道, 上由 的弧長 的連續(xù)性與積分中值定理, 有 2 第一類曲線積分的計(jì)算所以 這里 則有 令現(xiàn)在證明 因?yàn)閺?fù)合函數(shù) 連續(xù), 所以在閉區(qū) 間 上有界, 即存在常數(shù) 使對(duì)一切 都有 再由 上連續(xù),

5、所以它在 上一致連續(xù), 即對(duì)任給的 使當(dāng) 時(shí), 從而 所以 因此當(dāng)在(4)式兩邊取極限后, 即得所要證的(3)式. 上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)時(shí), (3)式成為 再由定積分定義 當(dāng)曲線 由方程 表示, 且 在 上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時(shí), (3)式成為 例1 設(shè) 是半圓周 試計(jì)算第一型曲線積分 解 當(dāng)曲線 L由方程表示, 且 在 例2 一段(圖20-2), 試計(jì)算第一型曲線積分 解 由參 仿照定理1, 對(duì)于空間曲線積分(2), 當(dāng)曲線 量方程 表示時(shí), 其計(jì)算公式為: 例3 計(jì)算 其中 為球面 被平面 所截得的圓周.解 由對(duì)稱性知 所以 *例4 計(jì)算 其中 為內(nèi)擺線 解 由對(duì)稱性知 其中 *例5 求圓柱面 被圓柱

6、面 所 而內(nèi)擺線的參數(shù)方程為 因此 包圍部分的面積 A. 解 圖中直影線部分為被圍柱面在第一卦限的部分, 它的面積為 把 平面上的 位于第一象限的四分之一圓周記為, 則被圍柱面在第一卦限部分正是以曲線 L 為準(zhǔn)線母線平行于 z 積分的幾何意義可知它的面積為 的那部分柱面. 由第一型曲面 軸的 L 的參數(shù)方程為:因此, 定義, 線密度為 的 曲線狀物體對(duì)于 x , y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 注 由第一類曲線積分的 例6 求線密度為 的曲線段 對(duì)于 y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解 和在物理中還遇到過另一種類型的曲線積分問題. 例如一質(zhì)點(diǎn)受力 的作用沿平面曲線 從點(diǎn) A 移動(dòng)到點(diǎn) B, 求力 所作的功,見圖

7、20-2.二、 第二類（對(duì)坐標(biāo)的）曲線積分 1 第二類曲線積分的定義為此在曲線AB 內(nèi)插入 個(gè)分點(diǎn) 一起把有向曲線 AB 分成 n個(gè)有向小曲線段Mi-1Mi (i=1,2, ,n), 若記小曲線設(shè)力 在軸方向的投影分別為那么的弧長為 則分割 的細(xì)度為段Mi-1Mi又設(shè)小曲線段Mi-1Mi 在 軸上的投影分別為 分別為點(diǎn) 的坐標(biāo). 記 于是力 在小曲線段Mi-1Mi 上所作的功其中 為小曲線段 上任一點(diǎn). 因而力 沿曲線 所作的功近似地等于 其中 當(dāng)細(xì)度 時(shí), 上式右邊和式的極限就應(yīng)該是 所求的功. 這種類型的和式極限就是下面所要討論 的第二型曲線積分. 定義1 設(shè)函數(shù) 定義在平面有向可 求長度

8、曲線 L:AB 上. 對(duì) 的任一分割 它把 分 成n個(gè)小曲線段Mi-1Mi (i=1,2, ,n),其中 記個(gè)小曲線段 的弧長 為 分割 的細(xì)度 又設(shè) 的分點(diǎn) 在每個(gè)小曲線段 上任取一點(diǎn) 若極限 存在且與分割 T 與點(diǎn) 的取法無關(guān), 則稱此極限為函數(shù) 沿有向曲線 L 上的第二類 的坐標(biāo)為 并記曲線積分, 記為 或上述積分(1)也可寫作或?yàn)闀鴮懞啙嵠鹨? (1)式常簡寫成 或 式可寫成向量形式若L為封閉的有向曲線, 則記為 若記 則(1) 或 于是, 力沿有向曲線 對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功為若L為空間有向可求長曲線, 為定義在L上的函數(shù), 則可按上述辦法類 似地定義沿空間有向曲線L上的第二類曲線積分, 并

9、記為或簡寫成當(dāng)把看作三維向量時(shí), (4)式也可表示成(3)式的向量形式.第二型曲線積分與曲線 L 的方向有關(guān). 對(duì)同一曲線, 當(dāng)方向由 A 到 B 改為由 B 到 A 時(shí), 每一小曲線段的方向改變, 從而所得的 也隨之改變符號(hào), 故 有 而第一型曲線積分的被積表達(dá)式只是函數(shù) 與 弧長的乘積, 它與曲線L的方向無關(guān). 這是兩種類型曲線積分的一個(gè)重要區(qū)別. 類似與第一型曲線積分, 第二型曲線積分也有如下一些主要性質(zhì): 1 也存在, 且 2. 若有向曲線 由有向曲線 首尾銜接而 成,都存在, 則 也存在, 且 第二類曲線積分也可化為定積分來計(jì)算. 設(shè)平面曲線 其中 上具有一階連續(xù)導(dǎo)函數(shù), 且 點(diǎn) 的

10、坐標(biāo)分別為 又設(shè) 上的連續(xù)函數(shù), 則沿 L 2第二類曲線積分的計(jì)算的第二類曲線積分可分別證明由此便可得公式(6). 對(duì)于沿封閉曲線L的第二類曲線積分(2)的計(jì)算, 可 在 L 上任意選取一點(diǎn)作為起點(diǎn), 沿L所指定的方向前 進(jìn), 最后回到這一點(diǎn). 例1 計(jì)算 其中 L 分別沿圖 20-3中的路線: (i) 直線段 (ii)(iii)(三角形周界).解 (i)直線 的參數(shù)方程為故由公式(6)可得 (ii)曲線 為拋物線 (iii)這里L(fēng)是一條封閉曲線, 故可從 A開始, 應(yīng)用上段加即可得到所求之曲線積分.由于沿直線的線積分為所以的性質(zhì)2, 分別求沿 上的線積分然后相 沿直線 的線積分為 所以 沿直

11、線 的線積分可由(i)及公式(5)得到: 例2 計(jì)算 這里 L 為: (i) 沿拋物線 的一段(圖20-4); (ii) 沿直線(iii) 沿封閉曲線解 (i)(ii)(iii)在OA一段上, 一段上, 一段上與(ii)一樣是的一段. 所以 (見(ii)沿空間有向曲線的第二類曲線積分的計(jì)算公式也與 (6) 式相仿. 設(shè)空間有向光滑曲線 L 的參量方程為 因此 起點(diǎn)為 終點(diǎn)為則 這里要注意曲線方向與積分上下限的確定應(yīng)該一致.L是螺旋線: 例3 計(jì)算第二類曲線積分上的一段(參見圖 205). 解 由公式 (7),例4 求在力作用下, (i)質(zhì)點(diǎn)由 沿螺旋線所作的功(圖20-5), 其中 (ii)質(zhì)

12、點(diǎn)由A沿直線所作的功.解 如本節(jié)開頭所述, 在空間曲線 L上力F所作的功為(i) 由于(ii) 的參量方程由于所以例5 設(shè)L為球面和平面的交線, 若面對(duì) x 軸正向看去, L是沿逆時(shí)針方向的,求(i) (ii)(i)由對(duì)稱性，解 L的參數(shù)方程為因此，(ii)由對(duì)稱性，*例6 設(shè)G是 R2 中的有界閉域， 是 上的連續(xù) 可微函數(shù), 是在G上的連續(xù)函數(shù).則對(duì)任意, 存在 對(duì)于任意分割只要 必有 其中 為端點(diǎn)的折線.證 由的有界性,存在使得令 由P,Q在 G 的一致連續(xù)性, 存在 使得 就有由在上的一致連續(xù)性,存在 使得就有.任意分割 ,滿足令 設(shè) 為連接與 的線段,其斜率為設(shè)的方程為則于是 設(shè)在

13、到的那段曲線為 則 因此注 例6 告訴我們曲線上的積分可用折線上的積分來逼近.在規(guī)定了曲線方向之后, 可以建立它們之間的聯(lián)系.的有向光滑曲線, 它以弧長s為參數(shù), 雖然第一類曲線積分與第二類曲線積分來自不同的物理原型, 且有著不同的特性, 但在一定條件下, 如于是其中l(wèi)為曲線L的全長, 且點(diǎn) 的坐標(biāo)分別為 三. 兩類曲線積分的聯(lián)系 曲線L上每一點(diǎn)的切線方 向指向弧長增加的一方. 現(xiàn)以分別表示 切線方向 軸正向的夾角, 則在曲線上的 每一點(diǎn)的切線方向余弦是上的連續(xù)函數(shù), 則由(6) 式得最后一個(gè)等式是根據(jù)第一型曲線積分化為定積分的公式.注 當(dāng)(9)式左邊第二類曲線積分中L改變方向時(shí), 積 分值改

14、變符號(hào), 相應(yīng)在(9)式右邊第一型曲線積分中, 曲線上各點(diǎn)的切線方向指向相反的方向(即指向弧 長減少的方向). 這時(shí)夾角分別與原來 的夾角相差一個(gè)弧度 從而 都 要變號(hào). 因此, 一旦方向確定了, 公式(9)總是成立的. 區(qū)域D的邊界曲線L的正方向：當(dāng)觀察者沿L的某個(gè) 方向行走時(shí), 區(qū)域D總在其左側(cè),則該方向即為L的正向. 四、 格林（Green）公式及其應(yīng)用 1.格林公式2.平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件 性質(zhì)特別，第五節(jié) 曲面積分一、第一類（對(duì)面積的）曲面積分定義計(jì)算法則三代：二換：一投：則三代：二換：一投：則三代：二換：一投：注意：這里曲面方程均是單值函數(shù)。第五節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、對(duì)

15、坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系四、小結(jié)二、第二類（對(duì)坐標(biāo)的）曲面積分觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).上側(cè)下側(cè)外側(cè)決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.內(nèi)側(cè)上側(cè)下側(cè)左側(cè)右側(cè)前側(cè)后側(cè)曲面的投影上側(cè)下側(cè)右側(cè)左側(cè)前側(cè)后側(cè)概念的引入實(shí)例: 流向曲面一側(cè)的流量.1.分割1.分割2.取近似則該點(diǎn)流速為法向量為3. 求和4.取極限被積函數(shù)積分曲面類似可定義組合形式:物理意義:存在條件:性質(zhì):二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法三定號(hào)：二代：一投：三定號(hào)：二代：一投：注意：曲面方程均是單值函數(shù).三定號(hào)：二代：一投：特別地，在 上恒