系統(tǒng)辨識和參數(shù)估計(jì)習(xí)題

1、word資料下載可編輯系統(tǒng)辨識與參數(shù)估計(jì)課程習(xí)題選擇題：答案唯一，在（）內(nèi)填入正確答案的編號。.對于批量最小二乘格式Y(jié)l =Gl6+El ,其最小二乘無偏估計(jì)的必要條件是（ ）。T1 TA.輸入序列uj為“持續(xù)激勵(lì)”信號B. El與（ll）l正交C. El為非白噪聲向量D.EEl=0.對象模型為yk =中：日十ek時(shí)，采用遞推最小二乘估計(jì)后的殘差序列的計(jì)算式為（ ）。A.；k = yk-k彳B.* = yk -kWc.二二 yk- ND.二二yk - TOC o 1-5 h z .在上題的條件下，遞推最小二乘算法中的增益矩陣Kk可以寫成（）。A. Pk4；：k4B.RRC. PkJkD.Pk；

2、：k.可以同時(shí)得到對象參數(shù)和干擾噪聲模型參數(shù)的估計(jì)算法是（）。A.輔助變量法B.廣義最小二乘法C.最小二乘限定記憶法D.相關(guān)最小二乘兩步法.增廣最小二乘估計(jì)的關(guān)鍵是（）。A.將控制項(xiàng)增廣進(jìn) Q中，并用殘差項(xiàng)取代進(jìn)行估計(jì)B.將輸出項(xiàng)增廣進(jìn)中卜中，并用殘差項(xiàng)取代進(jìn)行估計(jì)C.將噪聲項(xiàng)增廣進(jìn)中k中，并用殘差項(xiàng)取代進(jìn)行估計(jì)D.將噪聲項(xiàng)增廣進(jìn) Q中，并用輸出項(xiàng)取代進(jìn)行估計(jì)答案：1. B 2. C 3. D 4. B 5. C判斷題：以。表示正確或X表示錯(cuò)誤。專業(yè)技術(shù)資料word資料下載可編輯 TOC o 1-5 h z .估計(jì)殘差平方和最小是確定辨識過程對象結(jié)構(gòu)的唯一標(biāo)準(zhǔn)。().最小二乘估計(jì)的批量算法和遞

3、推算法在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。().廣義最小二乘法就是輔助變量法和增廣最小二乘法交替試用。().在遞推最小二乘算法中，若置Pk = P = PT a 0 ,則該算法也能克服“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象，進(jìn)而可適用于時(shí)變系統(tǒng)。()5.用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對 SISO非線性系統(tǒng)辨識，采用的是輸入層和輸出層均為一個(gè)神經(jīng)元的 三層前饋神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。()答案：1. X 2. O 3. X 4. O 5. X三、設(shè)y和xi ,X2，Xn之間滿足關(guān)系 y = e)p (aXi +a2x2 +a/n),試圖利用y和Xi,X2，Xn的觀測值來估計(jì)參數(shù) 為2： an ,請將該模型化成最小二乘格式。答案：z = ln(y) = a1x1 a

4、2x2，anxn = T -其中，”=10，an 1XX2，Xn TOC o 1-5 h z 四、對于多輸入單輸出(MISQ系統(tǒng)可由下面的模型描述 11、A(z )yk = B(z 跖ek其中，Uk為系統(tǒng)的mix 1維輸入向量；yk為系統(tǒng)的標(biāo)量輸出；ek為標(biāo)量i.i.d 隨機(jī)噪11嚴(yán)；z為延遲算子，即Z yk = yy； A(z )為標(biāo)量參數(shù)多項(xiàng)式，B(z )為1Xm的參數(shù)多項(xiàng)式向量：A(z，)=1 a1z.anaz-_ _1_ _1_. n.B(z ) = B0 BiZ.Bnbz b請寫出：最小二乘遞推算法公式和計(jì)算步驟或流程。答案：根據(jù)題意，可寫出最小二乘格式為:yk其中,二-l yk，y

5、y,T T - Tyk.;Uk4,Uk4, UibeT = |_ae2,用包刀0,巳，川，Bnb，因此，采用批量最小二乘法估計(jì)時(shí)，設(shè)采集數(shù)據(jù)時(shí)刻為k=1,2，,L ,則有批量最小二乘格式為:專業(yè)技術(shù)資料word資料下載可編輯其中,Yl =中” ElYL =一 yiy2，力L*1再，El-eje2Jl 一從而，批量最小二乘估計(jì)公式為:遞推最小二乘估計(jì)公式為:* =, Kk (yk - kj)KkPk JkPk = Pk kPk JJTPk1 ：；RJk初始估計(jì)：a=0, P0=2I, 2是一個(gè)充分大的正數(shù)。計(jì)算流程為：(0) 給定用，P0,k=0；(1)量測yk + ,組成支4；計(jì)算Kk書；計(jì)算

6、用十；輸出估計(jì)結(jié)果，并由誤差限或數(shù)據(jù)長度 L來確定是否停止估計(jì)。若條件滿足, 則停止估計(jì)；否則，繼續(xù)進(jìn)行。 計(jì)算Pk+；(6)ku k +1 ,返回到(1)。五、對于SISO系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型A(z)yk =B(z,)UkVk其中，Uk和yk分別為系統(tǒng)的輸入輸出量，Vk為干擾噪聲，A(z)和bq-1)為參數(shù)多項(xiàng)式：A(z) =1 a1z4an zaaB(z) =b。bz,b/fb且na nb, z為延遲算子，即zyk =yk4。1.對于量測uk、yk , k =1,2，N ,寫出估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)的最小二乘批量算法詳細(xì)公專業(yè)技術(shù)資料word資料下載可編輯.給出最小二乘法無偏估計(jì)的條件并加以證明。.簡述辨

7、識動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟。答案：.由題意可知，采用 L次測量的批量最小二乘格式可寫為:YnVn其中，小T-I*k _Yk J_ _Yk_2 , IH _ Yk_na ;uk J uk_2 J II uk_tb J. T 一忡,a2,l|l,ana；bo,b，川,bnbYn網(wǎng)1中T2，Vn*因此，最小二乘批量算法公式為:.證明:E=Ek-b：，N）YN LEU3，N）dX Vn）1 =e（u） Em*：，N），-NvN）i當(dāng)（GNGn）和中、Vn不相關(guān)時(shí)，上式第二項(xiàng)為零，最小二乘估計(jì)為無偏估計(jì)，Vk為零均值獨(dú)立隨機(jī)序列時(shí)，此條件自然滿足。此時(shí)，e（g=E（e）。.辨識動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步

8、驟為：Stepl:確定建模目的，并由工藝和物理 /化學(xué)過程初步確定模型形式和結(jié)構(gòu)；Step2:試驗(yàn)設(shè)計(jì)：包括試驗(yàn)信號設(shè)計(jì)、采樣周期選擇、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)長度選定、試驗(yàn)方式（離線/在線）等；Step3:實(shí)際系統(tǒng)試驗(yàn)，采集輸入輸出數(shù)據(jù)，并進(jìn)行數(shù)據(jù)的預(yù)處理；Step4:模型結(jié)構(gòu)假設(shè)，選定階次范圍；Step5:選供適用算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得到一組數(shù)學(xué)模型；Step6:模型結(jié)構(gòu)的確定，得到一個(gè)數(shù)學(xué)模型；Step7:模型檢驗(yàn)；根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果，可能要從Step2到Step6中的任何一步重新做起。Step8:若模型檢驗(yàn)合格，則得到最終模型。專業(yè)技術(shù)資料word資料下載可編輯六、某系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型為 yk = ayk二十bu

9、k十ek , 假設(shè)：系統(tǒng)是穩(wěn)定的，且 /和心/都 為零均值廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列。采用輔助變量法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，進(jìn)行L次量測，且L充分大,試證明： TOC o 1-5 h z U0U1+iZl = Uk,Uk+q:Ul,Ul j是一個(gè)合適的輔助變量矩陣。答案：證明：輔助變量法的計(jì)算公式為?V =(zt：.：，l)zYl =(Lz4，l)(zk根據(jù)題義有Zl； I UU：Vo 見+4Ml Ul+4+4y. %IIIUl J+4+4.Vl二UL一一 LL工yui工uuiy日LL1 Vi_1Ui工 UiUi.idi=1Z【Yl =vIII UkIII Ul+ +zi苴yUi_LIII Uk III UlVk

10、一L+ +z1yuiJ I,Vl U01因Vk、Uk和yk均為是零均值廣義平穩(wěn)噪聲序列，所以,lim 1z%l =LT： LRyu(0)Ryu(-1)Ruu(0)1Ruu(1)1 T lim Z【Y Li|_Ryu(1)一 Ryu(0)=lim pL-0L。) Ruu(0)l ；Ryu(1)1 = %hu(-1) Ruu(1)_ +yu(0)工：Ruu(1)-Ruu(0)l；Ryu(1)1IRyu(-1)Ryu(0)，Ryu(0)_專業(yè)技術(shù)資料word資料下載可編輯1 Ruu(1)Ryu(1)-Ruu(0)Ryu(0) I 一Ryu(1)RyuJ1)+R；u(0) 一式中， r Ryu(0)

11、Ruu(1)-Ryu(-1)Ruu(0)又相關(guān)函數(shù)Ryu(1) = E MuJaRyu。bRu(0)Ryu(0)=EMUk=aRyu(-1) bRu可得1 Ruu(1)aRyu(0)+bRu(0)Ru(0)aRyu(1) + bRu(1) 一？ -Ryu (-1)Ryu (0) + bRu(0) +，(0) aRyu(-1) + bRu(1)_ 一 k由此可知，Zn矩陣是一個(gè)合適的輔助變量矩陣。七、在遞推最小二乘估計(jì)中，新息的表達(dá)式為Kk=yk -邛TEL。k ,k k k k.請寫出殘差的表達(dá)式 Yk,k.證明:k,k =k,k/(1+瑪 PkFk)答案：. ykk =yk -Tak , k

12、k k k.證明：k,k = yk - T 2 = yk - ：:T (五4 , Kk (yk - ；：*) =yk,k 4 - k K k yk,k J = yk,k J (1 - k Kk ) = k,k(1TPk4cpk/(1 +邛TPk中k)=yk,k 4 /(1 k Pk 4 k)八、請證明：在遞推最小二乘估計(jì)中Kk =PkQ。證明：在遞推最小二乘估計(jì)中KkPk JkP ,:-,T Pp _ p _ Pk 4 k k Pk - Pk= k _ 11Tp一丁k Pk 口 k專業(yè)技術(shù)資料word資料下載可編輯P ： P ：RJJTPkJkPk k kJk- iPk.k_PkJk= K一1

13、 ；TPk/k 一 kYr jk二 pk i(i -k 丁)i - Pk i k k 1 k九、考慮一個(gè)SISO閉環(huán)系統(tǒng)如圖所示，其中uk和yk分別為前向通道過程輸入和輸出量,備為白噪聲擾動(dòng)序列，過程參數(shù)多項(xiàng)式111A(z )、B(z )、C(z )和已知的調(diào)節(jié)器參數(shù)多項(xiàng)式P(z,)、Q(z,)分別表示為:A(z,)=1 a1zJ .anazJaB(z)=b hz,.bz,b , na nbC(z,)=1 c1z .cn z 劣，nc _ 11i-nDP(z)=1 PiZ.Pnpz p1、1Q(z ) =q q1z. qnqZ試證明：過程參數(shù)多項(xiàng)式可辨識的條件是使調(diào)節(jié)器參數(shù)多項(xiàng)式的階次滿足證明

14、：由題義可知過程對象的數(shù)學(xué)模型為1_d _ 4_ 4A(z )yk =z B(z )Uk C(z )ek由wk到y(tǒng)k的閉環(huán)系統(tǒng)方程為A(z)P(z，)zB(z)Q(z)yk =zP(z4)B(z-1)Wk令專業(yè)技術(shù)資料word資料下載可編輯T(z-) = A(z-)P(z-) +z- B(z-)Q(z-) =1 +tiz- 十.一 十tntz,(8-1)S(z ) =z- P(z-)B(z) = S0 + &z+ 十 Snszs顯然有，nt=maxba+np, nb+nq+d nt = nb + nq則閉環(huán)系統(tǒng)方程可以寫為T(z1)yk =S(z,)Wk/亦可進(jìn)一步寫成最小二乘格式y(tǒng)k = T

15、?其中，T -Lyk， 一丫卜；Wk/ WkjJ1T : ttnt; SoSns 1采用相應(yīng)的最小二乘類型參數(shù)估計(jì)算法，可以估計(jì)得到e?o應(yīng)估計(jì)的主要的過程參數(shù)多項(xiàng)式 A(z,)、B(z/)的參數(shù)個(gè)數(shù)為l = na +nb +1 ,需要根據(jù)已知的調(diào)節(jié)器參數(shù)多項(xiàng)式P(z,)、Q(z,)，用估計(jì)得到的 不，從方程(3-1 )中解出。方程 (3-1 )兩邊z，同次哥系數(shù)比較即可得到線性方程組，從而解出過程參數(shù)的估計(jì)值A(chǔ)(z,)和M(z),有唯一解的必要條件為：nt 二 max na np, nb nq d J_ na nb 1其等價(jià)條件為np之nb+1或na +1d ,命題得證。十、考慮一個(gè)SISO

16、閉環(huán)系統(tǒng)如圖所示，其中uk和yk分別為前向通道被控對象的輸入和輸出量，ej為白噪聲擾動(dòng)序列。試討論以下兩種情況的被控對象模型參數(shù)的可辨識性 和辨識結(jié)果。1 .控制器為：F(z,)= f0 iz,，f0/0, f1=0一.控制器為：Fo(z )=-fo和Fi(z )=-。兩個(gè)控制器切換，fo=f1#O專業(yè)技術(shù)資料word資料下載可編輯11. F(z )=-%-f1z 時(shí)，1 =七丫卜-fyk-i , nq=1，np=。nq =1 = na 1 -d,該閉環(huán)系統(tǒng)可以辨識。閉環(huán)系統(tǒng)方程為：yk - -ayk1-azykN-dZykN -d心丫卜二，。，二 k71其中，.: 一 -yk，-kN，TkJ

17、S，/8= h1 P2, 3, 4 L 1 = ai,Ct2 = b0 f0 + a2 p3 = b0 flp 4 = C1根據(jù)題意，采用增廣最小二乘法對閉環(huán)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，可得：P 叫,4?3,始從而可以解出前向通道被控系統(tǒng)參數(shù)的估計(jì)值為：a = ?,g= ?2-f = 22-:挈0八1,總=2八14 = ?.由于是兩個(gè)不同的控制器切換，故存在閉環(huán)系統(tǒng)可辨識性。（1）Uk=fyk時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)方程為：yk 二 一現(xiàn)丫卜一azyk工-b0f。丫卜/ ek 64 = U ek其中，, k = lyk J, yk _2 ,ek/ =,%,4, %=21產(chǎn)2=%0+22產(chǎn)3=01根據(jù)題意，采用增廣最小二乘法對閉環(huán)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，可得：專業(yè)技術(shù)資料word資料下載可編輯7 -圈,多鼻從而可以解出：a = ?送=4-琢 f0,a = ?其中包和匕關(guān)聯(lián)，無法直接解出。(2)吸