最值系列之將軍飲馬

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)最值系列之將軍飲馬一、什么是將軍飲馬？【問題引入】 “白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎古從軍行里的一句詩。而由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”。【問題描述】如圖，將軍在圖中點A處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營，問：將軍怎么走能使得路程最短？【問題簡化】如圖，在直線上找一點P使得PA+PB最小？【問題分析】這個問題的難點在于PA+PB是一段折線段，通過觀察圖形很難得出結(jié)果，關(guān)于最小值，我們知道“兩點之間，線段最短”、“點到

2、直線的連線中，垂線段最短”等，所以此處，需轉(zhuǎn)化問題，將折線段變?yōu)橹本€段【問題解決】作點A關(guān)于直線的對稱點A，連接PA，則PA=PA，所以PA+PB=PA+PB當A、P、B三點共線的時候，PA+PB=AB，此時為最小值（兩點之間線段最短）【思路概述】作端點（點A或點B）關(guān)于折點（上圖P點）所在直線的對稱，化折線段為直線段二、將軍飲馬模型系列【一定兩動之點點】在OA、OB上分別取點M、N，使得PMN周長最小此處M、N均為折點，分別作點P關(guān)于OA（折點M所在直線）、OB（折點N所在直線）的對稱點，化折線段PM+MN+NP為PM+MN+NP，當P、M、N、P共線時，PMN周長最小【例題】如圖，點P是A

3、OB內(nèi)任意一點，AOB=30，OP=8，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，則PMN周長的最小值為_【分析】PMN周長即PM+PN+MN的最小值，此處M、N均為折點，分別作點P關(guān)于OB、OA對稱點P、P，化PM+PN+MN為PN+MN+PM當P、N、M、P共線時，得PMN周長的最小值，即線段PP長，連接OP、OP，可得OPP為等邊三角形，所以PP=OP=OP=8【兩定兩動之點點】在OA、OB上分別取點M、N使得四邊形PMNQ的周長最小?？紤]PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點P、Q關(guān)于OA、OB對稱，化折線段PM+MN+NQ為PM+MN+NQ，當P、M、

4、N、Q共線時，四邊形PMNQ的周長最小?！疽欢▋蓜又c線】在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小。此處M點為折點，作點P關(guān)于OA對稱的點P，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為PM+MN，即過點P作OB垂線分別交OA、OB于點M、N，得PM+MN最小值（點到直線的連線中，垂線段最短）三、幾何圖形中的將軍飲馬【尋找?guī)缀螆D形中端點關(guān)于折點所在直線的對稱點位置】正方形中的將軍飲馬【關(guān)于對角線對稱】如圖，正方形ABCD的邊長是4，M在DC上，且DM=1， N是AC邊上的一動點，則DMN周長的最小值是_【分析】考慮DM為定值，故求DMN周長最小值即求DN+MN最小值點N為折點，作點D關(guān)于AC的對稱點，即點B，

5、連接BN交AC于點N，此時DMN周長最小【假裝不存在的正方形】（2019山東聊城）如圖，在RtABO中，OBA=90，A（4,4），點C在邊AB上，且AC:CB=1:3，點D為OB的中點，點P為邊OA上的動點，當點P在OA上移動時，使四邊形PDBC周長最小的點P的坐標為AB，C，D【分析】此處點P為折點，可以作點D關(guān)于折點P所在直線OA的對稱：也可以作點C的對稱：【隱身的正方形】（2017遼寧營口）如圖，在ABC中，AC=BC，ACB=90，點D在BC上，BD=3，DC=1，點P是AB上的動點，則PC+PD的最小值為A4B5C6D7【分析】作點C關(guān)于P點所在直線AB的對稱點C，當C、P、D共線

6、時，PC+PD最小，最小值為5，故選B三角形中的將軍飲馬【等邊系列】如圖，在等邊ABC中，AB=6， N為AB上一點且BN=2AN， BC的高線AD交BC于點D，M是AD上的動點，連結(jié)BM，MN，則BM+MN的最小值是_【分析】M點為折點，作B點關(guān)于AD的對稱點，即C點，連接CN，即為所求的最小值 過點C作AB垂線，利用勾股定理求得CN的長為2倍根號7【隱身的等邊三角形】如圖，在RtABD中，AB=6，BAD=30，D=90，N為AB上一點且BN=2AN， M是AD上的動點，連結(jié)BM，MN，則BM+MN的最小值是_【分析】對稱點并不一定總是在已知圖形上【角分線系列之點點】（2018山東濰坊）如

7、圖，在RtABC中，ACB=90，AC=6AB=12，AD平分CAB，點F是AC的中點，點E是AD上的動點，則CE+EF的最小值為A3B4CD【分析】此處E點為折點，可作點C關(guān)于AD的對稱，對稱點C在AB上且在AB中點，化折線段CE+EF為CE+EF，當C、E、F共線時得最小值，CF為CB的一半，故選C【角分線系列之點線】（2018遼寧營口）如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，ABC=60， BD平分ABC，交AC于點D，M、N分別是BD，BC上的動點，則CM+MN的最小值是AB2CD4【分析】此處M點為折點，作點N關(guān)于BD的對稱點，恰好在AB上，化折線CM+MN為CM+MN因為M、N皆為動

8、點，所以過點C作AB的垂線，可得最小值，選C矩形、菱形中的將軍飲馬【菱形高】（2018廣西貴港）如圖，在菱形ABCD中，AC=，BD=6，E是BC的中點，P、M分別是AC、AB上的動點，連接PE、PM，則PE+PM的最小值是A6BCD4.5【分析】此處P為折點，作點M關(guān)于AC的對稱點M，恰好在AD上，化折線EP+PM為EP+PM當E、P、M共線時，EP+PM最小，最小值即為菱形的高，可用面積法：ACBD/2=BCEM【折點在邊上】（2017山東菏澤）如圖，矩形ABOC的頂點A的坐標為（-4,5），D是OB的中點，E是OC上的一點，當ADE的周長最小時，點E的坐標是ABCD【分析】點E為折點，E

9、是y軸上一點，作點D關(guān)于y軸的對稱點D，連接AD，與y軸交點即為所求E點【折點與面積】（2019西藏）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，動點P滿足，則點P到A、B兩點距離之和PA+PB的最小值為ABCD【分析】由可作出P點軌跡為直線MN（AM=BN=2），作點B關(guān)于MN的對稱點B，化折線PA+PB為PA+PB當A、P、B共線時，取到最小值，選A【全等與對稱】（2017江蘇南通）如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點E、F、G、H分別在矩形ABCD各邊上，且AE=CG，BF=DH，則四邊形EFGH周長的最小值為ABCD【分析】考慮到四邊形EFGH是平行四邊形，即求EH+EF最小

10、值，此處E為折點，作F關(guān)于AB對稱點F，則BF=BF=DH=CM，MF=BC=5，MH=DC=10，HF為5倍根號5，周長最小值為10倍根號5，故選B四、特殊角的對稱【60角的對稱】（2018濱州）如圖，AOB=60，點P是AOB內(nèi)的定點且OP=，若點M、N分別是射線OA、OB上異于點O的動點，則PMN周長的最小值是ABC6D3【分析】此處M、N均為折點，分別作點P關(guān)于OB、OA的對稱點P、P，化PMN周長為PN+NM+MP當P、N、M、P共線時，得最小值，利用60角翻倍得POP=120，OP=OP=OP，可得最小值【30角的對稱】（2017湖北隨州）如圖，AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點P

11、是OA上的一動點，點N（3,0）是OB上的一定點，點M是ON的中點，AOB=30，要使PM+PN最小，則點P的坐標為 【分析】此處點P為折點，作點M關(guān)于OA的對稱對稱點M如圖所示，連接PM，化PM+PN為PM+PN 當M、P、N共線時，得最小值，又MON=60且ON=2OM，可得OMN=90，故P點坐標可求【20角的對稱】如圖，已知正比例函數(shù)y=kx（k0）的圖像與x軸相交所成的銳角為70，定點A的坐標為（0，4），P為y軸上的一個動點，M、N為函數(shù)y=kx（k0）的圖像上的兩個動點，則AM+MP+PN的最小值為_【分析】先考慮M為折點，作點P關(guān)于OM對稱點P，化AM+MP+PN為AM+MP+

12、PN此處P為折點，作點N關(guān)于OP對稱點N，化AM+MP+PN為AM+MP+PN當A、M、P、N共線且ANON時，值最小最值系列之將軍飲馬（二）【將軍過橋】已知將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點落在A位置問題化為求AN+NB最小值，顯然，當共線時，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置【用幾何變換將若干段原本彼此分離線段組合到一起】【將軍過兩個橋】已知將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過兩條河去往B點的軍營，橋必須

13、垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？考慮PQ、MN均為定值，所以路程最短等價于AP+QM+NB最小，對于這彼此分離的三段，可以通過平移使其連接到一起AP平移至AQ，NB平移至MB，化AP+QM+NB為AQ+QM+MB當A、Q、M、B共線時，AQ+QM+MB取到最小值，再依次確定P、N位置【將軍遛馬】如圖，將軍在A點處，現(xiàn)在將軍要帶馬去河邊喝水，并沿著河岸走一段路，再返回軍營，問怎么走路程最短？【問題簡化】已知A、B兩點，MN長度為定值，求確定M、N位置使得AM+MN+NB值最??？【分析】考慮MN為定值，故只要AM+BN值最小即可將AM平移使M、N重合，AM=AN，將AM+BN轉(zhuǎn)化為AN+NB構(gòu)造點A關(guān)于MN的對稱點A，連接AB，可依次確定N、M位置，可得路線【例題】如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點B在原點，點A、C在坐標軸上，點D的坐標為（6，4），E為CD的中點，點P、Q為BC邊上兩個動點，且PQ=2，要使四邊形APQE的周長最小，則點P的坐示應(yīng)為_【分析】考慮PQ、AE為定值，故只要AP+QE最小即可，如圖，將AP平移至AQ，考慮AQ+QE最小值作點A關(guān)于x軸的對稱點A，連接AE