2.2.1 向量的加法1

1、蘇教版普通高中數(shù)學課程標準實驗教材數(shù)學必修4PAGE PAGE 6課 題：向量的加法江蘇省鹽城中學 徐瑢一、教學目標向量是近代數(shù)學中重要的基本概念,是中學數(shù)學的核心內(nèi)容,具有工具性的特點,而其工具作用主要通過向量的運算而得以體現(xiàn)的向量的加法運算是向量運算的基礎(chǔ),它是以物理中矢量的合成為背景抽象出的一種全新的數(shù)學運算依據(jù)高中數(shù)學課程標準的要求,結(jié)合學生的認知特點,確定這節(jié)課價值取向是強調(diào)本質(zhì)、再現(xiàn)過程、發(fā)展思維、提升能力.基于此,本節(jié)課的教學目標確立為:(1)理解向量加法的含義,掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,掌握向量加法的交換律與結(jié)合律,并會簡單應(yīng)用；(2)經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學概

2、念的過程,體會數(shù)學思維的嚴謹性和數(shù)學的簡約美,同時掌握思想方法,發(fā)展各種能力； (3)發(fā)展學生的數(shù)學應(yīng)用意識,體驗數(shù)學文化,豐富學生的學習情感,提升數(shù)學素養(yǎng)二、學情分析向量加法是向量運算的起始課，是學生第一次有意識地主動去定義一種全新的數(shù)學運算，是對運算認識的一次飛躍然而學生的認知存在著不足，他們對數(shù)學運算的經(jīng)驗只局限于數(shù)或式等這些代數(shù)對象上，對運算的理解也僅局限于算法層面，沒有經(jīng)歷過自覺地建構(gòu)數(shù)學運算的過程，所以對于向量加法的意義建構(gòu)與理解，對學生而言無疑是陌生的、有一定的難度這就需要去分析學生已有的知識經(jīng)驗其實，在物理中，學生對力、位移、速度等矢量的合成比較熟悉，這就有了得到向量加法定義及

3、兩個法則的抽象原型，同時，學生在學習向量的概念和表示時，已經(jīng)歷過從物理原型抽象出向量概念的過程，這為學生順利抽象出向量加法的定義和法則奠定了基礎(chǔ)；此外，學生在初中已經(jīng)學習過數(shù)和式的運算律，這為學習向量加法的運算律提供了類比對象與方法因此，教師在課堂教學過程中，應(yīng)該充分發(fā)揮教學智慧，為學生提供熟悉的物理情境，給學生適時的啟發(fā)、點撥，用問題去引導學生展開對物理模型的抽象，從而探究出向量加法的定義及其運算法則，再引導學生對已經(jīng)學過的數(shù)與式的運算規(guī)律加以回顧，類比出向量加法的運算律，并加以驗證、熟悉和應(yīng)用三、重點、難點重點：從實際問題中抽象出數(shù)學模型，引導學生歸納出向量加法的定義和運算法則，培養(yǎng)學生的

4、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括能力；難點：對向量加法法則本質(zhì)的理解.四、教法方法 問題探究式五、教學過程設(shè)計1 問題情境師:我們知道,數(shù)能進行運算,有了運算,從而使得數(shù)變化無窮、魅力無比.那么與數(shù)的運算類比,我們目前研究的向量既有大小又有方向的量,它是否也能進行運算呢？因為向量有著豐富的物理背景,所以我們先來看幾個物理現(xiàn)象:圖1情境1(速度的合成) 今年7月,江淮流域發(fā)生了歷史罕見的大洪災(zāi)某城外有一條自西向東流淌的大河,河兩岸高筑堤壩,某天,巡防隊員在南岸巡邏時發(fā)現(xiàn)正對岸的堤壩有一處險情,他們立即跳上小船垂直向?qū)Π恶側(cè)ィㄈ鐖D1）,已知船的靜水速度為8,河水以4的速度東流請問如果船不改變方向,他們

5、能否準確到達出事地點？為什么？生:由于受水流的影響,船的實際航向?qū)x,從而不能準確到達圖2師:從物理角度怎么解釋？生:船的實際速度應(yīng)是船靜水速度和水流速度的合成師:很好,這表明速度與速度之間是可以合成的情境2(力的合成) 如圖2,很熟悉吧,這是蘇教版物理必修1第61頁的一幅插圖,它說明了什么？生:兩個孩子用的力和一個成人用的力是等效的,力也是可以合成的圖3情境3 (位移的合成) 如圖3,你能讀懂這幅畫嗎? 現(xiàn)在僅從位移的角度看,這兩種航行方式之間是何關(guān)系? 生:從上海到臺北有兩條途徑,這兩種航行方式是等效的,即兩個位移也是可以合成一個位移的師:在物理中,速度、力和位移都是矢量,去掉這些量的

6、物理屬性,從數(shù)學的角度來看,它們都是向量,兩個矢量的合成也就可以抽象成向量與向量之間的一種運算加法！這就是我們今天要研究的課題 2 自主探究問題1 對于給定的兩個向量,我們該如何定義它們的和？前面這些物理原型,給我們什么啟發(fā)？師:請大家認真思考,可相互討論交流(留足夠的時間供學生自主探究).生:受速度和力的合成的啟發(fā),我們可以在平面內(nèi)任取一點,分別作,以為鄰邊作平行四邊形,則以為起點的對角線就是向量的和(如圖4)師:這是通過構(gòu)造平行四邊形來操作的,可稱之為平行四邊形法則.這種操作要注意什么？生:兩個向量要平移至共起點,和向量為以O(shè)為起點的對角線師:還有其他想法嗎？生:受位移合成的啟發(fā),我們還可

7、以在平面內(nèi)任取一點,作,則向量叫做向量的和(如圖5)師:這個可稱為三角形法則,在操作中要注意什么？生:首尾順次連接問題2 這兩個法則之間有什么聯(lián)系？圖4圖5生:在圖4中,只要將向量平移至,平行四邊形法則和三角形法則就可以相互轉(zhuǎn)化,平行四邊形法則中蘊含了三角形法則（圖形中有兩個完全一致的三角形）,三角形法則也可以生成平行四邊形法則.師:也就是說,這兩者是等價的,在本質(zhì)上是一致的問題3 如果我們選擇其一作為向量和的定義,你愿意選擇哪一種呢？為什么？生:我愿意選擇三角形法,因為它顯得更簡約、更容易操作師:好,下面我們就按照這位同學說的把三角形法則作為兩個向量的和的定義,請試著把它的操作過程用文字語言

8、敘述出來3 意義建構(gòu)定義:已知向量、,在平面內(nèi)任取一點O,作,則向量叫做向量的和.記作:,即師:由此可知,兩個向量的和仍然是一個向量,它的方向可能與原來的兩個向量方向都不相同,它的模也不一定是原來兩個向量模的簡單疊加.我們把求兩個向量和的運算叫做向量的加法.顯然,這里是通過幾何作圖的方式加以定義的在具體求和時,應(yīng)該根據(jù)情況靈活地選擇兩個法則練習:已知、,作出（黑板上給出三個問題:兩個是不共線的向量；兩個同向共線的向量；兩個反向共線的向量）追問1:問題是反向共線,反向共線中有一種非常特殊的情形兩個相反向量的和什么？該如何求和？生:兩個相反向量,其和是,即,這種情況實質(zhì)上就是向量的終點又回到起點師

9、:請注意,和0有著本質(zhì)的區(qū)別；和任意向量都共線,其和滿足:追問2:后面的兩個小題及其拓展說明了什么？生:共線向量相加時,雖然不能構(gòu)成三角形,但仍可以用三角形法則來實施操作追問3:共線向量相加時,能否用平行四邊形法則？生:不能,因為此時不能構(gòu)成平行四邊形,無法確定其對角線,所以無法操作.師:這進一步說明用三角形法則來定義向量的加法,不僅簡約,而且全面、嚴謹、科學從數(shù)學的角度看,前面提及的物理問題中矢量的合成實質(zhì)上都是向量的加法問題4 以前學習數(shù)、字母、式的加法時,它們都滿足交換律和結(jié)合律,即,那么向量的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律呢？如果滿足,具體形式是什么呢？生:應(yīng)該滿足,即交換律:；結(jié)合律:

10、.追問:該如何來驗證呢？生:作圖師:好,下面我們分組來試一試（學生熱情高漲,思維活躍,學生代表積極交流、展示）.師:研究結(jié)果表明:向量的加法也滿足交換律和結(jié)合律,這與數(shù)的加法是一致的經(jīng)過大家的協(xié)作探究,我們對向量的加法有了一些認識向量加法的引入,豐富了加法運算的內(nèi)涵,實現(xiàn)了加法運算的一次質(zhì)的飛躍4 數(shù)學應(yīng)用例1 如圖6,為正六邊形的中心,作出下列向量:圖6(1)；（平行四邊形法則） (2)；（共線向量的和）(3)；(4)；（多個向量的和） 解析:略.師:更一般地,如圖7,這是2012年第30屆倫敦奧運會的會徽,現(xiàn)在,它的外圍有若干向量首尾順次相接,那么所有這些向量的和是什么？這說明什么？請用文

11、字語言來描述圖7生:,即師:其實這是連續(xù)運用三角形法則的結(jié)果因此,這可以看作為向量加法三角形法則的推廣,我們不妨稱其為多個向量相加的多邊形法則；進一步,如果再加上一個向量,和向量是什么？生:,即師:請用文字語言來描述生:如果平面內(nèi)有個向量依次首尾相接組成一條封閉折線,則這個向量的和為師:這里“終點又回到起點”,結(jié)果是,但過程中卻可以是精彩紛呈的.這啟示我們,生命的意義在于過程,而不是結(jié)局圖8例2 回到情境1.(1)如果船不改變方向,船的實際航向是什么？(用與水流速度所成角的正切值表示)(2)如果要使船能夠垂直到達對岸,該如何確定其航向？解析:略.師:這里的第(2)小題,其實質(zhì)是知道了兩個向量的和向量以及其中的一個向量,求另一個向量,這實際上涉及到到了兩個向量加法的逆運算,是我們下一節(jié)課將要重點研究的問題.5 課堂小結(jié)師:船成功到達彼岸的時刻,也是我們這節(jié)課結(jié)束的時候了.本節(jié)課我們從物理原型抽象出數(shù)學模型,在此基礎(chǔ)上去研究數(shù)學模型,最后應(yīng)用到生活實踐中去再一次告訴我們,數(shù)學源于生活,又服務(wù)于生活馬克思說過:一門科學只有在成功地