(江蘇專版)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2.9函數(shù)模型及其應(yīng)用(講)-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

1、概 基 等81 28word函 數(shù)念 與本 初函數(shù)內(nèi)容函數(shù)模型及其應(yīng)用專題 2.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用【考綱解讀】要求 備注A B C對(duì)知識(shí)的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個(gè)層次（在表中分別用 A、 B、 C 表示） .了解： 要求對(duì)所列知識(shí)的含義有最基本的認(rèn)識(shí)，并能解決相關(guān)的簡(jiǎn)單問題 .理解： 要求對(duì)所列知識(shí)有較深刻的認(rèn)識(shí)，并能解決有一定綜合性的問題 .掌握： 要求系統(tǒng)地掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)的或較為困難的問題 .【直擊教材】1已知某種動(dòng)物繁殖量 y( 只)與時(shí)間 x(年) 的關(guān)系為 y alog 3(x 1) ，設(shè)這種動(dòng)物第 2 年有 100 只，到第 8 年它們發(fā)展到

2、_只答案： 2002用 18 m 的材料圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間有兩道隔墻若使矩形面積最大，則能圍成的最大面積是2_m .解析：設(shè)隔墻長(zhǎng)為 x m，則面積 Sx x 2x29x 2 x . 所以當(dāng) x 時(shí)，能圍成的面積最大，為 m .81答案：8【知識(shí)清單】1幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型一次函數(shù)模型函數(shù)解析式f ( x) ax b( a， b 為常數(shù)， a0)1 / 10增長(zhǎng)速度word二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型冪函數(shù)模型f ( x) ax2 bxc( a， b， c 為常數(shù)， a0)f ( x) bax c( a， b， c 為常數(shù)， a0 且 a1， b0)f ( x) blog a

3、x c( a， b， c 為常數(shù)， a0 且 a1， b0)f ( x) axn b( a， b， n 為常數(shù)， a0， n0)2三種函數(shù)模型性質(zhì)比較y ax( a1)在(0， )上的增函數(shù)單調(diào)性越來越快隨 x 值增大，圖像與圖像的變化軸接近平行y log ax( a1)增函數(shù)越來越慢y 隨 x 值增大，圖像與 x軸接近平行y xn( n0)增函數(shù)相對(duì)平穩(wěn)隨 n值變化而不同【考點(diǎn)深度剖析】解答應(yīng)用問題的程序概括為“四步八字” ，即審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；建模：把自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；求模：求解數(shù)學(xué)

4、模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn) 1 一次函數(shù)與二次函數(shù)模型【 1-1 】 某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式： A 種方式是月租 20 元， B 種方式是月租 0 元一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時(shí)間 t ( 分鐘 ) 與費(fèi) s( 元) 的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)通話 150 分鐘時(shí)，這兩種方式費(fèi)相差_元2 / 1020( x 10 xword【答案】 10【 1-2 】 將進(jìn)貨單價(jià)為 80 元的商品按 90 元出售時(shí)，能賣出 400 個(gè)若該商品每個(gè)漲價(jià) 1 元，其銷售量就減少 20 個(gè)，為了賺取最大的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每個(gè) _元【答案】 95【解析】設(shè)售價(jià)定為 (9

5、0 x) 元，賣出商品后獲得利潤(rùn)為： y (90 x 80)(400 20 x) 20(10 x)(20 x)2 200) 20( x2 10 x 200) 20( x 5) 2 225 ，當(dāng) x5 時(shí)， y 取得最大值，即售價(jià)應(yīng)定為： 905 95( 元).【思想方法】(1) 二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)；(2) 確定一次函數(shù)模型時(shí)，一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來確定，常用待定系數(shù)法；(3) 解決函數(shù)應(yīng)用問題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問題【溫馨提醒】1易忽視實(shí)際問題的自變量的取值 X 圍，需合理確定函數(shù)的定義域2注意問題反饋在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)

6、證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性考點(diǎn) 2 分段函數(shù)模型【 2-1 】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v( 單位：千米 /小時(shí) )是車流密度 x( 單位：輛 / 千米 ) 的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到此時(shí)車流速度為 0 千米/ 小時(shí)；當(dāng)車流密度不超過 20 輛/ 千米時(shí)，車流速度為20 x200 時(shí)，車流速度 v 是車流密度 x 的一次函數(shù)(1) 當(dāng) 0 x200 時(shí)，求函數(shù) v( x) 的表達(dá)式(2) 當(dāng)車流密度 x 為多大時(shí)， 車流量 (單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，3 / 10200 輛/ 千米時(shí)，造成堵塞，60 千米 / 小時(shí)研究表明：

7、當(dāng)單位： 輛/ 小時(shí) ) f ( x) x v( x)200 x，word可以達(dá)到最大，并求出最大值 ( 精確到 1 輛/ 小時(shí))【答案】 (1) v ( x) 60， 0 x20，3 20 x200.(2) 當(dāng) x 100 時(shí)， f( x)在區(qū)間 (20,200 上取得最大值【 2-2 】某公司研制出了一種新產(chǎn)品，試制了一批樣品分別在國(guó)內(nèi)和國(guó)外上市銷售，并且價(jià)格根據(jù)銷售情況不斷進(jìn)行調(diào)整，結(jié)果 40 天內(nèi)全部銷完公司對(duì)銷售及銷售利潤(rùn)進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如圖所示，其中圖 ( 一條折線 ) 、圖 (一條拋物線段 ) 分別是國(guó)外和國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系，圖是每件樣品的銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系

8、(1) 分別寫出國(guó)外市場(chǎng)的日銷售量f ( t ) 與上市時(shí)間 t 的關(guān)系及國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量 g( t )與上市時(shí)間 t4 / 10【答案】 (1) f ( t ) 60 t 8t .3 270word的關(guān)系；(2) 國(guó)外和國(guó)內(nèi)的日銷售利潤(rùn)之和有沒有可能恰好等于 6 300 萬元？若有，請(qǐng)說明是上市后的第幾天；若沒有，請(qǐng)說明理由2t， 0 t 30，6t 240， 30t 40.g ( t ) t 2 6t (0 t 40) (2) 上市后的第 30 天F( t ) 在0,20 上是增函數(shù)，F(xiàn)( t ) 在此區(qū)間上的最大值為 F(20) 6 0006 300.當(dāng) 20t 30 時(shí)， F( t

9、) 20由 F( t ) 6 300 ，得 3 t 2 160t 2 100 0，解得 t 3 (舍去 ) 或 t 30.5 / 1012 .3word當(dāng) 30t 40 時(shí)， F( t ) 60 20t 2240 .由 F( t ) 在 (30,40 上是減函數(shù)，得 F( t ) F(30) 6 300.故國(guó)外和國(guó)內(nèi)的日銷售利潤(rùn)之和可以恰好等于 6 300 萬元，為上市后的第 30 天【思想方法】(1) 實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解(2) 分段函數(shù)的最值是各段的最大 (最小) 者的最大者 (最

10、小者 )【溫馨提醒】構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，做到分段合理、不重不漏考點(diǎn) 3 指數(shù)函數(shù)模型【 3-1 】一片森林原來面積為 a，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是 10 年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的2面積為原來的(1) 求每年砍伐面積的百分比；(2) 到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3) 今后最多還能砍伐多少年？1【答案】 (1) x 1 2 10 (2) 5 (3)15.14，已知到今年為止，森林剩余6 / 10word【 3-2 】某位股民購(gòu)進(jìn)某支股票，在接下來的交易時(shí)間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了 n次漲停 (每次上

11、漲 10%)，又經(jīng)歷了 n 次跌停 (每次下跌 10%)，判定該股民這支股票的盈虧情況 ( 不考慮其他費(fèi)用 ).【答案】略有虧損【思想方法】(1) 指數(shù)函數(shù)模型，常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問題中有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來解決7 / 10b800baword(2) 應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型，再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從 而確定函數(shù)模型(3) y a(1 x) n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解【溫馨提醒】解指數(shù)不等式時(shí)，一定要化為同底，且注意對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)二 函數(shù)y xx模型的應(yīng)用為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減

12、少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為 6 萬元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用 C( 單位：萬元 )與隔熱層厚度 x( 單位： cm)滿足關(guān)系 C( x) 3x 5(0 x10) ，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為設(shè) f ( x)為隔熱層建造費(fèi)用與 20 年的能源消耗費(fèi)用之和(1) 求 k 的值及 f ( x) 的表達(dá)式；(2) 隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用 f ( x)達(dá)到最小，并求最小值解： (1) 由已知條件得 C(0) 8，則 k 40，因此 f ( x) 6x 20C( x) 6x 35(0 x10)800(2) f (

13、 x) 6x 103x 5 1028006x 10 3x 5 10 70( 萬元 )，當(dāng)且僅當(dāng) 6x 10 3x 5，即 x 5 時(shí)等號(hào)成立所以當(dāng)隔熱層厚度為 5 cm 時(shí)，總費(fèi)用 f ( x) 達(dá)到最小值，最小值為 70 萬元 由題悟法 應(yīng)用函數(shù) y x模型的關(guān)鍵點(diǎn)(1) 明確對(duì)勾函數(shù)是正比例函數(shù) f ( x) ax 與反比例函數(shù) f ( x) x疊加而成的b(2) 解決實(shí)際問題時(shí)一般可以直接建立 f ( x) axx的模型，有時(shí)可以將所列函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為x的形式8 萬元，f ( x) ax(3) 利用模型 f ( x) ax求解最值時(shí)，要注意自變量的取值 X 圍，及取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件

14、 即時(shí)應(yīng)用 8 / 10word“水資源與永恒發(fā)展”是 2015 年聯(lián)合國(guó)世界水資源日主題，近年來，某企業(yè)每年需要向自來水廠所繳納水費(fèi)約 4 萬元，為了緩解供水壓力，決定安裝一個(gè)可使用 4 年的自動(dòng)污水凈化設(shè)備，安裝這種凈水設(shè)備的成本費(fèi) (單位：萬元 ) 與管線、主體裝置的占地面積 ( 單位：平方米 ) 成正比，比例系數(shù)約為 0.2. 為了保證正常用水，安裝后采用凈水裝置凈水和自來水廠供水互補(bǔ)的用水模式假設(shè)在此模式下，安裝后該企業(yè)每年向自來水廠繳納的水費(fèi) C(單位：萬元 )與安裝的這種凈水設(shè)備的占地面積 x( 單位：平方米 )之間的函數(shù)關(guān)系是C( x) 50 x 250( x0， k 為常數(shù)

15、)和(1) 試解釋 C(0) 的實(shí)際意義，并建立記 y 為該企業(yè)安裝這種凈水設(shè)備的費(fèi)用與該企業(yè) 4 年共將消耗的水費(fèi)之y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式并化簡(jiǎn)；(2) 當(dāng) x 為多少平方米時(shí)， y 取得最小值，最小值是多少萬元？【易錯(cuò)試題常警惕】數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問題，一定要正確理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型；合理確定實(shí)際問題中自變量的取值 X 圍；必須驗(yàn)證答案對(duì)實(shí)際問題的合理性如：如圖所示，在矩形 CD 中，已知 a， C b （ a b）在 、 D 、 CD 、 C 上分別截取 、 、 CG 、 CF都等于 x ，當(dāng) x 為何值時(shí)，四邊形 FG 的面積最大？求出這個(gè)最大面積9 / 104 4a b4a b 28648 m2蔬菜的種植面積最大？word【分析】設(shè)四邊形 FG 的面積為 S ，則 S F S D G1 x2 ， 2a b8S x2 2ab 2 1 2 1 a2，由圖形知函數(shù)的定義域?yàn)?x b x 2xx 0 x b a b b， 即 a 3b 時(shí)， x a b，使面積 S 取得最大值在 0,b 上是增函數(shù)，此時(shí)當(dāng) x b 時(shí)， S 有最大值為 221a x b x ，a b x 2 xS S CFGa b 240ab2bb a，；若 8a b 244，若 20 b a ba b b， 即 a 3b 時(shí)， 函數(shù) S xa b 28ab b2 綜上可知，當(dāng) x b