信號與系統(tǒng)-教學課件-ppt--第2章連續(xù)時域分析

1、1第2章 信號與LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.1 引言2.2 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學模型2.3 系統(tǒng)的單位沖激響應2.4 卷積* 2.5 零輸入響應2機械工業(yè)出版社1、什么是時域分析？系統(tǒng)的數(shù)學模型、系統(tǒng)激勵與響應都表示為時間的函數(shù)，求解系統(tǒng)響應或者分析系統(tǒng)特性完全在時間域里進行。2、時域分析方法 常見兩種時域分析方法：微分分析法與卷積法。2.1 引言3機械工業(yè)出版社分析步驟：（1）微分分析法 經(jīng)典時域分析法已知系統(tǒng)激勵列輸出/輸入微分方程求微分方程的齊次解確定全響應的系數(shù)+全響應確定邊界條件求微分方程的特解優(yōu)點：直觀、物理概念清楚。不足：能夠分析的實際問題有限。4機械工業(yè)出版社 卷積法建

2、立在LTI系統(tǒng)全響應能夠分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應之和的認識之上，以及把沖激函數(shù)引入線性系統(tǒng)的理論研究之中。分析零狀態(tài)響應的步驟：（2）卷積法 現(xiàn)代時域分析法已知系統(tǒng)激勵列寫系統(tǒng)微分方程解微分方程求單位沖激響應激勵與沖激響應卷積運算零狀態(tài)響應5機械工業(yè)出版社3、本章學習內(nèi)容的編排 學習怎樣用時域卷積法求零狀態(tài)響應。內(nèi)容包括：（1）利用算子符號建立單輸入/單輸出系統(tǒng)微分方 程。（2）什么是單位沖激響應？如何解系統(tǒng)微分方程， 求單位沖激響應？（3）卷積的定義、計算、性質(zhì)及應用。6機械工業(yè)出版社2.2.1 算子符號與傳輸算子一、算子符號 為了在建立系統(tǒng)數(shù)學模型的過程中書寫和整理方程便捷，引入算子符

3、號替代微分和積分運算符號。1、微分算子符號2.2 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學模型 p 與變量結合7機械工業(yè)出版社2、積分算子符號 1/p 與變量結合例 在關聯(lián)參考方向下，電感元件的端口伏安 關系為 以及 用算子符號表示為 以及 8機械工業(yè)出版社例 微分方程 可表示為p2r(t) + 5pr(t) + 6 r(t) = pe(t)或者 ( p 2 + 5p + 6 ) r(t) = pe(t)( p2 + 5p +6 )和 p 被稱為算子多項式。算子多項式在形式上與代數(shù)式相同，但本質(zhì)上不是代數(shù)式，僅僅是一種運算符號。9機械工業(yè)出版社二、算子符號的運算規(guī)則1、算子多項式可進行乘、除運算 比如兩邊同除

4、( p2 + 7p +12 )，得令 為系統(tǒng)傳輸算子。 描述單輸入/輸出的系統(tǒng)微分方程簡潔地表示為H(p)r(t)e(t)10機械工業(yè)出版社2、算子多項式可因式分解 對二階微分方程( p2 + 7p + 12)r(t) = (2p + 7)e(t)進行因式分解、除運算，并展開為其中11機械工業(yè)出版社說明一個高階系統(tǒng)可以由若干低階系統(tǒng)并聯(lián)構成。r(t)e(t)+r(t)= r1(t)+r2(t)e(t)r1(t)r2(t)把二階微分方程拆分為兩個一階微分方程，分別是 12機械工業(yè)出版社2.2.2 用算子符號建立系統(tǒng)微分方程 1、建立系統(tǒng)微分方程的步驟 第一步，由已知時域電路模型找出算子電路模型。

5、 遵循的原則： 電感元件用算子符號Lp或1/Lp表示，電容元件則用算子符號1/Cp或Cp表示；Lp及1/Cp相當于阻抗， 1/Lp與Cp相當于導納。其他元件、電路結構、電量的參考方向都保持不變。 第二步，根據(jù)算子電路模型，運用電路定律、定理和各種分析方法，建立用算子符號表示的微積分方程或方程組。13機械工業(yè)出版社 第三步，運用算子多項式的運算規(guī)則，化簡和整理方程，得到輸入/輸出微分方程，或系統(tǒng)傳輸算子。2、舉例例 時域電路模型如圖所示。輸入為電壓源vS(t)，輸出為電流i(t)。請寫出：（1）系統(tǒng)傳輸算子H(p)。（2）系統(tǒng)微分方程。1H111F1i(t)+vs(t)14機械工業(yè)出版社p1/p

6、v1v2111i(t)+vs(t)把v2(t) = i(t)代入以上兩式，解得：（1）系統(tǒng)傳輸算子為（2）系統(tǒng)微分方程為解：第一步，畫算子電路。 第二步，列寫微分方程。選擇節(jié)點法。設參考節(jié)點和節(jié)點電壓，如圖所示。 15機械工業(yè)出版社v0(t)a)iS(t)1H2H+-i0(t)22v0(t)b)iS(t)p2p+-i0(t)222+pc)2iS(t)+-+-v0(t)例 電路如圖a所示，激勵為電流源iS(t)。（1）若響應為電壓vo(t)，求輸入/輸出微分方程。（2）若響應為電流io(t)，求輸入/輸出微分方程。解：選擇等效變換法。簡化算子電路。 16機械工業(yè)出版社2+pc)2iS(t)+-+

7、-v0(t)（1）運用分壓公式，圖c中輸出電壓為 描述vo(t)與iS(t)關系的微分方程為 ( p2 + 5p + 2)vo(t) = 4p iS(t)（2）根據(jù)圖b，把vo(t) = 2pio(t)代入上式，得io(t)與iS(t)關系的微分方程( p2 + 5p + 2)io(t) = 2 iS(t)17機械工業(yè)出版社3、微分方程的一般規(guī)律（1）系統(tǒng)微分方程的階數(shù)等于系統(tǒng)中獨立儲能元件 的個數(shù)。（2）當元件參數(shù)都是常數(shù)時，構成的系統(tǒng)是LTI連續(xù)時間系統(tǒng)。描述n階LTI連續(xù)時間系統(tǒng)輸出r(t)與輸入e(t) 的微分方程為令：D(p) = p n + an-1 pn 1 + + a0 N(p

8、) = bm p m + bm-1 pm 1 + + b0上式又可表示為 18機械工業(yè)出版社n階LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的傳輸算子為（3）在同一個系統(tǒng)中，選取不同的輸入與輸出， 會得到不同的系統(tǒng)微分方程（或傳輸算子）；但微分方程等式左邊的算子多項式都相同。19機械工業(yè)出版社 設信號在t = 0接入系統(tǒng)，信號接入前最后時刻用t = 0 表示，稱為起始時刻；信號接入后最初時刻用t = 0 + 表示，稱為初始時刻。分析系統(tǒng)的起點有選在0時刻與0 +時刻兩種系統(tǒng)模式。10起始條件 把系統(tǒng)在t = 0 時刻的一組相互獨立的數(shù)據(jù)稱為起始條件，或起始值。 起始條件有兩種常見選取方法：2.2.3 邊界條件 20機械

9、工業(yè)出版社（1）選擇系統(tǒng)中獨立電感的電流iL(0)和獨立電容的電壓vC(0) 。（2）選擇r(0)，r(0)，r(k)(0)，r(n-1)(0)。其中，20+初始條件 系統(tǒng)在t = 0+時刻的一組相互獨立的數(shù)據(jù)被稱為初始條件。 常見的選取方法與起始條件相似。21機械工業(yè)出版社（1）選擇系統(tǒng)中獨立電感電流iL(0+)和獨立電容電壓vC(0+) 為初始值。 如果在t = 0時刻，沒有沖激電流（或者階躍電壓）作用于電容，vC(t)不會發(fā)生跳變；若無沖激電壓（或階躍電流）作用于電感，iL(t)不會發(fā)生跳變。則vC(t)和iL(t)在t = 0滿足換路定律，有（2）選擇r(0+)，r(0+)，r(k)(

10、0+)，r(n-1)(0)。22機械工業(yè)出版社3、說明（1）獨立邊界條件的個數(shù)等于系統(tǒng)中獨立儲能元件的個數(shù)，也等于系統(tǒng)微分方程的階數(shù)。 （2）在iL(0)和vC(0) 這組邊界條件中只要有一個不為零，系統(tǒng)就存在零輸入響應。 iL(0)和vC(0)，或iL(0+)和vC(0)這兩組數(shù)據(jù)不能直接用作解微分方程的邊界條件，但其物理概念清楚。（3）r(k)(0) 與r(k)(0+)這兩組數(shù)據(jù)通常用作解n 階微分方程的邊界條件。23機械工業(yè)出版社2.3 系統(tǒng)單位沖激響應1、單位沖激響應（簡稱沖激響應）的定義 在單位沖激信號d (t)作用下，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，記為h(t)。n階LTI因果系統(tǒng)的h(t)滿足

11、以下微分方程:24機械工業(yè)出版社2、求解思路 根據(jù)d (t)的特點，把微分方程分解為t = 0和t 0兩個時間區(qū)域，有 ( pn + an1 pn1 + + a0)h(t) = 0 t 0(pn +a0)h(t) = (bm pm +bm1pm1+ +b0)d(t) t = 0 若n m，先根據(jù)齊次微分方程求出h(t)的通解，再求出h(t)的各階導函數(shù)ph(t)，p2h(t)，pnh(t)，然后代入t = 0的非齊次微分方程，通過比較等式兩邊pkd(t)（k =0，1，2，n）的系數(shù)，確定通解的系數(shù)，進而得到唯一解h(t)。25機械工業(yè)出版社3、求解n m微分方程舉例 例 已知描述某因果系統(tǒng)的

12、微分方程為 r(t) + 7r(t) + 10r(t) = 21e(t) 求該系統(tǒng)的單位沖激響應。解：當激勵e(t) = d (t)時，響應 r(t) = h(t)，有 h(t) + 7h(t) + 10h(t) = 21d (t) t 0第一步，根據(jù)齊次微分方程求h(t)的通解。當t 0時，d (t) = 0，齊次微分方程為 h(t) + 7h(t) + 10h(t) = 0特征方程為 26機械工業(yè)出版社特征根為: l1 = 2，l2 = 5系統(tǒng)單位沖激響應的通解 h(t) = ( k1e2t + k2e5t )u(t)第二步，根據(jù)t = 0的非齊次微分方程確定通解的系數(shù)。 h(t) = (

13、2k1e2t + 5k2e5t)u(t) + (k1e2t + k2e5t)d (t)利用f(t)d(t) = f (0)d(t)的關系，簡化上式 h(t) = (2k1e2t + 5k2e5t)u(t) + (k1 + k2)d (t)h(t)=(4k1e2t + 25k2e5t)u(t)(2k1+ 5k2)d(t) + (k1+k2)d (t)把h(t)、h(t)、h(t)代入式 h(t) + 7h(t) + 10h(t) = 21d (t)27機械工業(yè)出版社整理得 ( 5k1+ 2k2)d (t) + ( k1+ k2)d (t) = 21d (t)比較等式兩邊函數(shù)d (t)和d (t)

14、的系數(shù)，得到方程組解以上方程組，得；k1 = 7，k2 = 7。該系統(tǒng)單位沖激響應為 h(t) = 7(e2t e5t )u(t)28機械工業(yè)出版社4、求解nm微分方程舉例 思路：當nm時，傳輸算子H(p)是假分式。先通過長除，把假分式分解為一個p算子多項式與一個真分式傳輸算子之和的結構，真分式傳輸算子部分按以上討論的方法求沖激響應。例 已知描述系統(tǒng)的微分方程為 ( p2 + 5p + 6 )r(t) = ( p2 + 2p + 3 )e(t) 求：系統(tǒng)單位沖激響應h(t)。29機械工業(yè)出版社解：用長除法分解傳輸算子 其中 意義：把原系統(tǒng)分解為兩個子系統(tǒng)。其中，子系統(tǒng) h1(t)已求出，只需要

15、求子系統(tǒng)h2(t)。h2(t)按前 述n m的情況求解。 30機械工業(yè)出版社 本節(jié)主要解決以下幾個問題：* 什么是卷積？* 卷積有何實際意義？* 如何計算卷積？* 卷積運算有哪些規(guī)律？2.4 卷積31機械工業(yè)出版社一、卷積的定義 在卷積積分運算中，t是參變量，變化區(qū)域 (，)；隨 t 變化，積分上、下限會發(fā)生相應的變化。卷積積分的難點是積分分段和確定積分上、下限。2.4.1 卷積的定義和意義32機械工業(yè)出版社2. 卷積的意義（1）連續(xù)時間信號的沖激函數(shù)分解 當 f1(t) = e(t)，f2(t) = d (t)時，利用了沖激函數(shù)的篩選性，有數(shù)學含義：任何連續(xù)時間函數(shù)與單位沖激函數(shù)卷積等于該函

16、數(shù)。物理意義：任何連續(xù)時間信號都能夠分解為無限多沖激函數(shù)的線性疊加。或者說，任何連續(xù)時間信號都能由無限多個沖激函數(shù)線性疊加構成。33機械工業(yè)出版社推導：任意連續(xù)時間信號用一系列矩形脈沖去近似。把 t 軸分割成寬度為t 的無窮多小段，每段內(nèi)的e(t)值用該段起始時刻的函數(shù)值近似。te(t)d(tt)e(0)d(t)00 2 k (k+1)te(0)e(k)e()當 時，e(t)用以下矩形近似表示34機械工業(yè)出版社在任意時間段，e(t)的近似函數(shù)et (t)為 當t 0時，et(t)e(t)，求和運算變?yōu)榉e分運算，t dt，kt t ， 。上式的極限為 35機械工業(yè)出版社(2) 分析LTI連續(xù)時間

17、系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 LTI系統(tǒng)d (t)h(t)LTI系統(tǒng)e(t )h(t-t ) e(t )d (t-t )LTI系統(tǒng)含義：在信號e(t)單獨作用下，LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應rzs(t)等于輸入信號e(t) 與單位沖激響應h(t)的卷積.36機械工業(yè)出版社1. 解析法 所謂解析法就是用一個閉和的解析表達式來計算卷積積分，一般用于分段簡單的函數(shù)。例 計算卷積 u(t)*u(t)。解：根據(jù)卷積定義，有2.4.2 計算卷積自變量必須滿足： 0和t 0，被積函數(shù)的非零區(qū)間：0 0，右移；t 0，左移。（3）乘 運算，或被積函數(shù) f1(t ) f2( t t ) ；（4）計算 f1(t ) f2(

18、t t ) 重疊區(qū)域的面積。隨著參變量 t 移動，f1( )f2(t )的重疊區(qū)間在不斷變化，重復步驟(3)和 (4)。 利用圖形的直觀性輔助卷積計算的方法。 39機械工業(yè)出版社011e(t)t01h(t) = et u(t)t例 e(t)與h(t) 的波形如圖所示，求rzs(t) = h(t)* e(t)自變量變換：t te(t)tth(t ) = et u(t )40機械工業(yè)出版社011e( )0-11e(- )e( t - )t 1t當t 從 變到+時，有t 0，e ( t ) 右移t t 1e(t- )關鍵點：分段與確定積分上、下限。41機械工業(yè)出版社t 001t-1 t0 t 0 f

19、2( t- ) 右移t 0 f2( t- ) 左移-2t22t+2f2(- )-22f2( t - )t2t+2-22f2( t - )t2t+245機械工業(yè)出版社t 4兩波形沒有重疊部分，被積函數(shù)0，故有-22f2(-)t-2 t +2-2 246機械工業(yè)出版社-4 t 0兩波形重疊區(qū)域為 -2， t +2 t-2 t +2-2 2-22f2(-)t-2 t +247機械工業(yè)出版社0 4t-2 t +2-2 2-22f2(-)t-2 t +248機械工業(yè)出版社卷積結果t- 4 4f(t)6022f1(t)t2023/4f2(t)t2 兩個等寬矩形卷積為等腰三角形；三角形的非零值脈寬是兩個矩形

20、非零值脈寬之和；f(t)的脈寬下限是f1(t)和f2(t)的脈寬下限之和，f(t)的脈寬上限是f1(t)和f2(t)的脈寬上限之和。49機械工業(yè)出版社2.4.3 卷積的性質(zhì)一、時移性 若有 f(t) = f1(t) f2(t) 則有 f1(tt1)f2(tt2) = f1(tt2)f2(tt1) = f1(tt2t1)f2(t) = f1(t)f2(tt2t1) = f (t t1t2) 設函數(shù)f1(t)、f2(t)、f3(t)中任意兩者的卷積均存在，則卷積積分存在如下運算規(guī)律。 50機械工業(yè)出版社例 計算以下卷積： (1) f(t) d (t t0) (2) d (t t1) d (t t2

21、) 解： (1) 已知 f(t) * d (t) = f(t)，以及卷積的時移性，得f(t) d (t t0) = f (t t0)(2) 根據(jù)d (t) * d (t) = d (t)與時移性，有 d (t t1) d (t t2) = d (t t1 t2) 51機械工業(yè)出版社證明：根據(jù)卷積定義 令 t1 = x，則有 = x + t1，d = dx，代入上式，證畢。52機械工業(yè)出版社二、交換律運算規(guī)律：交換兩個函數(shù)卷積的次序不改變運算結果。 證明：已知 令t = x，則有 = t x，d = dx，代入上式，得證畢。53機械工業(yè)出版社物理意義：h(t)e(t)r(t) = e(t)*h(

22、t)h(t)e(t)r(t) = h(t)*e(t)信號e(t)作用于單位沖激響應為h(t)的LTI連續(xù)時間系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應與信號h(t)作用于單位沖激響應是e(t)的LTI連續(xù)時間系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應完全相同。54機械工業(yè)出版社三、分配律分配律說明加法運算與卷積積分運算可以互換次序。證明：證畢。55機械工業(yè)出版社兩種物理解釋： f1(t)f2(t)+f3(t)r(t)（1）若把f1(t)視為LTI系統(tǒng)的沖激響應，f2(t) + f3(t)視為系統(tǒng)的激勵，分配律告訴我們：兩個信號共同作用于LTI系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應等于每個信號單獨作用于該系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應之和。f1(t)f2(t)f1(

23、t)f3(t)r(t)56機械工業(yè)出版社f1(t)f2(t)+f3(t)r(t)f1(t)f2(t)r(t)f3(t)（2）若f2(t)+f3(t)是LTI系統(tǒng)的單位沖激響應，f1(t)為系統(tǒng)激勵，分配律指出：一個單位沖激響應為f2(t)+f3(t)的LTI系統(tǒng)，可由兩個LTI子系統(tǒng)并聯(lián)構成。f1(t)作用于并聯(lián)系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應等于f1(t)分別作用于兩個子系統(tǒng)產(chǎn)生的零態(tài)響應之和。 并聯(lián)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應等于各LTI子系統(tǒng)沖激響應之和。57機械工業(yè)出版社例 重算以下兩個門函數(shù)的卷積積分。已知 u(t) u(t) = R(t)，利用分配律和時移性，022f1(t)t2023/4f2(t)t258機械工業(yè)出版社四、結合律運算含義：交換卷積積分的先后次序不影響運算結果。物理含義及引申含義：(1) LTI級聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應等于各LTI子系統(tǒng)沖激響 應的卷積 。(2) LTI系統(tǒng)級聯(lián)構成的復合系統(tǒng)仍是LTI系統(tǒng)。(3) LTI系統(tǒng)可以任意交換級聯(lián)次序 。f2(t)*f3(t)f1(t)r(t)f1(t)*f2(t)r(t)f3(t)f1(t)f2(t)59機械工業(yè)出版社例 在圖示復合系統(tǒng)中，已知三個子系統(tǒng)的沖激響應分別為h1(t)