自主招生小專(zhuān)題：一端是定點(diǎn),另一端是動(dòng)點(diǎn)的線段最值問(wèn)題

1、自主招生小專(zhuān)題：一端是定點(diǎn)，另一端是動(dòng)點(diǎn)的線段最值問(wèn)題理論依據(jù)：1、直線外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短；（適合于被動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線型）2、圓外一定點(diǎn)到定圓上動(dòng)點(diǎn)的線段中，何時(shí)取最值，一目了然；（實(shí)質(zhì)就是利用 三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩之差小于第三邊，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)） 解題關(guān)鍵：找出動(dòng)點(diǎn)的軌跡。動(dòng)點(diǎn)要么呈直線型運(yùn)動(dòng)； 要么在圓弧上運(yùn)動(dòng)（特別注意：若能轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段, 就不需要找軌跡了） 如何找軌跡：1、在同一幅圖中多畫(huà)幾個(gè)不同位置的點(diǎn)（至少 3個(gè)），若對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)不在同一直線上，則該動(dòng)點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)；否則在直線上運(yùn)動(dòng)；2、將三角形繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，有時(shí)要進(jìn)行縮放，以便形成

2、全等或相似，這樣容易找出動(dòng)點(diǎn)的軌跡。（這兩類(lèi)軌跡是比較難找的）特別注意：有時(shí)旋轉(zhuǎn)后，并不需要找軌跡，答案已經(jīng)快浮出水面了主動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，而被動(dòng)點(diǎn)是由主動(dòng)點(diǎn)繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度并放縮后得到的，則該被動(dòng)點(diǎn)也在圓上運(yùn)動(dòng)；同理，主動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，而被動(dòng)點(diǎn)是由主動(dòng)點(diǎn)繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度并放縮后得到的，則該被動(dòng)點(diǎn)也在線段上運(yùn)動(dòng)（對(duì)于這樣的圖形就不需要畫(huà)圖來(lái)判斷軌跡是什么類(lèi)型的）例1、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中， 以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑作圓O,點(diǎn)B是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A （2, 0）, 以AB為直角邊作等腰 RtA ABC, （A、B、C按順時(shí)針排列），則OC的長(zhǎng)度的取值范圍是 解析：動(dòng)點(diǎn)C可以看作是線段

3、 AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o所得，接下來(lái)將 AB彼點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o可得 ACO,顯然O （2, 2）, OC=OB=1 ,故點(diǎn)C是在圓O運(yùn)動(dòng)，又 O O=2 V2當(dāng)點(diǎn)C在線段OO上時(shí)，OC有最小值為242-1當(dāng)點(diǎn)C在線段OO延長(zhǎng)線上時(shí)，OC有最大值為202+1,所以2 J2-1WOCW2 J2+1特別注意：也許有人會(huì)問(wèn)，網(wǎng)上不是有捆綁旋轉(zhuǎn)法嗎？為什么不直接把圓O繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o?這時(shí)因?yàn)?直接把圓旋轉(zhuǎn)后，圖形會(huì)比較擁擠，有些點(diǎn)的坐標(biāo)有時(shí)不好求。類(lèi)題演練1、如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓 O的半徑為1,點(diǎn)A （2, 0）,動(dòng)點(diǎn)B在圓O上，連接AB,作等邊/ ABC （A、B、C為順時(shí)針排列）

4、，求OC的最大值與最小值略解：動(dòng)點(diǎn)C可以看作是線段 AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o所得，接下來(lái)將 AB彼點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o可得 ACO,顯然O為定點(diǎn)，OC=OB=1 ,故點(diǎn)C是在圓O運(yùn)動(dòng)，又 O O=2所以2-1WOCW2+1,即OC的最小值為1,最大值為3 類(lèi)題演練2、如圖，AB=4, O為AB的中點(diǎn)，圓O的半徑為1,點(diǎn)P是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，以PB為直角邊的等腰直角 PBC （點(diǎn)P、B、C按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，則線段AC長(zhǎng)的取值范圍是略解：被動(dòng)點(diǎn) C可以看作是由主動(dòng)點(diǎn) P繞定點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45并伸長(zhǎng)到原來(lái)的 J2倍，接下來(lái)將 OPB這種方式的旋轉(zhuǎn)。J，WA（X 3 2例2、如圖， ABC中，/ AC

5、B=9S, CA=CB=4 CDAB于點(diǎn)D, P是CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以 P為直角頂點(diǎn)向下作 等腰直角 PBE,連接DE,求DE的最小值。類(lèi)題演練 3、如圖， ABC中，ZACB=9G0, ZA=30o, AC=6 D是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 以DC為斜邊作等腰直角 DCE 使/ CED=9O 點(diǎn)E和點(diǎn)A位于CD的兩側(cè)，連接 BE,求BE的最小值。例3、如圖，點(diǎn)P是正方形 ABCD外的一點(diǎn)，PA=3 PB=4,求PC的最大值類(lèi)題演練4、如圖，點(diǎn)P是等邊 ABC外的一點(diǎn)，PA=3, PB=4,求PC的最大值類(lèi)題演練5、如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD外的一點(diǎn)，對(duì)角線 AC、BD交于點(diǎn)O, PA=3,PB=4,求

6、PO的最大值類(lèi)題演練6、如圖，點(diǎn)P是正六邊形 ABCDEF外的一點(diǎn)，PA=3, PB=4,求PC PDPF的最大值例4、如圖，點(diǎn)O在線段AB上，OA=1, OB=2,以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑白圓為。O,在。上取動(dòng)點(diǎn)P,以1PB為邊作 PBC,使/ PBC=90o, tan/PCB , P、B、C二點(diǎn)為逆時(shí)針順序排列。連接AC,求AC長(zhǎng)的取值氾圍。2類(lèi)題演練7、如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn) C在AB的延長(zhǎng)線上，AB=BC=10 P是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，連接 PC,以PC3為邊作 PCD使/ PDC=90, tan/DPC=3, P、C D三點(diǎn)按逆時(shí)針排列，連接 OD求線段OD長(zhǎng)的最小值。4類(lèi)題演練 8

7、、如圖，在 RtABC 中，/ ABC=90, tan / BAC=3 ,點(diǎn) P 是 4ABC 外的一點(diǎn)，PA=3, PB=4,求 PC 的4最大值類(lèi)題演練9、如圖，圓。的半徑為3,點(diǎn)A、B是圓。上兩點(diǎn)，/ ABC=90 （A、B、C按順時(shí)針排列） 34tan/BAC=3,求線段OC長(zhǎng)的取值范圍。求運(yùn)動(dòng)路徑的時(shí)候，也需要弄清運(yùn)動(dòng)軌跡1、在平面直角坐標(biāo)系中，A (2, 0)、B (0, 3),過(guò)點(diǎn)B作直線/ x軸，點(diǎn)P (a, 3)是該直線上的動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊在AP右側(cè)作等腰 RtAAPCQ /APQ=RtZ,直線 AQ交y軸于點(diǎn)C. ( K型圖)(1)當(dāng)a=1時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為;(2)當(dāng)點(diǎn)P在

8、直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) Q也隨之運(yùn)動(dòng)。當(dāng)a=時(shí)，AQ+BQ勺值最小為 .姝略解：(1)由K型圖，Q (4, 4)(2)由旋轉(zhuǎn)不變性及 K型圖，得Q (a+3, 5-a),故點(diǎn)Q在直線y= -x+8上運(yùn)動(dòng)，然后將軍飲馬;a= 40 ,最小值為J73112、(2013?胡州)如圖，已知點(diǎn) A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為 2 J3的一個(gè)定點(diǎn)，AC，x軸于點(diǎn)M,交直線y= - x于點(diǎn)N.若點(diǎn)P是直線 ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，/ APB=30 , BA PA,則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn) 隨之運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn) P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是 3、如圖，在 RtABC中，/ ACB=9S, /A=30o, AC=6, D是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以 DC為斜邊作等腰直角 DCE 使點(diǎn)E和點(diǎn)A位于CD的兩側(cè)，點(diǎn)D從點(diǎn)A到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：(1)求 DCE周長(zhǎng)的最小值；(2)求點(diǎn)E的移動(dòng)路徑4、如圖，A (-3, 0), B (0, 3), C (-1, 4),點(diǎn)P、C、M按逆時(shí)針排列