自主招生小專題：一端是定點,另一端是動點的線段最值問題

1、自主招生小專題：一端是定點，另一端是動點的線段最值問題理論依據(jù)：1、直線外一點到直線上各點的連線中，垂線段最短；（適合于被動點的軌跡為直線型）2、圓外一定點到定圓上動點的線段中，何時取最值，一目了然；（實質就是利用 三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩之差小于第三邊，三點共線時取等號） 解題關鍵：找出動點的軌跡。動點要么呈直線型運動； 要么在圓弧上運動（特別注意：若能轉化成兩點之間線段, 就不需要找軌跡了） 如何找軌跡：1、在同一幅圖中多畫幾個不同位置的點（至少 3個），若對應的動點不在同一直線上，則該動點在弧上運動；否則在直線上運動；2、將三角形繞定點旋轉一定的角度，有時要進行縮放，以便形成

2、全等或相似，這樣容易找出動點的軌跡。（這兩類軌跡是比較難找的）特別注意：有時旋轉后，并不需要找軌跡，答案已經(jīng)快浮出水面了主動點在圓上運動，而被動點是由主動點繞定點旋轉一定角度并放縮后得到的，則該被動點也在圓上運動；同理，主動點在線段上運動，而被動點是由主動點繞定點旋轉一定角度并放縮后得到的，則該被動點也在線段上運動（對于這樣的圖形就不需要畫圖來判斷軌跡是什么類型的）例1、如圖所示，在平面直角坐標系中， 以原點O為圓心，1為半徑作圓O,點B是圓O上一動點，點A （2, 0）, 以AB為直角邊作等腰 RtA ABC, （A、B、C按順時針排列），則OC的長度的取值范圍是 解析：動點C可以看作是線段

3、 AB繞點A順時針旋轉90o所得，接下來將 AB彼點A順時針旋轉90o可得 ACO,顯然O （2, 2）, OC=OB=1 ,故點C是在圓O運動，又 O O=2 V2當點C在線段OO上時，OC有最小值為242-1當點C在線段OO延長線上時，OC有最大值為202+1,所以2 J2-1WOCW2 J2+1特別注意：也許有人會問，網(wǎng)上不是有捆綁旋轉法嗎？為什么不直接把圓O繞點A順時針旋轉90o?這時因為,直接把圓旋轉后，圖形會比較擁擠，有些點的坐標有時不好求。類題演練1、如圖，點O為坐標原點，圓 O的半徑為1,點A （2, 0）,動點B在圓O上，連接AB,作等邊/ ABC （A、B、C為順時針排列）

4、，求OC的最大值與最小值略解：動點C可以看作是線段 AB繞點A順時針旋轉60o所得，接下來將 AB彼點A順時針旋轉60o可得 ACO,顯然O為定點，OC=OB=1 ,故點C是在圓O運動，又 O O=2所以2-1WOCW2+1,即OC的最小值為1,最大值為3 類題演練2、如圖，AB=4, O為AB的中點，圓O的半徑為1,點P是圓O上一動點，以PB為直角邊的等腰直角 PBC （點P、B、C按逆時針方向排列），則線段AC長的取值范圍是略解：被動點 C可以看作是由主動點 P繞定點B順時針旋轉45并伸長到原來的 J2倍，接下來將 OPB這種方式的旋轉。J，WA（X 3 2例2、如圖， ABC中，/ AC

5、B=9S, CA=CB=4 CDAB于點D, P是CD上一個動點，以 P為直角頂點向下作 等腰直角 PBE,連接DE,求DE的最小值。類題演練 3、如圖， ABC中，ZACB=9G0, ZA=30o, AC=6 D是AB上一個動點， 以DC為斜邊作等腰直角 DCE 使/ CED=9O 點E和點A位于CD的兩側，連接 BE,求BE的最小值。例3、如圖，點P是正方形 ABCD外的一點，PA=3 PB=4,求PC的最大值類題演練4、如圖，點P是等邊 ABC外的一點，PA=3, PB=4,求PC的最大值類題演練5、如圖，點P是正方形ABCD外的一點，對角線 AC、BD交于點O, PA=3,PB=4,求

6、PO的最大值類題演練6、如圖，點P是正六邊形 ABCDEF外的一點，PA=3, PB=4,求PC PDPF的最大值例4、如圖，點O在線段AB上，OA=1, OB=2,以點O為圓心，OA長為半徑白圓為。O,在。上取動點P,以1PB為邊作 PBC,使/ PBC=90o, tan/PCB , P、B、C二點為逆時針順序排列。連接AC,求AC長的取值氾圍。2類題演練7、如圖，AB是圓O的直徑，點 C在AB的延長線上，AB=BC=10 P是圓O上一動點，連接 PC,以PC3為邊作 PCD使/ PDC=90, tan/DPC=3, P、C D三點按逆時針排列，連接 OD求線段OD長的最小值。4類題演練 8

7、、如圖，在 RtABC 中，/ ABC=90, tan / BAC=3 ,點 P 是 4ABC 外的一點，PA=3, PB=4,求 PC 的4最大值類題演練9、如圖，圓。的半徑為3,點A、B是圓。上兩點，/ ABC=90 （A、B、C按順時針排列） 34tan/BAC=3,求線段OC長的取值范圍。求運動路徑的時候，也需要弄清運動軌跡1、在平面直角坐標系中，A (2, 0)、B (0, 3),過點B作直線/ x軸，點P (a, 3)是該直線上的動點，以AP為邊在AP右側作等腰 RtAAPCQ /APQ=RtZ,直線 AQ交y軸于點C. ( K型圖)(1)當a=1時，則點Q的坐標為;(2)當點P在

8、直線上運動時，點 Q也隨之運動。當a=時，AQ+BQ勺值最小為 .姝略解：(1)由K型圖，Q (4, 4)(2)由旋轉不變性及 K型圖，得Q (a+3, 5-a),故點Q在直線y= -x+8上運動，然后將軍飲馬;a= 40 ,最小值為J73112、(2013?胡州)如圖，已知點 A是第一象限內(nèi)橫坐標為 2 J3的一個定點，AC，x軸于點M,交直線y= - x于點N.若點P是直線 ON上的一個動點，/ APB=30 , BA PA,則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點 隨之運動.當點 P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是 3、如圖，在 RtABC中，/ ACB=9S, /A=30o, AC=6, D是AB上一個動點，以 DC為斜邊作等腰直角 DCE 使點E和點A位于CD的兩側，點D從點A到點B的運動過程中：(1)求 DCE周長的最小值；(2)求點E的移動路徑4、如圖，A (-3, 0), B (0, 3), C (-1, 4),點P、C、M按逆時針排列