2021新教材數(shù)學(xué)人教B版必修第二冊課件：6.2.3-平面向量的坐標及其運算

1、6.2.3平面向量的坐標及其運算必備知識自主學(xué)習(xí)1.平面向量的坐標(1)向量的垂直:平面上的兩個非零向量a,b,如果它們所在的直線_,則稱向量a,b垂直,記作ab.規(guī)定_與任意向量都垂直.導(dǎo)思1.平面向量如何用坐標表示?如何進行向量的坐標運算?2.如何利用向量的坐標表示兩點距離和向量的平行?互相垂直零向量(2)向量的正交分解:如果平面向量的基底e1,e2中,e1e2,則稱這組基底為_,在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解.(3)向量的坐標:給定平面內(nèi)兩個相互垂直的_,對于平面內(nèi)的向量a,如果a=_,則稱(x,y)為向量a的坐標,記作a=_.正交基底單位向量e1,e2xe1+ye2(x,y)

2、【思考】(1)正交分解與平面向量基本定理有何聯(lián)系?提示:正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直時).(2)平面中,若以e1的方向為x軸的正方向,以e2的方向為y軸的正方向,則e1,e2的坐標分別是什么?提示:e1=(1,0),e2=(0,1).(3)向量的坐標就是其終點的坐標嗎?提示:不一定,以坐標原點O為始點的向量坐標就是該向量的終點坐標,如果向量不是以坐標原點為始點,則向量坐標就跟終點坐標不同,而對同一向量或相等向量(向量坐標相同),若選擇不同的始點坐標,則終點坐標也不同.(4)符號(x,y)表示點與表示向量有什么不同?提示:符號(x,y)在直角坐標系中有雙重意義,它既可以表示一個

3、固定的點,又可以表示一個向量,為了加以區(qū)分,在敘述中,就常說點(x,y)或向量(x,y).給定一個向量,它的坐標是唯一的,給定一對實數(shù),由于向量可以平移,以這對實數(shù)為坐標的向量有無數(shù)個.根據(jù)坐標的意義可得,當且僅當兩個向量的坐標相同時,兩個向量相等.2.平面上向量的運算與坐標的關(guān)系(1)向量加法與減法運算設(shè)a=(x1,y1), b=(x2,y2),則a+b=_,a-b=_,a=_.(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(x1,y1)向量相等的充要條件:a=b_且_.ua+vb=(u x1+v x2,u y1+v y2);ua-vb=(u x1-v x2,u y1-v y2).(2

4、)模長公式:設(shè)a=(x,y),則|a|= x1=x2y1=y23.平面直角坐標系內(nèi)兩點之間的距離公式與中點坐標公式 如圖所示,在平面直角坐標系中,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則:(1)向量 =(x1,y1), =(x2,y2),向量 =_.(2)它們之間的距離:AB=| |=_.(3)設(shè)AB的中點M(x,y),則x=_,y=_.(x2-x1,y2-y1)【思考】“若A(x1,y1),B(x2,y2),則 =(x1-x2,y1-y2)”對嗎?提示:不對,應(yīng)該用終點坐標減去始點坐標.4.向量平行的坐標表示設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab_.x2y1=x1y2【思考】(

5、1)把x1y2-x2y1=0寫成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0可以嗎?怎樣記憶此公式的表達式?提示:寫成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不對的,這一公式可簡記為:縱橫交錯積相減.(2)在向量平行的坐標表示中,改為ab ,即用語言可以表述為:兩個向量平行的條件是相應(yīng)坐標成比例.對不對?提示:不正確.當x2=0或y2=0時不成立.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“”,錯的打“”)(1)兩個向量的終點不同,則這兩個向量的坐標一定不同.()(2)當向量的始點在坐標原點時,向量的坐標就是向量終點的坐標.()(3)兩向量差的坐標與兩向量的順序無關(guān).()(4)向量(2,3)

6、與向量(-4,-6)同向.()【提示】(1).對于同一個向量,無論位置在哪里,坐標都一樣.(2).根據(jù)向量的坐標表示,當始點在原點時,終點與始點坐標之差等于終點坐標.(3).根據(jù)兩向量差的運算,兩向量差的坐標與兩向量的順序有關(guān).(4).因為(-4,-6)=-2(2,3),所以向量(2,3)與向量(-4,-6)反向.2.已知a=(2,1),b=(3,-2),則3a-2b的坐標是()A.(0,-7)B.(0,7)C.(-1,3)D.(12,-1)【解析】選B.3a-2b=3(2,1)-2(3,-2)=(6,3)-(6,-4)=(0,7).3.(教材二次開發(fā):例題改編)已知向量a= ,b=(x,1)

7、,其中x0,若(a-2b)(2a+b),則x的值為()A.4 B.8C.0D.2【解析】選A.a-2b= 2a+b=(16+x,x+1),由已知(a-2b)(2a+b),則(8-2x)(x+1)=(16+x) ,解得x2=16,因為x0,所以x=4.關(guān)鍵能力合作學(xué)習(xí)類型一向量的坐標表示(直觀想象)【題組訓(xùn)練】 1.已知e1,e2是平面內(nèi)兩個相互垂直的單位向量,且a=4e1-3e2,則向量a的坐標為()A.(4e1,3e2)B.(4e1,-3e2)C.(4,3)D.(4,-3)2.已知O是坐標原點,點A在第二象限,| |=6,xOA=150,向量 的坐標為_.3.如圖,在平面直角坐標系xOy中,

8、OA=4,AB=3,AOx=45,OAB=105, =a, =b.四邊形OABC為平行四邊形. (1)求向量a,b的坐標;(2)求向量 的坐標;(3)求點B的坐標.【解析】1.選D.由向量坐標的定義可知,向量a的坐標為(4,-3).2.設(shè)點A(x,y),則x=| |cos 150=6cos 150=-3 ,y=| |sin 150=6sin 150=3,即A(-3 ,3),所以 =(-3 ,3).答案:(-3 ,3)3.(1)作AMx軸于點M,則OM=OAcos 45=4 =2 ,AM=OAsin 45=4 =2 ,所以A(2 ,2 ),故a=(2 ,2 ).因為AOC=180-105=75,

9、AOy=45, 所以COy=30.又OC=AB=3,所以 【解題策略】求向量坐標的方法(1)定義法:將向量用兩個相互垂直的單位向量e1,e2表示出來.(2)平移法:把向量的始點移至坐標原點,終點坐標即為向量的坐標.(3)求差法:先求出這個向量的始點、終點坐標,再運用終點坐標減去始點坐標即得該向量的坐標.類型二向量的坐標運算(數(shù)學(xué)運算)【典例】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且求M,N及 的坐標.【思路導(dǎo)引】方法一:先求 , ,設(shè)出M,N的坐標,根據(jù) 列方程求解.方法二:設(shè)O為坐標原點,用向量線性運算的幾何意義直接計算 , 的坐標.【解析】方法一:(待定系數(shù)法)由A(-2,

10、4),B(3,-1),C(-3,-4),可得 =(-2,4)-(-3,-4)=(1,8), =(3,-1)-(-3,-4)=(6,3),所以 =3 =3(1,8)=(3,24), =2 =2(6,3)=(12,6).設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則 =(x1+3,y1+4)=(3,24),所以x1=0,y1=20; =(x2+3,y2+4)=(12,6),所以x2=9,y2=2,所以M(0,20),N(9,2), =(9,2)-(0,20)=(9,-18).方法二:(幾何意義法)設(shè)點O為坐標原點,所以 =3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20), =2(3,-1)-(-3,-4)

11、=(9,2),即點M(0,20),N(9,2),故 =(9,2)-(0,20)=(9,-18).【解題策略】平面向量坐標的線性運算的方法(1)若已知向量的坐標,則直接應(yīng)用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行計算.(2)若已知有向線段兩端點的坐標,則可先求出向量的坐標,然后再進行向量的坐標運算.(3)向量的線性坐標運算可類比數(shù)的運算進行.【跟蹤訓(xùn)練】若A,B,C三點的坐標分別為(2,-4),(0,6),(-8,10),求的坐標.【解析】因為 =(-2,10), =(-8,4), =(-10,14),所以 +2 =(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18),

12、 - =(-8,4)- (-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).類型三向量坐標運算的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算、邏輯推理) 角度1向量共線的判定【典例】已知兩點A(4,1),B(7,-3),則與向量 共線的單位向量是() A.(3,-4)B. C.(-6,8)D. 【思路導(dǎo)引】利用向量共線的坐標表示判斷.【解析】選B.因為 =(7,-3)-(4,1)=(3,-4),由向量共線的條件可知,A,B,C選項中的向量均與 共線,但A,C中向量不是單位向量.【變式探究】本例選項中有哪些向量與 共線,其中有反向的向量嗎?提示:因為 =(7,-3)-(4,1)=(3,-4),故A.(3,-4)

13、,B. ,C.(-6,8)均與 共線,且B,C選項的向量與 反向.角度2利用向量共線的坐標表示求參數(shù)【典例】已知a=(1,2),b=(-3,2),當k為何值時,ka+b與a-3b平行?平行時它們是同向還是反向? 【思路導(dǎo)引】方法一:根據(jù)共線向量定理知存在唯一實數(shù),使ka+b=(a-3b)列方程求解.方法二:寫出ka+b和a-3b的坐標,利用平行向量的坐標關(guān)系求解.【解析】方法一:(共線向量定理法)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),當ka+b與a-3b平行時,存在唯一實數(shù),使ka+b=(a-3b).由(k-3,2k+

14、2)=(10,-4),所以 解得k=- .當k=- 時,ka+b與a-3b平行,這時ka+b=- a+b=- (a-3b),因為=- 0,所以ka+b與a-3b反向.方法二:(坐標法)由題意得ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),因為ka+b與a-3b平行,所以(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,解得k=- .這時ka+b= =- (a-3b),所以當k=- 時,ka+b與a-3b平行,并且反向.角度3三點共線問題【典例】已知A(1,-3),B ,且A,B,C三點共線,則C的坐標可以是()A.(-9,1)B.(9,-1)C.(9,1)D.(-9,-1)【思路導(dǎo)引】設(shè)出

15、點C的坐標,因為A,B,C三點共線,寫出向量 (或 ),由向量共線的條件結(jié)合選項求解.【解析】選C.設(shè)點C的坐標是(x,y),因為A,B,C三點共線,所以 因為 =(x,y)-(1,-3)=(x-1,y+3),所以7(y+3)- (x-1)=0,整理得x-2y=7,經(jīng)檢驗可知點(9,1)符合要求.【解題策略】1.利用向量共線的條件處理求值問題的思路(1)利用共線向量定理a=b(b0)列方程組求解.(2)利用向量平行的坐標表達式x1y2-x2y1=0直接求解.2.由共線的坐標條件求參數(shù)的解題步驟(1)分別寫出共線的兩個向量的坐標.(2)通過共線條件列出方程(組).(3)解方程(組)求出參數(shù).3.

16、三點共線問題的實質(zhì)是向量共線問題,只要利用三點構(gòu)造出兩個向量,再使用向量共線的條件解決即可.【題組訓(xùn)練】1.(2020宜昌高一檢測)已知點A(3,7),B(0,11),單位向量e= ,(0),則e=()【解析】選B.由已知 =（3,4）=-5 ,故e= 2.若A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三點共線,則y=()A.13B.-13C.9D.-9【解析】選D.因為A,B,C三點共線,所以(-5-3)(y+6)-(6-3)(2+6)=0,所以y=-9.3.若向量a=(1,1),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b.(1)若u=3v,求x.(2)若uv,求x,并判斷u與v是同向還是反

17、向.【解析】因為a=(1,1),b=(x,1),所以u=(1,1)+2(x,1)=(1,1)+(2x,2)=(2x+1,3);v=2(1,1)-(x,1)=(2-x,1).(1)u=3v(2x+1,3)=3(2-x,1)(2x+1,3)=(6-3x,3)2x+1=6-3x.解得x=1.(2)uv(2x+1)1-3(2-x)=0.解得x=1.所以u=(3,3),v=(1,1).所以u與v同向.【補償訓(xùn)練】已知點A(2,3),B(5,4),C(7,10).若 (R),試求為何值時,(1)點P在一、三象限的角平分線上;(2)點P在第三象限內(nèi).【解析】設(shè)點P的坐標為(x,y),則 =(x,y)-(2,

18、3)=(x-2,y-3), =(5,4)-(2,3)+(7,10)-(2,3)=(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7).因為 ,所以(1)若P在一、三象限的角平分線上,則5+5=4+7,所以= ,所以當= 時,點P在一、三象限的角平分線上.(2)若P在第三象限內(nèi),則 所以-1,所以當-1時,點P在第三象限內(nèi).【方法總結(jié)】1.解答本題可用待定系數(shù)法.此法是最基本的數(shù)學(xué)方法之一,實質(zhì)是先將未知量設(shè)出來,建立方程(組)求出未知數(shù)的值,這是待定系數(shù)法的基本形式,也是方程思想的一種基本應(yīng)用.2.坐標形式下向量相等的條件:相等向量的對應(yīng)坐標相等;對應(yīng)坐標相等的向量是相等向量.由此可建立相等關(guān)系求某些參

19、數(shù)的值. 備選類型向量的模(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)【典例】(2020鄂爾多斯高一檢測)設(shè)點A(2,0),B(4,2),若點P在直線AB上, 則點P的坐標為()A.(3,1)B.(1,-1)C.(3,-1)或(-1,1)D.(3,1)或(1,-1)【解析】選D.因為A(2,0),B(4,2),所以 =(2,2),因為點P在直線AB上,且| |=2| |,故P點坐標為(3,1)或(1,-1).【解題策略】求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運算:利用|a|2=a2,將向量模的運算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題(后續(xù)學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積運算后會有此種類型的題目).(2)坐標表示下的運算:若a=(x,y),則aa=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|= .【跟蹤訓(xùn)練】(2020宿州高一檢測)已知向量a=(x,2)，b=(-1,1)，若|a-b|=|a+b|，則x的值為_.【解析】因為a=(x,2)，b=(-1,1)，所以a+b=（x-1,3）,a-b=x+1,1.因為|a-b|=|a+b