江蘇省淮安市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

1、江蘇省淮安市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分）. （5 分）2sin15 cos15 =.（5分）一組數(shù)據(jù)1, 3, 2, 5, 4的方差是.（5分）若xC （0, 1 ）則x （1 -x）的最大值為.（5分）如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的 a的值是（5分）兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛端距離都大于2m的概率是r 行了-540y的最小值（5分）已知實(shí)數(shù)x, y滿足2算，+20,則目標(biāo)函數(shù)z=x V。為.如果a： b ：（5分）在zABC中，/A, /B, /C所對(duì)的邊分別是a, b, c, c=2 : 3: 4,那么 cosC= 8 .

2、 （5 分）若 tan a= 2 , tan（a+,則tan B的值是. （5分）已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，若2a 7-a5-3=0 ,則Si7 的值是. （5 分）已知zABC 中，AB=Jj, BC=1 , A=30 ,則AC=. （5 分）在數(shù)列an中，ai=2 , an+i =2a n, Sn 為an的前 n 項(xiàng)和.若 sn=254 , 貝U n=. （5分）已知an是等差數(shù)列，a1=1公差d加，Sn為其前n項(xiàng)的和，若a1, a2, a5成等比數(shù)列，S10=. （5 分）在銳角 ABC 中，sinA=sinBsinC , WJ tanB+2tanC的最小值是. （5分）已知

3、zABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,若a, b,22c成等比數(shù)列，則 且*的取值范圍為.、解答題：本大題共6小題，共90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、 驗(yàn)算過程. （14 分）已知 sin a=g, 口 E （二，冗）. 52（1）求Q ）的值；（2）求mb。-2=）的值. （14分）已知等差數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和為Sn, a2=4 , S5=30 .（1）求an的首項(xiàng)a1和公差d的值；（2）設(shè)數(shù)列bn滿足bn=1一，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和Tn. （14分）某學(xué)校為了解學(xué)校食堂的服務(wù)情況，隨機(jī)調(diào)查了 50名就餐的教師和學(xué)生.根據(jù)這50名師生對(duì)餐廳服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)分，繪制出

4、了頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組為40 , 50), 50 , 60 ),，90 ,100.(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)從評(píng)分在40 , 60)的師生中，隨機(jī)抽取2人，求此人中恰好有1人評(píng)分在40 , 50)上的概率；(3)學(xué)校規(guī)定：師生對(duì)食堂服務(wù)質(zhì)量的評(píng)分不得低于 75分，否則將進(jìn)行內(nèi)部 整頓，試用組中數(shù)據(jù)估計(jì)該校師生對(duì)食堂服務(wù)質(zhì)量評(píng)分的平均分， 并據(jù)此回答食 堂是否需要進(jìn)行內(nèi)部整頓. (16 分)已知函數(shù) f (x) =ax 2+ (a 2) x 2, aC R.(1)若關(guān)于x的不等式f (x) 0的解集為-1 , 2,求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)a0時(shí)，解關(guān)于x的不等式

5、f (x) 0. (16分)如圖，GH是東西方向的公路北側(cè)的邊緣線， 某公司準(zhǔn)備在GH上 的一點(diǎn)B的正北方向的A處建設(shè)一倉庫，設(shè)AB=ykm，并在公路北側(cè)建造邊長(zhǎng) 為xkm的正方形無頂中轉(zhuǎn)站 CDEF (其中EF在GH上)，現(xiàn)從倉庫A向GH和 中轉(zhuǎn)站分別修兩條道路 AB , AC,已知AB=AC+1 ,且/ABC=60 .(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出定義域；(2)如果中轉(zhuǎn)站四堵圍墻造價(jià)為10萬元/km ,兩條道路造價(jià)為30萬元/km , 問：x取何值時(shí)，該公司建設(shè)中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路總造價(jià)M最低.20 . （16分）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=n 2 -4n ,數(shù)列bn中

6、, b 1 = %；對(duì)任意正整數(shù)n=28 b1vH二卷）.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）是否存在實(shí)數(shù)-使得數(shù)列3n?bn+心是等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)N 及公比q的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）求證：.b + b 之+-T+bnb,故a=5 , b=7 ,當(dāng) a=5 , b=7 時(shí)，不滿足 a b ,故 a=9 , b=5當(dāng)a=9 , b=5時(shí)，滿足a b ,故輸出的a值為9,故答案為：95. （5分）兩根相距6m的木桿上系一根繩子,并在繩子上掛端距離都大于2m的概率是上【解答】解：設(shè)事件A= 燈與兩端距離都大于2m ”2米的部分根據(jù)題意，事件A對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度為6m長(zhǎng)的線段位于中間的、長(zhǎng)

7、度為2tn 2m 2m*因此，事件A發(fā)生的概率為P （A） =4=1故答案為:（5分）已知實(shí)數(shù)x, y滿足，2h-v+20 ,則目標(biāo)函數(shù)z=x -y的最小值為 3 .【解答】解：作作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖: 由z=x - y,得y=x - z表示，斜率為1縱截距為-z的一組平行直線,平移直線y=x z,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)直線y=x -z截距最大，z最小.卜j k=1止匕時(shí) zmin =1 4= - 3 .（5分）在zABC中，/A, /B, /C所對(duì)的邊分別是a, b, c,如果a： b： c=2 : 3 : 4,那么 cosC=-十【解答】解：因?yàn)閍： b: c=2 ： 3: 4,

8、所以設(shè)a=2k , b=3k , c=4k ,則根據(jù)余弦定理得:故答案為一cosC=8 . （5 分）若 tan a= 2 , tan（a+,則tan B的值是7【解答】解：由 tan a= 2 , tan ( a+ 0 ) =g,J得 tan B=tan( a+ B ) - o=口+3 j t anQ了(-2)4x (-a T故答案為：7.9. (5分)已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，若2a 7-a5-3=0 ,則Si7的值是 51.【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d, V2a7- a5-3=0 , ；2 (ai+6d )-(ai+4d ) -3=0 ,化為：ai+8d=3 ,即 a

9、9=3 .,17 (si + a i y )則 Si7 =1=17a 9=17 X3=51 .2故答案為：51 .10 . (5 分)已知AABC 中，AB=6, BC=1 , A=30 ,貝叭C= 1 或 2 .【解答】 解：-AB=c= V3, BC=a=1 , cosA=由余弦定理得：a2=b 2+c2 2bccosA ,即 1=b 2+3 -3b,解得：b=1或2,則AC=1或2.故答案為：1或2. (5 分)在數(shù)列an中，a1=2 , an+1 =2a n, Sn 為an的前 n 項(xiàng)和.若 sn=254 ,貝U n= 7 .【解答】解：由數(shù)列an中，ai=2 , an+i=2an,可

10、知：此數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為 2,公比為2.又 Sn=254 ,254=空上包2-1化為 2n=128 ,解得n=7 .故答案為：7. (5分)已知an是等差數(shù)列，ai=1公差d加，Sn為其前n項(xiàng)的和，若ai ,a2, a5成等比數(shù)列，Si0=100.【解答】解：若a1，a2, a5成等比數(shù)列，貝U a1a5= (a2)2,即 a1 (a1 +4d ) = (a1+d ) 2,貝U 1+4d=(1+d ) 2,即 2d=d 2,解得d=2或d=0 (舍去),M S10= 10+1Q = = 2=10+90=100,故答案為：100 . (5 分)在銳角 AABC 中，sinA=sinBsinC

11、 ,則 tanB+2tanC的最小值是3+2 返.【解答】 解：銳角zABC中，sinA=sinBsinC ,. sin (B+C ) =sinBsinC即 sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC . cosBsinC=sinB (sinC cosC ),. sinC=乙(sinC cosC ), cosB兩邊都除以cosC ,得tanC=tanB(tanC - 1),. tanB=tanCtanC-1又 tanB 0,tanC - 1 0, tanB+2tanC=二 +2tanC =1+ 高+2（tanC-1）+2 告2 人丁2（*-1）=3+2點(diǎn)， 當(dāng)且僅當(dāng)Ur=2（tanC

12、 - 1）,即tanC=1+當(dāng)時(shí)取“=”；tanCT + 1tanC-1+2tanC；tanB+2tanC的最小值是 3+2/L故答案為：3+2 V2.14. （5分）已知zABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,若a, b,22c成等比數(shù)列，則 且”的取值范圍為2 , ,同一.【解答】解：a, b, c成等比數(shù)列，設(shè)，=q，q 0， a b貝U b=aq , c=aq 2,.: aq+a q”社1）遞減，在（1,1二）遞增,可得f （1）取得最小值2,由f （與L =f （岑工）=正， 即有 f (q) e 2,黃).故答案為：2,相）.、解答題：本大題共6小題，共90分.解

13、答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、驗(yàn)算過程.15 . （14 分）已知 sin a=豆，口 E （,冗）. 52（1）求十）的值；（2）求2篁）的值.cos2 a=cos 2 a sin 2 a二725nK7ThQ )=sin -7cos a+cos sin aJJJ=V!x(j_)jx21 5 力 5 - 10 ?cospcosS Qsirr-sin2 Q=-L-I匕 7乂尋甯S5=30 .16 . (14分)已知等差數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和為Sn, a2=4 ,(1)求an的首項(xiàng)ai和公差d的值；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bn=*,求數(shù)列bn的前項(xiàng)和Tn.【解答】解：(1)因?yàn)閍n是等差數(shù)列，a2=4

14、 , S5=30 ,所以解得 a1=2 , d=2(2)由(1)知 5r二口/十虱旦d=2n十世/X2即 sn=n2+n所以bn=$3n n2+n n于是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn=b 1+b 2+b 3+b n =117. (14分)某學(xué)校為了解學(xué)校食堂的服務(wù)情況，隨機(jī)調(diào)查了 50名就餐的教師和學(xué)生.根據(jù)這50名師生對(duì)餐廳服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)分，繪制出了頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組為40 , 50), 50 , 60 ),，90 ,100.(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)從評(píng)分在40 , 60)的師生中，隨機(jī)抽取2人，求此人中恰好有1人評(píng)分在40 , 50)上的概率；(3)學(xué)校規(guī)

15、定：師生對(duì)食堂服務(wù)質(zhì)量的評(píng)分不得低于75分，否則將進(jìn)行內(nèi)部整頓，試用組中數(shù)據(jù)估計(jì)該校師生對(duì)食堂服務(wù)質(zhì)量評(píng)分的平均分，并據(jù)此回答食堂是否需要進(jìn)行內(nèi)部整頓.0.028- -(J.02 工，- rdbll-1oots y i!. .一0 0Q4- |。4。50 M 70 凰J M i 面 教【解答】 解：(1)由(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018) X10=1 ,解得a=0.006 .(4分)(2)設(shè)被抽取的2人中恰好有一人評(píng)分在40 , 50)上為事件A.(5分) 因?yàn)闃颖局性u(píng)分在40 , 50)的師生人數(shù)為：m 1=0.004 X10 X50=2 ,記為1 , 2號(hào)

16、樣本中評(píng)分在50 , 60)的師生人數(shù)為：m 2=0.006 X10 X50=3 ,記為3,4,5 號(hào)( 7 分)所以從5人中任意取2人共有：(1, 2), (1 , 3), (1 , 4), (1 , 5), (2, 3), (2, 4),(2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)共 10 種等可能情況，2人中恰有1人評(píng)分在40 , 50)上有：(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)共 6 種等可能情況.2人中恰好有1人評(píng)分在40 , 50)上的概率為P (A)=闔肉(10分)(3)服務(wù)質(zhì)量評(píng)分的平均分為：G=45 X0

17、.004 X10+55 X0.006 X10+65 X0.022 X10+75 X 0.028 X10+85 X 0.022 X10+95 X0.018 X10=76.2 .（13 分）.76.2 75, 食堂不需要內(nèi)部整頓.(14分)18 . (16 分)已知函數(shù) f (x) =ax 2+ (a 2) x 2, aC R.(1)若關(guān)于x的不等式f (x) 0的解集為-1 , 2,求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)a0時(shí)，解關(guān)于x的不等式f (x) 0 且一1 乂2=個(gè)，解得：a=1；(2)由 ax2+ (a-2) x - 2 0 ,得(x+1 ) (ax2) 0 ,當(dāng)-2a-1, a當(dāng)a= - 2時(shí)，解

18、集為R;當(dāng)a-2時(shí)，解集為x|x 0 -1或xnZ. a19 . (16分)如圖，GH是東西方向的公路北側(cè)的邊緣線， 某公司準(zhǔn)備在GH上 的一點(diǎn)B的正北方向的A處建設(shè)一倉庫，設(shè)AB=ykm，并在公路北側(cè)建造邊長(zhǎng) 為xkm的正方形無頂中轉(zhuǎn)站 CDEF (其中EF在GH上)，現(xiàn)從倉庫A向GH和 中轉(zhuǎn)站分別修兩條道路 AB , AC,已知AB=AC+1 ,且/ABC=60 .(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出定義域；(2)如果中轉(zhuǎn)站四堵圍墻造價(jià)為10萬元/km ,兩條道路造價(jià)為30萬元/km , 問：x取何值時(shí)，該公司建設(shè)中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路總造價(jià)M最低.【解答】（1）在zBCF 中，CF=x ,

19、 /FBC=30 ,CFBF,所以 BC=2x .在zABC 中，AB=y , AC=y - 1 , /ABC=60 ,由余弦定理，得 AC2=BA 2+BC 2 - 2BA ?BCcos ZABC ,（2 分） 即 （y 1） 2=y2+ （2x） 2 2y?2x?cos60 ,所以（5分）由 AB AC1,.又因?yàn)閥=-所以函數(shù)行的定義域是（1 , +8）.（6分）（2） M=30 ?（2yT） +40 x .（8 分）2 i2因?yàn)槭?k:1 . （x1）,所以M=30O 誓 -L+40h即 M=10 712k -3MD .（10 分）x-1Q I令 t=x - 1 ,則 t 0 .于是

20、M （t） =10 （16t+ y+25）, t0,（12 分）由基本不等式得 M 10 （2V144+25） =490 ,當(dāng)且僅當(dāng)t=同,即乂二1時(shí)取等號(hào).（15分）答：當(dāng)x=km時(shí)，公司建中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路最低總造價(jià)M為490萬元.（16 分）20 . （16分）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=n 2 -4n ,數(shù)列bn中, b 1=對(duì)任意正整數(shù)n券2 *耳、十1十、二（y）n（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;（2）是否存在實(shí)數(shù)-使得數(shù)列3n?bn+心是等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)N及公比q的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）求證：卷b+b之+.【解答】解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，ai=Si= -3,（1分）當(dāng) n2 時(shí)，an=S n - Sn i=n 因?yàn)?nbn+心是等比數(shù)列，所以（林弋）2=從）（以昔），解得（7分）3% 41-3