[PPT]結構注冊工程師微分學

1、一、函數(shù)、極限、連續(xù)三、多元函數(shù)微分學 二、導數(shù)與微分微分學四、微分學應用一、 函數(shù)、極限、連續(xù)1. 函數(shù)定義: 定義域 值域設函數(shù)為特殊的映射:其中定義域：使表達式有意義的實數(shù)全體或由實際意義確定。函數(shù)的特性有界性 ,單調性 ,奇偶性 ,周期性 復合函數(shù)(構造新函數(shù)的重要方法)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算與有限次復合而成且能用一個式子表示的函數(shù).例如. 函數(shù)基本初等函數(shù):常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)2 極限 極限定義的等價形式 (以 為例 )極限存在準則及極限運算法則無窮小無窮小的性質 ;無窮小的比較 ;常用等價無窮小: 兩個重要極限 等價無窮小代換存在

2、(或為 )定理 (洛必達法則) 說明: 定理中換為之一,條件 2) 作相應的修改 , 定理仍然成立.洛必達法則3. 連續(xù)與間斷函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)間斷點第一類（左右極限存在）第二類（左右極限至少有一個不存在）可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點重要結論：初等函數(shù)在定義區(qū)間內連續(xù)例3. 設函數(shù)在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .提示:有無窮間斷點及可去間斷點解:為無窮間斷點,所以為可去間斷點 ,極限存在例4. 設函數(shù)試確定常數(shù) a 及 b .二、 導數(shù)和微分導數(shù) 定義:當時,為右導數(shù)當時,為左導數(shù) 微分 : 關系 :可導可微導數(shù)幾何意義:切線斜率1. 有關概念例5.設在處連續(xù),

3、且求解:2.導數(shù)和微分的求法正確使用導數(shù)及微分公式和法則 （要求記?。。╇[函數(shù)求導法參數(shù)方程求導法高階導數(shù)的求法(逐次求一階導數(shù)）例6. 求由方程在 x = 0 處的導數(shù)解: 方程兩邊對 x 求導得因 x = 0 時 y = 0 , 故確定的隱函數(shù)例7. 求解:關鍵: 搞清復合函數(shù)結構 由外向內逐層求導三、多元函數(shù)微分法1. 多元顯函數(shù)求偏導和高階偏導2. 復合函數(shù)求偏導注意正確使用求導符號3. 隱函數(shù)求偏導將其余變量固定，對該變量求導。4. 全微分5. 重要關系:函數(shù)可導函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)例8. 求解法1:解法2:在點(1 , 2) 處的偏導數(shù).解：設則例9. 設 拉格朗日中值定理

4、四、 導數(shù)與微分的應用1. 微分中值定理及其相互關系 羅爾定理 柯西中值定理 函數(shù)單調性的判定及極值求法若定理 1. 設函數(shù)則 在 I 內單調遞增(遞減) .在開區(qū)間 I 內可導,3. 函數(shù)的性態(tài):2. 導數(shù)的幾何意義極值第一判別法且在空心鄰域內有導數(shù),(1) “左正右負” ,(2) “左負右正” ,極值第二判別法二階導數(shù) , 且則 在點 取極大值 ;則 在點 取極小值 .例10. 確定函數(shù)的單調區(qū)間.解:令得故的單調增區(qū)間為的單調減區(qū)間為例11. 求函數(shù)的極值 . 解: 1) 求導數(shù)2) 求駐點令得駐點3) 判別因故 為極小值 ;又故需用第一判別法判別.定理2.(凹凸判定法)(1) 在 I

5、內則 在 I 內圖形是凹的 ;(2) 在 I 內則 在 I 內圖形是凸的 .設函數(shù)在區(qū)間I 上有二階導數(shù)凹弧凸弧的分界點為拐點例12. 求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1) 求2) 求拐點可疑點坐標令得對應3) 列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸 ,點 ( 0 , 1 ) 及均為拐點.凹凹凸的連續(xù)性及導函數(shù)例13. 填空題(1) 設函數(shù)其導數(shù)圖形如圖所示,單調減區(qū)間為 ;極小值點為 ;極大值點為 .提示:的正負作 f (x) 的示意圖. 單調增區(qū)間為 ; .在區(qū)間 上是凸弧 ;拐點為 提示:的正負作 f (x) 的示意圖. 形在區(qū)間 上是凹弧; 則函數(shù) f (x) 的圖 (2) 設函數(shù)的圖形如圖

6、所示,曲線方程為參數(shù)方程切線方程切向量法平面方程4.多元函數(shù)微分法的應用(1)在幾何中的應用求曲線的切線及法平面曲面 在點 M 的法向量法線方程切平面方程法線方程當光滑曲面 的方程為顯式 切平面方程上求一點 , 使該點處的法線垂直于例14. 在曲面并寫出該法線方程 .提示: 設所求點為則該點的法向量為利用得平面法線垂直于平面點在曲面上說明: 使偏導數(shù)都為 0 的點稱為駐點 . 極值必要條件函數(shù)偏導數(shù), 但駐點不一定是極值點.且在該點取得極值 ,則有存在(2)極值與最值問題極值的必要條件與充分條件時, 具有極值 極值充分條件的某鄰域內具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù), 且令則: 1) 當A0 時取極小值.2) 當3) 當時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法1 代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉化引入輔助函數(shù)則極值點滿足:方法2 拉格朗日乘數(shù)法.解該方程組，得極值點。例15.要設計一個容量為則問題為求x , y ,令解方程組解: 設 x , y , z