臺州市選修三第二單元《隨機(jī)變量及其分布》測試(含答案解析)

1、一、選擇題設(shè)a0，若隨機(jī)變量g的分布列如下:A.D(g)B.D(lgI)C.D(21)D.D(2IgI+1)g-102Pa2a3a則下列方差值中最大的是()長春氣象臺統(tǒng)計，7月15日凈月區(qū)下雨的概率為4，刮風(fēng)的概率為盲，既刮風(fēng)又下雨的概率為10，設(shè)事件A為下雨，事件B為刮風(fēng)，那么P(A1B)=(A，2B.4C.5D.現(xiàn)有4名男生，2名女生.從中選出3人參加學(xué)校組織的社會實踐活動，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為()A.B.C.D.則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時()A.E(g)減小，D(g)減小C.E(g)增大，D(g)減小B.E(g)減小，D(g)增大D.E(g)增大，D(g)增大5

2、.隨機(jī)變量X的分布列如下：2-9A4.設(shè)0p4，事件B為x豐y，則概率P（BIA）=（）ABC131?D159某校從6名學(xué)生干部（其中女生4人，男生2人）中選3人參加學(xué)校的匯演活動，在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中的概率為（）1A.-2B.C.D.10.已知隨機(jī)變量x.滿足P（X=1）=p，p（X=。）=1-p,i=1,2，若TOC o 1-5 h ziiiiipp1，貝y（12E（X）E（X），D（X）E（X），D（X）D（X）1212E（X）D（X）1212E（X）E（X），D（X）D（X）1212已知甲、乙、丙三名同學(xué)同時獨立地解答一道導(dǎo)數(shù)試題，每人均有2的概率解答正確，且三個人解

3、答正確與否相互獨立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率（）A.1320B.20C.D.120一個袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中紅球1個、黑球2個，現(xiàn)隨機(jī)等可能取出小球，當(dāng)有放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為；當(dāng)無放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為g2,則（A.EgEg12C.Eg二Eg,12二、填空題13.設(shè)10件產(chǎn)品中含有3件次品，從中抽取2件進(jìn)行調(diào)查，則查得次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為2DDg12DgDg12D.EgEg，DgDg12121214.一個盒子里有1個紅1個綠2個黃四個相同的球，每次拿一個，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出黃球的個數(shù)為E，則P(“0)=；

4、E憶)二.隨機(jī)變量X的取值為0、1、2,P(X=0)=0.2,DX=0.4，則EX=.某品牌的一款純電動車單次最大續(xù)航里程X(千米)服從正態(tài)分布N(2000,102).任選一輛該款電動車，則它的單次最大續(xù)航里程恰在1970(千米)到2020(千米)之間的概率為.(參考公式:隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N(pq2)，則P(p-cgp+c)=0.6826，P(卩-2cgp+2c)=0.9544，P(p-3cgP,化，且假定各人能否完成任1212務(wù)的事件相互獨立若按某種指定順序派人，這兩個人各自能完成任務(wù)的概率依次為q,q，12其中q,q是P、P的一個排列，試分析以怎樣的順序派出教師，可使所需派出教師的人

5、員1212數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小.24設(shè)袋中有5個紅球，3個黑球，2個白球，試按：有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率；不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率25.根據(jù)歷史資料顯示，某種慢性疾病患者的自然痊愈率為5%.為試驗種新藥，在有關(guān)部門批準(zhǔn)后，醫(yī)院將此藥給10位病人服用，試驗方案為：若這10人中至少有2人痊愈，則認(rèn)為該藥有效，提高了治愈率；否則，則認(rèn)為該藥無效.如果在該次試驗中有5人痊愈，院方欲從參加該次試驗的10人中隨機(jī)選2人了解服藥期間的感受，記抽到痊愈的人的個數(shù)為X，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望；如果新藥有效，將治愈率提高到了50%，求通過試驗卻認(rèn)定新藥無

6、效的概率P，并根據(jù)p的值解釋該試驗方案的合理性.參考結(jié)論：通常認(rèn)為發(fā)生概率小于5%的事件可視為小概率事件）26某學(xué)校為了了解學(xué)生暑假期間學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況，抽取了人數(shù)相等的甲、乙兩班進(jìn)行調(diào)查，甲班同學(xué)每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的平均時間的頻率分布直方圖（將時間分成，1），丄2），2,3），3,4），4,5）,5,6共6組）和乙班同學(xué)每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的平均時間的頻數(shù)分布(i時閭表如圖所示（單位：小時）.甲逛同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)平均跡間的頻軍分布應(yīng)方伺乙班同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)平均時間的頻數(shù)分布表學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間區(qū)間頻數(shù)0,1)21,2)52,3)10b,4)164,5)145,63（1）從甲班每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的平均時間在0,2）的人中隨機(jī)選出

7、3人，求3人中恰有1人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的平均時間在0,1）范圍內(nèi)的概率；（2）從甲、乙兩個班每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)平均時間不小于5個小時的學(xué)生中隨機(jī)抽取4人進(jìn)一步了解其他情況，設(shè)4人中乙班學(xué)生的人數(shù)為求E的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案】*試卷處理標(biāo)記，請不要刪除、選擇題1C解析：C【分析】由概率分布列求出參數(shù)a，然后求出均值和方差再比較【詳解】TOC o 1-5 h z由題意a+2a+3a=1,a=,6E(g)=lx一+0 x+2x=,E(kI)=lx+0 x一+2x=,326I63263D(k)=-x(-1-)2+-x(0-)2+-x(2-)2=3,66362636-29D(卩=x(1三)2+x(三)2+x(2

8、三)2=663626362993329D(2k-1)=4x二=-,D(2|k|+1)=4x工=36936其中D(2k-1)最大故選：C【點睛】方法點睛：求隨機(jī)變量的期望和方差的基本方法如下：(1)已知隨機(jī)變量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；(2)已知隨機(jī)變量X的期望、方差，求aX+b(a,beR)的期望與方差，利用期望和方差的性質(zhì)(E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)進(jìn)行計算；若能分析出所給的隨機(jī)變量服從常用的分布(如：兩點分布、二項分布等)，可直接利用常用分布列的期望和方差公式進(jìn)行計算.2B解析：B【分析】確定P(A)=1，P(B)=1|，P(AB)=1，再

9、利用條件概率的計算公式，即可求解.詳解】由題意，可知p(A)=,P(B)=2,P(AB)=丄1515101利用條件概率的計算公式，可得p(A1b)=學(xué)=4，故選b.1點睛】本題主要考查了條件概率的計算，其中解答中認(rèn)真審題，熟記條件概率的計算公式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3D解析：D分析】1設(shè)男生甲被選中為事件A，女生乙也被選中為事件B，分別求得P(A)二1P(AB)二5，再結(jié)合條件概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，從現(xiàn)有4名男生，2名女生選出3人參加學(xué)校組織的社會實踐活動C21設(shè)男生甲被選中為事件a，其概率為P(A)二c二q，6C11設(shè)女生乙也被選中

10、為事件b，其概率為p(AB)二c4二5,15=2526P(AB)所以在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為P(B1A)二時故選：D.【點睛】本題主要考查了條件概率的求解，其中解答中正確理解題意，熟練應(yīng)用條件概率的計算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與計算能力.4B解析：B【分析】根據(jù)題意計算隨機(jī)變量E的分布列和方差，再判斷p在1)內(nèi)增大時，E憶)、D憶)的單調(diào)性即可【詳解】解：設(shè)oP4的基本事件個數(shù)、滿足x+y4且x工y的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式計算可得P(AB)和P(A)；由條件概率公式計算可得結(jié)果.【詳解】先后拋擲骰子兩次，正面朝上所得點數(shù)(x,y)的基本事件共有6x6

11、=36個則x+y4的基本事件共有366=30個，其中x=y的有(3,3)、(4,4)、(5,5)、(6,6)，共4個滿足x+y4且x豐y的基本事件個數(shù)為304=26個.P（AB）=|6=18，P（A）=36=18-pGiALA）=H=1|18故選：C【點睛】本題考查條件概率的計算問題，涉及到古典概型概率問題的求解；關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確計算基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件的個數(shù).9B解析：B【分析】先求出女生甲被選中的情況下的基本事件總數(shù)n二ClC2，再求出在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中包含的基本事件個數(shù)為m二C2C1，結(jié)合條件概率的計算方法，可得24P-mn【詳解】女生甲被選中的情況下，基本

12、事件總數(shù)nC;C210，在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中包含的基本事件個數(shù)為mC2C14，24m42則在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中的概率為P.n105故選B.【點睛】本題考查了條件概率的求法，考查了學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10C解析：C分析】根據(jù)題目已知條件寫出X,X2的分布列，取特殊值計算出兩者的期望和方差，由此得出正確選項.【詳解】依題意可知：1212323EX,EX,EXDX，故選C1324121921612【點睛】本小題主要考查隨機(jī)變量分布列期望和方差的計算，考查分析與閱讀理解能力，屬于中檔題.11C解析：C【分析】35記“三人中至少有兩人解答正確為事件A;甲解

13、答不正確為事件B，利用二項分布的知識計算出P(A)，再計算出p(AB)，結(jié)合條件概率公式求得結(jié)果.【詳解】記“三人中至少有兩人解答正確為事件A;甲解答不正確為事件B則P(A)二C2312丫113丿Dg.故選B.1212【點睛】離散型隨機(jī)變量的分布列的計算，應(yīng)先確定隨機(jī)變量所有可能的取值，再利用排列組合知識求出隨機(jī)變量每一種取值情況的概率，然后利用公式計算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.二、填空題13【分析】設(shè)抽得次品數(shù)為列出隨機(jī)變量的分布列進(jìn)而可求得的值【詳解】設(shè)抽得次品數(shù)為則隨機(jī)變量的可能取值有則所以隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以故答案為：【點睛】方法點睛：求離散

14、型隨機(jī)解析：13【分析】設(shè)抽得次品數(shù)為X，列出隨機(jī)變量X的分布列，進(jìn)而可求得E（X）的值.【詳解】則P（X二0）=C2=，P（X二1）=CC則C215C21010所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：15，P(x=2)=C2=占設(shè)抽得次品數(shù)為X，則隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2所以，E(X)=0151515X012771P151?1?103故答案為：5-【點睛】方法點睛：求離散型隨機(jī)變量均值與方差的基本方法：（1）已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差，按定義求解（2）已知隨機(jī)變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)Y=aX+b的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性質(zhì)求解；（3）如果所給隨機(jī)變量是服

15、從常用的分布（如兩點分布、二項分布等），利用它們的均值、方差公式求解141【分析】先計算出的分布列再利用公式可求【詳解】隨機(jī)變量對應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球第二次拿紅球所以對應(yīng)事件為第一次拿黃球第二次拿紅球或第一次拿黃球第二次拿綠球第三次拿紅球或第一次拿綠球第二【分析】先計算出三的分布列，再利用公式可求Eg）.【詳解】隨機(jī)變量E=0丄2，E=0對應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球,1111所以p(g=0)=4+4x3=3g=1對應(yīng)事件為第一次拿黃球，第二次拿紅球，或第一次拿黃球，第二次拿綠球，第三次111x+x32421x=32拿紅球，或第一次拿綠球，第二次拿黃球，第三次

16、拿紅球，故p(g=1)=2x1+2x34111111故p(g二2)二1-3_3-3，所以e憶)-Ox3+ix3+2x3-1.1故答案為：3；i-【點睛】關(guān)鍵點點睛：計算離散型隨機(jī)變量的分布列，注意隨機(jī)變量取值時對應(yīng)的含義，從而正確計算對應(yīng)的概率，另外注意利用對立事件計算概率.15【分析】設(shè)可得出可求出的表達(dá)式利用方差公式可求出的值即可求出的值【詳解】設(shè)其中可得出解得因此故答案為：【點睛】本題考查利用隨機(jī)變量方差求數(shù)學(xué)期望解題的關(guān)鍵就是列出方程求解考查運(yùn)算求解能力屬于中等題解析：1【分析】設(shè)P(X2)=x，可得出P(X】)=0.8_x，可求出EX的表達(dá)式，利用方差公式可求出x的值，即可求出EX的

17、值.【詳解】設(shè)P(X=2)=x,其中0 x0.8，可得出P(X=1)=0.8一x，EX=0 x0.2+lx(0.8-x)+2x=x+0.8，DX=(x+0.8)2x0.2+(x0.2)2x(0.8x)+(x1.2)2xx=0.4，解得x=0.2，因此，EX=0.2+0.8=1.故答案為：1.【點睛】本題考查利用隨機(jī)變量方差求數(shù)學(xué)期望，解題的關(guān)鍵就是列出方程求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.16.【分析】由題意知XN(2000102)計算P(1970VXV2020)的值即可【詳解】由XN(2000102)知則卩=2000。=10；所以P(1970VXV2020)=P(-3oVXV+2解析：0.

18、9759【分析】由題意知XN(2000，102)，計算P(1970VXV2020)的值即可.【詳解】由XN(2000，102)知，則|1=2000,0=10；所以P(1970VXV2020)=P(-3oX+2o)1=P(口-3oEu+3o)-P(口-3oEu+3o)-P(口-2oE2)，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的定義證明.i+13i3i-12520.(1)；(2)分布列見解析，EX=3612【分析】分析恰有一個同學(xué)選擇“綠色出行”方式的情況，利用相互獨立事件的概率計算公式求解；(2)根據(jù)題意得，X的所有可能取值為0，1，2，3，分別計算概率，列出分布列，代入公式求解EX【詳解】恰有一名同學(xué)選擇綠色出行

19、方式的概率+1ci丄.2=Z423336根據(jù)題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，根據(jù)事件的獨立性和互斥性得1111P(X二0)二*二-；43336736，11121P(X=1)=x-x-+xCixx-=334233P(X=2)=3xC1x2x1+1x(2Y42334(3丿3221P(x=3)二4x3x3二亍故X的分布列為:X01231741P3636932512所以EX二0 x丄+1x+2x-+3x1二363693【點睛】本題考查了隨機(jī)變量分布列問題，一般列分布列時先判斷變量的可能取值，遇到比較復(fù)雜的情況可以采用列表格的方式能更直觀的判斷出可能取值有哪些，然后計算不同取值下的概率，需要分析

20、清楚不同取值對應(yīng)的所有情況，注意是二項分布還是超幾何分布問題21(1)方案一，理由見解析；(2)答案見解析.【分析】設(shè)方案一中每組檢測的次數(shù)為X，則X的取值為1、9，求出對應(yīng)的概率得出分布列求出期望，設(shè)方案二中每組檢測的次數(shù)為Y,則Y的取值為1、6，求出對應(yīng)的概率得出分布列求出期望，得出答案.可以采用兩次分組的方案：第一次分4組，每組10人，對于任意一組，若第一次檢測結(jié)果為陰性，則不再檢測，若第一次檢測結(jié)果為陽性，則將這10人再次分為2組，每組5人，此時這2組分別進(jìn)行一次檢測，則這2組的檢測結(jié)果為1陰1陽，或2陽，若某小組的檢測結(jié)果為陽性，則需對該小組人員逐一檢測，求出對應(yīng)的概率得出分布列求出

21、期望，得出答案【詳解】設(shè)方案一中每組檢測的次數(shù)為X，則X的取值為1、9，p(X二1)二0.988沁0.851，P(X二9)二1-0.988沁0.149，X19P0.8510.149X的分布列為：E(X)=lx0.851+9x0.149=2.192，故方案一檢測次數(shù)的總期望值為2.192x5二10.96，設(shè)方案二中每組檢測的次數(shù)為Y,則Y的取值為1、6，P(Y=1)二0.985沁0.904，P(Y=6)二1-0.985沁0.096,Y16P0.9040.096Y的分布列為：E(Y)=1x0.904+6x0.096=1.48，故方案二檢測次數(shù)的總期望值為148x8=11.84，10.9611.84

22、，方案一的工作量更少；(2)可以采用兩次分組的方案：第一次分4組，每組10人，對于任意一組，若第一次檢測結(jié)果為陰性，則不再檢測若第一次檢測結(jié)果為陽性，則將這10人再次分為2組，每組5人，此時這2組分別進(jìn)行一次檢測，則這2組的檢測結(jié)果為1陰1陽，或2陽，若某小組的檢測結(jié)果為陽性，則需對該小組人員逐一檢測，設(shè)該方案中每10人組檢測的總次數(shù)為Z,則Z的取值為1、8、13，P(Z=1)=0.9810沁0.817，P(Z=8)=C1x0.985x(1-0.985)沁0.174，2P(Z=13)=1-0.817-0.174=0.009,Z的分布列為：Z1813P0.8170.1740.009E(Z)=1x

23、0.817+8x0.174+13x0.009=2.326,故該方案檢測次數(shù)的總期望值為2.326x4二9.304,9.304pG=o)pG=2),故第二次抽取到的無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)最有可能是1人.X12Pp1(1-p)p(3)按照先A后B的順序所需人數(shù)期望最小.設(shè)X表示先A后B完成任務(wù)所需人員數(shù)目，則E(X)=p+2(1-p)=2-piiiX12Pp2(1-p)p22設(shè)Y表示B先后A完成任務(wù)所需人員數(shù)目，則E(Y)=+2(1-p)=2-p,E(Y)-E(X)=p-p0.24162)74522212故按照先A后B的順序所需人數(shù)期望最小.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查求概率和求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期

24、望，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)X表示先A后B完成任務(wù)所需人員數(shù)目，得出E(X)=pi+2(1pi)=2-匕，設(shè)Y表示B先后A完成任務(wù)所需人員數(shù)目，則E(X)=pi+2(1-pi)=2-匕，相減得出大小，屬于中檔題.【分析】設(shè)A=第一次未摸到白球,B=第二次未摸到白球,C=第三次摸到白球,則事件“第三次才摸到白球”可表示為ABC.有放回地摸球，每次都是從10個球中摸一球，由條件概率公式計算無放回地摸球，三次摸球時的個數(shù)不相等，計算出相應(yīng)的概率后由條件概率公式計算可得【詳解】設(shè)A=第一次未摸到白球,B=第二次未摸到白球,C=第三次摸到白球,則事件“第三次才摸到白球”可表示為ABC.1)有放回時，82P(A

25、)=10,P(B|A)=10,P(CAB)=10P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)28816一xX=101010125(2)不放回時，TOC o 1-5 h z872P(A)=,P(BlA)=P(ClAB)=1098P(ABC)二P(ClAB)P(B|A)P(A)8二一xx二891045【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查條件概率的計算.解題第一步設(shè)A=第一次未摸到白球,B=第二次未摸到白球,C=第三次摸到白球，則事件“第三次才摸到白球可表示為ABC.由條件概率公式有P(ABC)二P(C|AB)P(B|A)P(A)，解題時注意有放回和無放回的區(qū)別.即在計算P(B1A)和P(C1AB)時，

26、兩種情況下球的個數(shù)是不一樣的.25.(1)分布列見解析，E(X)=1；(2)P沁0.01，答案見解析.【分析】先分析X的可取值，然后根據(jù)超幾何分布的相關(guān)知識求解出X的概率分布以及數(shù)學(xué)期望；先分析新藥無效的情況：10中1人痊愈、10中0人痊愈，由此求解出無效的概率，并分析試驗方案的合理性.【詳解】解：(1)X的所有可能取值為0，1，29，p(x二)二C5-C910TOC o 1-5 h zCC1C1P(X二0)二一二-，P(X二1)二-5-5C9，C1010X的分布列如下：X012P5999TOC o 1-5 h z5e(x)二0 x9+1x?+x?二12)新藥無效的情況有：10中1人痊愈、10中0人痊愈，10(1)10f1)f1)9+C11丿1012丿12丿話0.015%故可認(rèn)為新藥無效