一維插值方法ppt課件

1、第5章 數(shù)值逼近模型5.1節(jié) 一維插值方法1數(shù)值逼近泛指數(shù)學(xué)計(jì)算問題的近似解法。狹義的理解則專指對(duì)函數(shù)的逼近,即對(duì)于給定的較廣泛的函數(shù)類F中的函數(shù)=(x),從較小的子類H中尋求在某種意義下的一個(gè)近似函數(shù)h(x)，以便于計(jì)算和處理。切比雪夫和威爾斯特拉斯曾于19世紀(jì)中后期做了奠基性工作。2數(shù)值逼近函數(shù)逼近的主要內(nèi)容有，對(duì)于某些特定的被逼近函數(shù)類F與逼近函數(shù)類H，討論逼近的可能性，最佳逼近的存在性、特征、惟一性、誤差估計(jì)以及算法等。它是現(xiàn)代數(shù)值分析的基本組成部分，除自身具有獨(dú)立學(xué)科分支的意義外，還可用于構(gòu)造數(shù)值積分、求函數(shù)零點(diǎn)、解微分方程和積分方程的近似方法。 35.1.1 引言45.1.1 引言

2、5下一個(gè)數(shù)是幾？8 15 10 13 12 11 10 ( ) ( )找規(guī)律填數(shù)? 瀏覽次數(shù)：1190次懸賞分：10 | 解決時(shí)間：2008-2-4 17:02 | 提問者：kardon100 找規(guī)律填數(shù),小學(xué)二年級(jí)問題,求解!問題補(bǔ)充： 請(qǐng)把規(guī)律寫下吧!8 15 10 13 12 11 10 ( 13) ( )8+15=10+13=12+11=10+13=23所以第1空為13所以第2空為8題目有誤吧,后一個(gè)10應(yīng)為14第1.3.5.7.9等單數(shù)位依次加2第2.4.6.8等雙數(shù)位依次減26下一個(gè)數(shù)是幾？找規(guī)律說出下一個(gè)數(shù)是什么并說明理由：1、2、10、42 瀏覽次數(shù)：461次懸賞分：5 | 提

3、問時(shí)間：2010-6-3 19:51 | 提問者：_迷糊丫頭 答案：A：422 B：420 C 6 D 3推薦答案 是幾都對(duì)，這種找規(guī)律的題就是垃圾題，沒有討論的價(jià)值下面說明為啥是幾都對(duì)因?yàn)轭}目中已知的項(xiàng)一共有4個(gè)，所以構(gòu)造函數(shù)f(n)=a1 n4+a2 n3+a3 n2+a4 n+a5a1,a2,a3,a4,a5都是待確定的常數(shù)7按題意帶入f(1)=1f(2)=2f(3)=10f(4)=42f(5)=?問號(hào)代表A,B,C,D選項(xiàng)中的任意一個(gè)然后這5個(gè)式子組成了一個(gè)5元一次方程組解這個(gè)方程組就可以知道a1,a2,a3,a4,a5的值對(duì)于A,B,C,D的每個(gè)選項(xiàng)都有一組a1,a2,a3,a4,a

4、5和它對(duì)應(yīng)所以說A,B,C,D都對(duì)下一個(gè)數(shù)是幾？85.1.1 引言95.1.2 多項(xiàng)式插值 105.1.2 多項(xiàng)式插值 115.1.2 多項(xiàng)式插值 125.1.2 多項(xiàng)式插值 135.1.2 多項(xiàng)式插值 145.1.2 多項(xiàng)式插值1線性插值 線性插值也叫兩點(diǎn)插值，已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點(diǎn)x0, x1上的值為y0= f (x0)，y1=f (x1)線性插值就是構(gòu)造一個(gè)一次多項(xiàng)式 P1(x) = ax + b使它滿足條件P1 (x0) = y0 P1 (x1) = y1其幾何解釋就是一條直線，通過已知點(diǎn)A (x0, y0)，B(x1, y1)。151線性插值 由解析幾何，過兩點(diǎn)A、B

5、的直線方程可寫為： （點(diǎn)斜式）或改寫成 （對(duì)稱式）容易驗(yàn)證，P1(x)就是所求的一次多項(xiàng)式，稱為f(x)的線性插值多項(xiàng)式。161線性插值再研究對(duì)稱式的結(jié)構(gòu)。記 則前式可寫為由于171線性插值因此，l0 (x)與l1 (x)分別是適合函數(shù)表 和的插值多項(xiàng)式。這兩個(gè)插值多項(xiàng)式稱作以x0, x1為結(jié)點(diǎn)的基本插值多項(xiàng)式。上式說明，滿足條件的一次插值多項(xiàng)式y(tǒng) = P1 (x)可以由兩個(gè)基本插值多項(xiàng)式l0 (x)與l1 (x)的線性組合來表示。18拉格朗日插值公式設(shè)連續(xù)函數(shù)y = f(x)在a, b上對(duì)給定n + 1個(gè)不同結(jié)點(diǎn)： x0, x1, , xn分別取函數(shù)值 y0, y1, , yn其中 yi =

6、 f (xi) i = 0, 1, 2, n試構(gòu)造一個(gè)次數(shù)不超過n的插值多項(xiàng)式使之滿足條件 i = 0, 1, 2, n19拉格朗日插值公式類似地，同構(gòu)造線性插值的方法，先求n次多項(xiàng)式lk (x) k = 0, 1, n，使若作出這樣的多項(xiàng)式lk(x)，則Pn(x)的次數(shù)n，另外，由上式，對(duì)i = 0, 1, 2, n即Pn(x)滿足插值條件。于是問題歸結(jié)為具體求出基本插值多項(xiàng)式lk(x)。20拉格朗日插值公式根據(jù)基性質(zhì)，xk以外所有的結(jié)點(diǎn)都是lk (x)的根，因此令又由lk (xk) = 1，得：21拉格朗日插值公式所以有：即得Pn (x)的表達(dá)式上式稱為拉格朗日插多項(xiàng)式。 225.1.2

7、多項(xiàng)式插值 235.1.2 多項(xiàng)式插值 245.1.2 多項(xiàng)式插值 255.1.2 多項(xiàng)式插值 26圖5.1 拉格朗日多項(xiàng)式插值的基函數(shù)27圖5.2285.1.2 多項(xiàng)式插值 295.1.2 多項(xiàng)式插值 305.1.2 多項(xiàng)式插值 315.1.2 多項(xiàng)式插值 325.1.2 多項(xiàng)式插值 335.1.2 多項(xiàng)式插值 345.1.2 多項(xiàng)式插值 355.1.2 多項(xiàng)式插值 演示：使用函數(shù)interpgui和rungeinterp36圖5.337圖5.4385.1.3 分段線性插值395.1.3 分段線性插值405.1.3 分段線性插值41圖5.5 分段線性插值的基函數(shù)425.1.3 分段線性插值4

8、35.1.3 分段線性插值445.1.3 分段線性插值455.1.3 分段線性插值465.1.3 分段線性插值47圖5.5 分段線性插值的基函數(shù)48圖5.6495.1.3 分段線性插值505.1.4 三次樣條插值在生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，對(duì)所做的插值曲線即要簡(jiǎn)單，又要在曲線的連接處比較光滑，即所作的分段插值函數(shù)在分段上要求多項(xiàng)式次數(shù)低，而在節(jié)點(diǎn)上不僅連續(xù)，還存在連續(xù)的低階導(dǎo)數(shù)我們把滿足這樣條件的插值函數(shù)，稱為樣條插值函數(shù)，它所對(duì)應(yīng)的曲線稱為樣條曲線，其節(jié)點(diǎn)稱為樣點(diǎn)，這種插值方法稱為樣條插值。515.1.4 三次樣條插值樣條函數(shù)是在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)實(shí)踐中產(chǎn)生的。如用方磚砌圓井、條石筑拱橋，這些都是最初的

9、“樣條函數(shù)”。但是現(xiàn)在因此得名的樣條曲線并不是指折線而言，而是放樣工人或繪圖員借助樣條（一種軟木或塑料的長(zhǎng)條）和壓鐵給出的那種曲線。這種曲線，在數(shù)學(xué)上是分段三次多項(xiàng)式的典型代表，它具有良好的力學(xué)性質(zhì)。推而廣之，今天把分段多項(xiàng)式，甚至分段解析函數(shù)統(tǒng)稱為樣條函數(shù)。525.1.4 三次樣條插值樣條函數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域很廣，早期在汽車、輪船、飛機(jī)制造方面的應(yīng)和是手工放大樣，在計(jì)算機(jī)的發(fā)展日前廣泛深入后，它廣泛地應(yīng)用于各種制造業(yè)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD），各種圖形的繪制工作、地理信息系統(tǒng)、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合、以及現(xiàn)在“熱門”的計(jì)算機(jī)動(dòng)畫制作。在樣條函數(shù)中，應(yīng)用最廣的是三次樣條函數(shù)。5354555.1.4 三次樣條

10、插值565.1.4 三次樣條插值575.1.4 三次樣條插值585.1.4 三次樣條插值595.1.4 三次樣條插值在考慮樣條插值問題的時(shí)候，首先一個(gè)問題就是滿足條件的樣條函數(shù)是否存在？令 i = 0, 1, 2, n根據(jù)三次樣條函數(shù)的定義， 在每一個(gè)小區(qū)間xi-1, xi i = 1, n 上都是三次多項(xiàng)式，所以S (x)在 xi-1, xi上的表達(dá)式為：其中 605.1.4 三次樣條插值將S (x)兩次積分得：其中Ai和Bi為積分常數(shù)， 615.1.4 三次樣條插值由插值條件Mi需滿足方程：625.1.4 三次樣條插值由此解得所以635.1.4 三次樣條插值只要知道了諸Mi，S (x)的表

11、達(dá)式也就完全確定了。微分S (x)的表達(dá)式得而645.1.4 三次樣條插值于是由一階導(dǎo)數(shù)在節(jié)點(diǎn)處連續(xù) 得65各項(xiàng)除以hi + hi+1，并記 ，則上式可寫為n 1個(gè)內(nèi)點(diǎn)有n 1個(gè)方程，有n + 1個(gè)未知量Mi。為確定Mi (i = 0, 1, n)還需加上兩個(gè)端點(diǎn)條件（邊界條件）。665.1.4 三次樣條插值端點(diǎn)條件端點(diǎn)條件形式很多，這里僅給出常用的兩種。1）給定 ，補(bǔ)充方程組的第一個(gè)和最后一個(gè)方程。若取M0 = Mn=0，稱為三次自然樣條。675.1.4 三次樣條插值2）給定兩端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值即有整理得68方程組的求解經(jīng)補(bǔ)充后的方程組為對(duì)端點(diǎn)條件（1），有69方程組的求解對(duì)端點(diǎn)條件（2）有70方程

12、組的求解最終得到的方程組是一個(gè)三對(duì)角方程組，可用追趕法求解，因?yàn)閕+i = 1，i 0, i 0, 0 = i =1，故系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，從而存在唯一解。求出了Mi (i = 0, 1, n)，也就求得了S (x)在各個(gè)小區(qū)間的表達(dá)式Si (x)（i = 0, 1, 2, n）715.1.4 三次樣條插值725.1.4 三次樣條插值735.1.4 三次樣條插值745.1.4 三次樣條插值755.1.4 三次樣條插值7677785.1.4 三次樣條插值795.1.4 三次樣條插值805.1.4 三次樣條插值81插值問題的發(fā)展直接使用多項(xiàng)式基求解系數(shù)計(jì)算困難，求到系數(shù)后求值、微分、積分方便使用

13、拉格朗日插值基函數(shù)求解系數(shù)簡(jiǎn)單，插值函數(shù)的求值、微分、積分復(fù)雜兩種方法的共同缺點(diǎn)：高次插值多項(xiàng)式在非插值點(diǎn)誤差較大，不適宜做外推原因分析：所采用的基函數(shù)是全局的82插值問題的發(fā)展解決的方法：采用分段低次插值多項(xiàng)式分段線性插值多項(xiàng)式構(gòu)造簡(jiǎn)單光滑性差在每個(gè)分段使用較高次的多項(xiàng)式三次樣條函數(shù)835.1.5 三次樣條的MATLAB實(shí)現(xiàn)Cubic spline interpolation845.1.5 三次樣條的MATLAB實(shí)現(xiàn)855.1.5 三次樣條的MATLAB實(shí)現(xiàn)clamped:夾緊的，夾持的 865.1.5 三次樣條的MATLAB實(shí)現(xiàn)875.1.5 三次樣條的MATLAB實(shí)現(xiàn)885.1.5 三次樣條的MATLAB實(shí)現(xiàn)895.1.5 三次樣條的MATLAB實(shí)現(xiàn)905.1.5 三次樣條的MATLAB實(shí)現(xiàn)91圖5.7925.1.5 三次樣條的