-多元函數(shù)微分習(xí)題-答案課件

1、多 元函數(shù)微分求在區(qū)域上的最大值和最小值。例18此題是不等式約束問題，求解分兩步進(jìn)行:【解】 在內(nèi)，解方程組得唯一駐點(diǎn)（0，0）。提示先求區(qū)域內(nèi)部的可疑極值點(diǎn)，再求邊界上的可疑極值點(diǎn)，然后比較它們的函數(shù)值。2 在邊界上，構(gòu)造拉格郎日函數(shù) 解方程組求出函數(shù)值比較大小可知，最大值為45最小值為9.得可疑極值點(diǎn) 和 3設(shè)f(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足求所滿足的一階微分方程，并求其通解.因此，所求的一階微分方程為解得 (C為任意常數(shù)).例21，利用已知關(guān)系可得到關(guān)于y的一階微分方程.【分析】先求【解】4例22【解】其中 具有一階連續(xù)偏導(dǎo),且 ,求 設(shè)5 設(shè)，其中是由確定，其中具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，

2、求兩端對求導(dǎo)有兩端對求導(dǎo)有代入化簡例23【解】在6上各點(diǎn)的法線總垂直于常向量，并指出此曲面的特征.證明: 設(shè)可微,試證證法一 設(shè)為曲面上任意一點(diǎn),其法向量為:所以例24的任意性知曲面上各點(diǎn)的法線總垂直于即常向量.7證法二 任取曲面上一點(diǎn)則直線 L：在曲面上，而L的對稱式方程為 L： 可見過曲面上任意一點(diǎn)的直線均平行于a，b，c，即曲面是母線平行于a，b，c的柱面。8設(shè)可微,試證上任一點(diǎn)處的切平面都通過定點(diǎn).則該處的切平面為: +-+=0三個(gè)數(shù)a,b,c出現(xiàn)在方程中,我們首先猜想就是所求的點(diǎn).代入滿足方程,故點(diǎn)在此切平面上.例25證法一任取曲面上一點(diǎn)9證法二分析曲面的幾何性質(zhì)要比機(jī)械地代公式好,

3、任取曲面上一點(diǎn)則連接的直線方程L為:將直線方程代入曲面方程有 這說明L上的點(diǎn)都在曲面上,即曲面是以為頂點(diǎn)的錐面,而曲面上任意一點(diǎn)的切平面都經(jīng)過其頂點(diǎn).設(shè)點(diǎn)10求由方程 所確定的函數(shù) 設(shè)的極值。解 對方程 兩邊求全微分，得令 ，得例2611代入原方程 得：得駐點(diǎn)又12 所以函數(shù)沒有極值點(diǎn)。所以對于 點(diǎn)，點(diǎn)不是極值點(diǎn)。對于 點(diǎn)，點(diǎn)不是極值點(diǎn)。這是隱函數(shù)極值問題，計(jì)算方法與顯函數(shù)相同，所不同的是計(jì)算可疑極值點(diǎn)要利用隱函數(shù)求導(dǎo)法。注意13已知平面上兩定點(diǎn) A(1,3 ),B(4,2), 試在橢圓圓周上求一點(diǎn)C,使ABC 面積 解：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y), 則 設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組例27最大. 14得駐點(diǎn)對應(yīng)面積而比較可知, 點(diǎn) C 與 E 重合時(shí), 三角形面積最大.15求在點(diǎn)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)。 解 當(dāng) 時(shí)， 類似: 例2816當(dāng)時(shí)，顯然 17第六部分考研試題欣賞Heut-設(shè),其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求2004年利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的方法直接計(jì)算.提示Heut-設(shè)z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)和極值.2004年因?yàn)?所以提示Heut-得令故 將上式代入可得Heut-由于 所以 Heut-故又從而點(diǎn)(9,3)是z(x,y)的極小值點(diǎn)，極小值為z(9,3