4.2-一維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似解析課件

1、14.2 一維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 1. 模型和微擾計(jì)算 近自由電子近似模型 金屬中電子受到原子 實(shí)周期性勢(shì)場(chǎng)的作用 假定勢(shì)場(chǎng)的起伏較小零級(jí)近似 用勢(shì)場(chǎng)平均值代替原子實(shí)產(chǎn)生的勢(shì)場(chǎng)周期性勢(shì)場(chǎng)的起伏量作為微擾來處理21)、零級(jí)近似下電子的能量和波函數(shù) 一維N個(gè)原子組成的金屬，金屬的線度零級(jí)近似下薛定諤方程這是恒定場(chǎng) 中的自由粒子。波函數(shù)和能量本征值3波函數(shù)滿足正交歸一化 l 為整數(shù)2)、微擾下電子的能量本征值 哈密頓量滿足周期邊界條件4根據(jù)微擾理論，電子的能量本征值一級(jí)能量修正5二級(jí)能量修正 按原胞劃分寫成 引入積分變量 6利用勢(shì)場(chǎng)函數(shù)的周期性i) Vn 周期場(chǎng)V(x)的第n個(gè)傅立葉系

2、數(shù)7ii) 8二級(jí)能量修正式9計(jì)入微擾后電子的能量 103)、微擾下電子的波函數(shù) 電子的波函數(shù)波函數(shù)的一級(jí)修正11計(jì)入微擾電子的波函數(shù)12令可以證明電子波函數(shù) 具有布洛赫函數(shù)形式13 電子波函數(shù)的意義 i) 電子波函數(shù)和散射波波矢為k的前進(jìn)的平面波 平面波受到周期性勢(shì)場(chǎng)作用產(chǎn)生的散射波散射波的波矢為：相關(guān)散射波成份的振幅14散射波若則散射波成份的振幅波函數(shù)一級(jí)修正項(xiàng) 微擾法不再適用了15ii) 電子波函數(shù)和不同態(tài)之間的相互作用與它有微擾矩陣元的其它零級(jí)波函數(shù)在原來的零級(jí)波函數(shù) 中摻入 它們的能量差越小摻入的部分就越大16當(dāng) 時(shí) 兩個(gè)狀態(tài)具有相同的能量 導(dǎo)致了波函數(shù)的發(fā)散17 電子能量的意義二級(jí)

3、能量修正當(dāng) ，即 時(shí) 電子的能量是發(fā)散的 k和k兩個(gè)狀態(tài)具有相同的能量，k和k態(tài)是簡(jiǎn)并的184)、電子波矢在 附近的能量和波函數(shù) 取小量對(duì)應(yīng)的狀態(tài)為周期性勢(shì)場(chǎng)中，對(duì)狀態(tài) k 有主要影響的狀態(tài)為 只考慮影響最大的狀態(tài)，忽略其它狀態(tài)的影響19簡(jiǎn)并波函數(shù) 簡(jiǎn)并微擾問題中，波函數(shù)由簡(jiǎn)并波函數(shù)線性組合構(gòu)成薛定諤方程考慮到得到20分別以 或 從左邊乘方程，對(duì) x 積分利用線性代數(shù)方程a, b有非零解能量本征值21i)波矢k離 較遠(yuǎn)，k狀態(tài)的能量和狀態(tài)k差別較大將 按 泰勒級(jí)數(shù)展開2223 k和k能級(jí)相互作用的結(jié)果是原來能級(jí)較高的k提高 原來能級(jí)較低的k下壓 量子力學(xué)中微擾作用下，兩個(gè)相互影響的能級(jí)，總是

4、原來較高的能量提高了，原來較低的能量降低了 能級(jí)間“排斥作用” 與非簡(jiǎn)并結(jié)果表達(dá)式類似24ii)波矢k非常接近 ，k狀態(tài)的能量和k能量差別很小將 按 泰勒級(jí)數(shù)展開2526結(jié)果分析 i) 兩個(gè)相互影響的狀態(tài)k和k微擾后，能量變?yōu)镋+和E-，原來能量高的狀態(tài) ，能量提高；原來能量低的狀態(tài)能量降低27兩個(gè)相互影響的狀態(tài)k和k微擾后，能量變?yōu)镋+和E-28ii) 當(dāng) 0 時(shí) 0, 0, 0兩個(gè)方向當(dāng)0的共同極限292. 能帶和帶隙(禁帶) 零級(jí)近似下，將電子看作是自由粒子，能量本征值曲線為拋物線 微擾情形下：電子的k不在n/a附近時(shí)，與k狀態(tài)相互作用的其它態(tài)的能量與k狀態(tài)的零級(jí)能量相差大即滿足 k狀態(tài)

5、不計(jì)二級(jí)能量修正 拋物線30當(dāng)電子的 和 兩種情形時(shí)存在 一個(gè)的態(tài)，和 狀態(tài)能量相同同樣，存在一個(gè) 的態(tài) ，和 狀態(tài)能量相近 簡(jiǎn)并微擾計(jì)算中，只考慮以上兩種狀態(tài)之間的相互作用由于周期性勢(shì)場(chǎng)的微擾，能量本征值在 處斷開能量的突變?yōu)?1能量本征值在斷開兩個(gè)態(tài)的能量間隔電子波矢取值 對(duì)于一個(gè)l，有一個(gè)量子態(tài)k能量本征值 當(dāng)N很大時(shí)，Ek視為準(zhǔn)連續(xù)32能量本征值在 處斷開 斷裂寬度 由于晶格周期性勢(shì)場(chǎng)的影響，晶體中電子準(zhǔn)連續(xù)的能級(jí)發(fā)生一系列的斷裂33 結(jié)果及討論 1) 底部，能量向上彎曲；頂部，能量向下彎曲342) 斷裂出現(xiàn)在波矢空間倒格矢的中點(diǎn)處353) 斷裂的寬度 取決于金屬中勢(shì)場(chǎng)的形式36 能帶

6、及一般性質(zhì) 自由電子的能譜是拋物線型 晶體弱周期性勢(shì)場(chǎng)的微擾，電子能譜在布里淵邊界產(chǎn)生的寬度為 發(fā)生能量躍變 在遠(yuǎn)離布里淵區(qū)邊界，近自由電子的能譜和自由電子的能譜相近37 每個(gè)波矢k有一個(gè)量子態(tài)，當(dāng)晶體中原胞的數(shù)目趨于無限大時(shí)，波矢k變得非常密集，這時(shí)能級(jí)的準(zhǔn)連續(xù)分布形成了一系列的能帶： 各能帶之間是禁帶, 在完整的晶體中，禁帶內(nèi)沒有允許的能級(jí)38能帶序號(hào)k的范圍k的長(zhǎng)度布里淵區(qū) 一維布喇菲格子，能帶序號(hào)、能帶所涉及波矢k的范圍和布里淵區(qū)的對(duì)應(yīng)關(guān)系第一布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)39一維布喇菲格子，能帶序號(hào)、波矢k和布里淵區(qū)對(duì)應(yīng)關(guān)系40 每個(gè)能帶中包含的量子態(tài)數(shù)目波矢k的取值 k的數(shù)目每個(gè)

7、能帶對(duì)應(yīng)k的取值范圍各個(gè)能帶k的取值數(shù)目 原胞的數(shù)目 計(jì)入自旋，每個(gè)能帶中包含2N個(gè)量子態(tài)41 電子波矢和量子數(shù)簡(jiǎn)約波矢的關(guān)系 第一布里淵區(qū)簡(jiǎn)約波矢 的取值范圍平移算符本征值量子數(shù)k（簡(jiǎn)約波矢，計(jì)為 ）和電子波矢k之間的關(guān)系 故，又稱簡(jiǎn)約布里淵區(qū)近自由電子中電子的波矢在一維情形中 m為整數(shù) l 為整數(shù)42電子的波函數(shù)可以表示為 晶格周期性函數(shù)43將 代入44 晶格周期性函數(shù) 晶體中電子的波函數(shù)利用電子波矢和簡(jiǎn)約波矢的關(guān)系，電子在周期性勢(shì)場(chǎng)中的波函數(shù)為布洛赫函數(shù)45 用簡(jiǎn)約波矢來表示能級(jí) 電子的能級(jí) m為整數(shù)，對(duì)應(yīng)于不同的能帶46第一能帶位于簡(jiǎn)約布里淵區(qū)，其它能帶可以通過倒格矢移到簡(jiǎn)約布里淵區(qū)： 簡(jiǎn)約波矢的取值被限制在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)，要標(biāo)志一個(gè)狀態(tài)需要標(biāo)明：1)它屬于哪一個(gè)能帶(能帶標(biāo)號(hào))2)它的簡(jiǎn)約波矢 是什么？ 每一個(gè)能帶在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)都有各自的圖像，得到所有能帶在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的圖像47電子波矢k和簡(jiǎn)約波矢 的關(guān)系 48周期性勢(shì)場(chǎng)的起伏只使得不同能帶相同簡(jiǎn)約波矢 的狀態(tài)之間的相互影響 對(duì)于一般的 (遠(yuǎn)離布里淵邊界)這些狀態(tài)間的能量相差較大，在近自由電子近似的微擾計(jì)算中，采用非