D56多元函數(shù)微分學在幾何上的簡單應用課件

1、二、曲線的弧長第六節(jié)一、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線 多元函數(shù)微分學在幾何上的簡單應用 第五章 一、空間曲線的切線與法平面 1、空間曲線 的參數(shù)方程: 可以看作是從區(qū)間的一個連續(xù)映射r 的像, 的軌跡就是曲線。r (t)的像就是向徑 當 t 在區(qū)間上變化時向徑的終點M 曲線也可以寫為例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度, 稱為螺距 .設空間曲線 的方程為2. 簡單曲線和有向曲線上連續(xù)， 為連續(xù)曲線；如果向量值函數(shù)r(t)在區(qū)間如果 為連續(xù)曲線， 且任取都有 ，即在上r(t)為單射， 則稱 為簡單曲線。如果 為簡單曲線, 且則稱 為簡單閉曲線。則稱對于選定了參數(shù)t的曲線，我們規(guī)定

2、t增大的的方向為曲線的正方向。對于規(guī)定了方向的曲線，我們稱為有向曲線。一般討論的曲線均為有向曲線。3.空間曲線的切線與法平面設空間曲線 的方程為其中向量值函數(shù)r(t)在上可導切線方程。我們來討論 在點處的 與平面曲線的切線一樣， 空間曲線上點處的切線也定義為曲線當點P沿曲線趨向于點時的極限位置處的割線上過點要求此切線方程。關鍵在于求出一個方向向量。從而向量為此在的臨近取點與P對應的向徑分別為為割線的一個方向向量.易知也是割線的一個方向向量。對上式取極限有從而割線變?yōu)榍€ 的切線，由此可見向徑r(t)的導數(shù)相應的方向向量變?yōu)榍芯€的方向向量表示曲線 在相應點的切線的方向向量。處切線的向量方程為曲線

3、 在相應點切向量其中為切線上動點M(x,y,z)的向徑，t參數(shù)。時， 曲線上都存在切線。消去參數(shù) 處的切線方程為 若切線方向連續(xù)變化， 此時稱曲線為光滑曲線。如果不是光滑曲線， 但將 分成若干段后，如果每段都是光滑曲線，則稱為分段光滑曲線。 過點 且垂直于 處切線 的直線, 稱為曲線 的法線， 這些法線顯然位于一個平面內，此平面為在點 處的法平面法平面的方程為例 求曲線在點 M (1, 1, 1) 處的切線 方程與法平面方程. 解：點(1, 1, 1) 對應于故點M 處的切向量為因此所求切線方程為 法平面方程為即思考: 光滑曲線的切向量有何特點?答:切向量曲線為一般式的情況光滑曲線曲線上一點,

4、 且有 可表示為處的切向量為 則在點切線方程法平面方程有或也可表為法平面方程(自己驗證)例5. 求曲線在點M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. 切線方程解法1 令則即切向量法平面方程即解法2 方程組兩邊對 x 求導, 得曲線在點 M(1,2, 1) 處有:切向量解得切線方程即法平面方程即點 M (1,2, 1) 處的切向量6.2 曲線的弧長弧長折線的極限對于空間簡單曲線 ： 的兩個端點A,B分別對應 , 在 上介于A,B之間分別沿t增大的方向依次取n-1個分點，他們把分成了n段。用直線段把相鄰分點連接起來得到一折線，它的長度為定理6.1 弧長計算公式：如果不論分點怎么選取，最大長

5、度折線長度有確定的極限s, 線弧為可求長的.并稱此極限為曲線的長 , 則稱此曲即證明：設分點 對應的參數(shù)分別為，這樣便有首先來求利用拉格朗日中值公式得其中為使上式右端根式中的函數(shù)在 同一點處取值， 將其變形得到于是有其中令，由定積分的定義和存在定理可知利用不等式這樣， 由(6.13)(6.14)兩式可知，要想證明弧長因為公式，只需要證明由(6.12)可知在上連續(xù)，從而一致連續(xù)，證畢。于是只要 便有故特別當 時有平面曲線為空間曲線的特例(z=0) ：對于平面曲線 弧長為(1) 如果曲線弧由直角坐標方程給出:則參數(shù)方程為 x=x ,y=f(x), 于是有(2) 曲線弧由極坐標方程給出:因此所求弧長

6、則得例 計算擺線一拱的弧長 .解:例：求平面曲線的弧長：例：求螺旋線一個螺距之間的長度：弧微分設曲線的參數(shù)方程為可以將弧長視為參數(shù) t 的函數(shù)這樣，可得弧長的微分（弧微分）為：則t 增大的方向也是 s 增大的方向，且有自然參數(shù)既然弧長可以視為參數(shù) t 的函數(shù)將反函數(shù) t = t(s) 代入曲線參數(shù)方程即弧長 s 成為曲線的參數(shù)，稱之為自然參數(shù)性質：為單位切向量6.3 曲面的切平面與法線曲面的參數(shù)方程圓柱面方程其參數(shù)方程為向量的形式即圓柱面可以看作平面區(qū)域 到 的連續(xù)映射下的像。解：任取一點如右圖，則因此，球面可以看成是平面區(qū)域到 的連續(xù)映射（6.22）的像。例6.6 建立半徑為 的球面的參數(shù)方

7、程。一般的，曲面S看做某區(qū)域D到空間Oxyz的某一連續(xù)映射的像，從而S的方程可表為或寫成向量的形式此二式稱為曲面的參數(shù)方程，曲面上的曲線的表示若在D中固定則此映射r下的像點的集合應是曲面S上的一條曲線，稱為曲面S上的u曲線，方程是同理可得曲面S上的v曲線的方程為這樣，過曲面S上的每一點P，就有u曲線和一條v曲線，它們的交點就是P。u曲線族和v曲線族構成曲面S上的參數(shù)曲線網(wǎng)。 曲面S可以看成是映射r將平面uOv上的區(qū)域D在R3中變形后得到的，而D內的坐標網(wǎng)相應的變成了曲面S的參數(shù)曲線網(wǎng)。如圖即為球面的經(jīng)線。即為球面的緯線。復習 例6.7 機械工程中常見的一種曲面稱為正螺面，它是當長為l的一動直線

8、段在平面上勻速地繞與此平面垂直的軸旋轉，而此直線段所在平面又勻速地沿此軸向上或向下運動時，該直線段的運動軌跡，試建立它的方程。解建立坐標系，使運動開始時直線段位于x軸的正方向上，且直線段以原點為起點。記為OM。設OM的旋轉角速度為垂直移動的速度為b0.正螺面上的任一點P(x,y,z)與z軸的距離為u。令于是正螺面的參數(shù)方程為曲面的切平面與法線曲面S的參數(shù)方程為其中r在D內連續(xù)，在點 存在偏導數(shù)且（點 稱為曲面的正則點）曲面S上過點 的u曲線為 其在 的切向量為在點 的切向量為同理可得v曲線上述u曲線和v曲線的切線若 是正則點，所以向量不平行，以 為法線方向確定了一個平面它是過點 且向量的平面。

9、其方程為在S上過點 任一條光滑曲線 其中上式兩端在 處對 求導，是何種關系？曲面S上過點 的任一曲線在點 的切線與平面線性表示，于是曲線 在點 的切向量可用故曲線 在點 的切線必在平面 上。由曲線 的任意性知：曲面S上過點 的任一曲線在點 的切線均在平面 上。于是稱平面 為曲面在點 的切平面。過點 且垂直于切平面 的直線稱為曲面在點 處的法線。的方向向量稱為法向量。法線于是S在點 的切平面方程是：法線方程為：若均在區(qū)域D內連續(xù)，則稱曲面S是一光滑曲面。若曲面S的方程是直角坐標方程且不妨設確定二元函數(shù)于是方程于是得曲面的參數(shù)方程于是故法向量取于是曲面在點 的切平面方程為：法線方程為：若曲面S的方程是直角坐標方程于是曲面在點 的切平面方程為：法線方程為：全微分的幾何意義二元函數(shù) 在點的全微分為二元函數(shù)的全微分是：用切平面上的改變量代替曲面上的改變量。-局部線性化例6.8求正螺面 在處的切平面與法線方程，其中常數(shù)a為非零常數(shù)。解于是對應于點 處的法向量可取為從而得切平面方程法線方程例9. 求球面在點(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解: 令所以球面在點 (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程 即法線方程法向量即(可見法線經(jīng)過原點，即球心)例10.如果平面與橢球面相切,提示: 設切點為