考點(diǎn)08解析幾何-2020高考(理)?？伎记皬?fù)習(xí)指導(dǎo)與搶分集訓(xùn)(解析版)

1、專題一核心考點(diǎn)速查練考點(diǎn)08解析幾何核心考點(diǎn)呈現(xiàn).直線傾斜角和斜率.兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線距離公式、兩條平行直線間距離.直線與圓的位置關(guān)系、圓于圓的位置關(guān)系.橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì).直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)定值問題、范圍最值問題1.已知點(diǎn)1,在直線l : ax0的兩側(cè),則直線l的傾斜角的取值范圍是(A. 一4B.2C.一33D. 0,34設(shè)直線1的傾斜角為 院0,4點(diǎn)A(1,-2), B(1 ,0).直線 l:ax-y-1=0(aw 瞅過定點(diǎn) P(0,-1). TOC o 1-5 h z ,12/ ,1 0-kPA 1,kPB13.0 1003一一3 一.點(diǎn)(1,-2)和(3

2、,0)在直線 1：ax-y- 1=0(aw0)兩側(cè), kpAakPB, .-1 tan 0)的焦點(diǎn)，曲線C2是以F為圓心，以?為半徑的圓,0與曲線CVC2從上到下依次相交于點(diǎn) A,B,C,D ,則34y2pxB.AF2p, DC4y aC.可以得到2TM，使得2y23py2p2yA5p25P _P _P828PMQ90DFABDC16,222) y5p8 ，選A.若在圓,則a的取值范圍是(ABCD2p,yDC上存在兩點(diǎn)B. 6- 572,6 + 572D. -6- 572,- 6+ 572).所以2【解析】如圖:過圓心C作CE l交于E ,過E作圓C的切線交圓于F、GFEG是圓心兩點(diǎn)與l上一點(diǎn)

3、形成最大的角,只要 FEG 90滿足條件，即 FEC 45 ,CF即d應(yīng)，EF 72，EC 2,6 a 2,56 a 10,16 a 4.故選：C221（a b 0）, Fic,0和F2（c,0）分別是橢圓的左右焦點(diǎn)14.已知橢圓方程為勺a b若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，延長 FF到M ,使PMPF2 ,則M的軌跡是圓;若P x0,y0是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則 PF1a c,a c ； 以焦點(diǎn)半徑PF 1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切;2 ,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)F1PF2,則橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積為S b tan -2以上說法中，正確的有（）A.B.C.D.【答案】A【解析】對(duì)于，根據(jù)橢圓的定義可知 P

4、F1 PF2 2a,所以PF1 PM 2a ,也即M到Fi的距離為定值2a,故M的軌跡是圓，所以 正確.對(duì)于，當(dāng)P為左頂點(diǎn)時(shí)， PF1 a c,當(dāng)P為右頂點(diǎn)時(shí)，PF1 a c,所以PF1 a c,a c ,所以錯(cuò)誤.對(duì)于，以PFi為直徑的圓，圓心為M ,半徑是1|PF；.以長軸為直徑的圓，圓心為M ,2半徑為a.連接PF2 ,則OM是三角形PF1F2的中位線，由于 PF1 PF2 2a ,所以一r一 一一.一1一一，、乂一MF1MO a,即兩圓圓心角MOa MF1a 一PF1等于兩圓半徑之差，故兩個(gè)2圓內(nèi)切，故正確.對(duì)于，設(shè)PFi m, PF2 n,依題意m n 2a (*),由余弦定理得1m

5、nsin (* )，將(*)、(* )、 2b2 sin(* )聯(lián)立化簡得，S b1 cosb2 2sin cos222cos2 一22 ,b tan.故正確.所以正確的為 24c2 m2 n2 2mn cos (*),而三角形的面積為 S.故選：A.15.四邊形 ABCD, AB/ CD, ABBC , 2ABAD CD 2J3 ,則 ABC 的外過A作AF CD交CD于點(diǎn)F ,則DF接圓與 ACD的內(nèi)切圓的公共弦長()D. 2A. 1B.應(yīng)C. 73【解析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 CB,CD為X軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系,V3, AD 2M ，故 FDA 600,則 ACD為等邊三角形,故 B

6、(0,3) A(73,3) D(2T3,0),ABC的外接圓方程為(X y)2 (y 3)2 3,ACD的內(nèi)切圓方程為(x 網(wǎng);(y 1)2 1,-得兩圓的公共弦所在直線方程為：J3x y 3 0,ABC的外接圓圓心到公共弦的距離為公共弦長為2,3 9點(diǎn)，故答案為：C.、3 3 332216.已知兩圓Ci： (x 4)2 y2 169, C2 ： (x 4)2 y2 9 ,動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C12A.642y48C.D.48 6464 48相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心 M的軌跡方程為()設(shè)動(dòng)圓圓心M x,y ,半徑為r ,Q 圓 M 與圓 C1 ： (x 4)222y 169內(nèi)切，與

7、圓C2： (x 4)2y 9外切,MC113 r, MC2 r 3,|MC1 MC2 16)8,由橢圓的定義,M的軌跡為以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓,可得 a 8, c 4 ；則 b2 a2 c2 48, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 22動(dòng)圓圓心M的軌跡方程：1 1 ,故選D.64 48 HYPERLINK l bookmark209 o Current Document 22F1、F2 ,若橢圓上存在點(diǎn)P使得17.已知橢圓、與1(a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 a bF1PF2是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是(A.

8、0，/B.2T，1D.I1C.0,2【解析】F1PF2漸漸當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從橢圓長軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，P對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角增大，當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)F0處時(shí)，張角 F1PF2達(dá)到最大值.FiF0F290 ,:橢圓上存在點(diǎn) P使得 F1PF2是鈍角，VFiF0F2中,RtV OP0F2 中,OP0F245 018.已知橢圓2x2ay2 b21 a b 0的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為e,若橢圓上存PF1在點(diǎn)P ,使得PF2e,則該離心率e的取值范圍是（A.五 1,10,V2 1【解析】依題意，得PF1PF2PF2 PF1PF2為e 1, PF22a 立PF2 ,又ae 1d UPF

9、2a c,不等號(hào)兩端同除以a得,2_ 2， a 2c卷橢圓離心率的取值范圍是 e， e 12345521e2, 2_l，解得eJ2 1 ,1e2,2 1, e1.1故選：A19.已知橢圓C：2 匕 b21(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1, F2,點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，橢圓C內(nèi)一點(diǎn)Q滿足:點(diǎn)Q在PF?的延長線上QF1QP.若 sin3F1PQ一，則該5橢圓離心率的取值范圍是(c叵110D.,26 .226 , 2Q QF1 QP ,點(diǎn)Q在以F1F2為直徑，原點(diǎn)為圓心的圓上,Q點(diǎn)Q在橢圓的內(nèi)部，以F1F2為直徑的圓在橢圓內(nèi),2c2Q sinF1PQcosF1PQ2x35設(shè)PF1n,4c22mn

10、cos F1PQ ,4c22mn 8mn 4c2 4a2 -mn ,5518mn54a2pf#21一 mn23 _sin F1PQ -mn,10由已知可知，點(diǎn)Q在以F1F2為直徑的圓上，不包含 Fi, F2兩個(gè)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)Q與F2重合時(shí)，此時(shí)b2-一 ,S PFF2的取大值是PF1F22cb2b2ca由圖象可知其他滿足條件的Q滿足條件時(shí)，需滿足-3mn10b2c10 b2cmn 3 a.一.10 0由可知mn 一b910b2cac解得：c a綜上可知:e20.若雙曲線C2 xa12y/ 1(a 0,b0）的一條漸近線被曲線4x0所截得的弦長為2.則雙曲線C的離心率為（C.而【答案】B【解析】1(a

11、 0,b 0)的漸近線方程為 yb-由對(duì)稱性，不妨取 y - x , gp bx ay 0 .a又曲線x2 y2 4x 2 0化為x 2 2 y2 2,則其圓心的坐標(biāo)為 2,0 ,半徑為拒.由題得，圓心到直線的距離d J&2 12 1 ,12b 0又由點(diǎn)到直線的距離公式.可得d 1.b2 a2解得b2 1,所以e g眄二穹.a 3.a , a .a 3故選：B. 2221.設(shè)雙曲線、4 1 a 0,b 0的右焦點(diǎn)為F ,右頂點(diǎn)為A，過F作AF的垂線與 a b雙曲線交于B ,C兩點(diǎn)，過BC分別作AC , AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn) D .若D到直線BC的距離等于a2b2 ,則該雙曲線的離心率是(b

12、. 73C. 2【解析】依題意可知b2A a,0 ,B c, ,C ab2C,kAB aJ k，CDc ab2,所以直線BD :b2 yac，直線CD ：b2D,-并化簡得c,直線BC方程為b4xD - c .由于d到直線BC的距離等1a c abx c,所以Xd - c a ,化簡得a2 b2,a b ,所以雙曲線為等軸雙曲線，a c a離心率為22.故選：A22.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，雙曲線勺 _y2 1 a 0,b 0的右支與焦點(diǎn)為F的拋物a b線x2 2py p 0交于A、B兩點(diǎn)，若AF BF 4 OF ,則該雙曲線的漸近線方程J2x2 y_ b22消去x得4 b22pm-2-

13、y 10 ,由韋達(dá)te理信 yiy2a2P2a12pb2a2py【解析】設(shè)點(diǎn)A為，必、B X2,y2 ,將雙曲線的方程與拋物線的方程聯(lián)立 TOC o 1-5 h z _ _ p 一Q AFBF 4 OF ,且點(diǎn)F 0專，由拋物線的定義得 y y2 P 2p ,2pb2 /口 b21 皿 b .2所以 yy2 p ,得一 一,貝U .aa2a 2M因此，該雙曲線漸近線方程為y2x.22故答案為：y x.2.汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點(diǎn)處.已知燈口直徑是26厘米，燈深11厘米，則燈泡與反射鏡的頂點(diǎn)的距離為 厘米.（精確到0.1厘

14、米）【解析】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為方程得：132 2p 11,解得p =169，所以-22169443.8，即燈泡與反射鏡頂點(diǎn)的距離約為2y 2 Px ( p 0),由題意拋物線經(jīng)過點(diǎn)(11,13)，代入拋物線3.8.故答案為:3.8.24.過點(diǎn)M 1,0的直線l與拋物線C :y2 4x交于A, B兩點(diǎn)(A在M , B之間)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若S MBF 4S MAF , 則 ABF的面積為 .【答案】3.【解析】不妨設(shè) A, B在第一象限，如圖，設(shè) A(0y)B(x2,y2),由題意F(1,0), TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark294 o Curren

15、t Document C-1.1.S MBF 4s MAF ,- MF y24 - MF y1 , , y24y1 HYPERLINK l bookmark304 o Current Document 22又M,A,B共線，._y_ x1 1v%y2十，即1 2x21y14y212一把y2-y2144y1代入得:小4y11yl214yj1，顯然y1,解得y11, y24,S MAF 2 11 , S MBF 4 , S FAB S MBF S MAF225.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓2T.上 ,2ay2 i的離心率為2 , 一個(gè)頂點(diǎn)為B 0,i ,過橢 b2圓上一點(diǎn)P的兩條直線PA, PC分別與橢

16、圓交于 A, C,設(shè)PA, PC的中點(diǎn)分別為 D, E,直線pa, pc的斜率分別是ki , k2(ki,k20),若直線OD, OE的斜率之和為 2,則4ki k2的最大值為【解析】不妨設(shè)ab,根據(jù)題意可知ab2a2 ib2，解得：a . 2,b i,c i2橢圓方程是-設(shè) P %, %,A X2, y2,B X3, y32Xi22X222 yi2y2i,兩式相減得i2XiX2整理為:XiX2XiX22yiy22 y2yiy2當(dāng) X1X20 ,且 X1X20時(shí),yiy2Xx2yiX1X2ki koD0 ,即 Qd【答案】.3 1同理：koE12k22k1 2k22,1即一 k1k24k1k2

17、4k1k245k2 4klk1k2k24k1Q k1,k24k1k1k2k14k1k22x4 4k2 4k1k1k21 k2 4k1當(dāng)且僅當(dāng)4 k1k2k24 k1k1k2時(shí)等號(hào)成立，即k2 2k1 時(shí),，一9故4k1 k2的最大值是一4x26.已知橢圓一1的左、右焦點(diǎn)分別為164.9故答案為：94F1,F2，點(diǎn)P在直線l:x J3y 8 2M 0上，當(dāng) F1PF2取最大值時(shí),PF1PF222【解析】橢圓 y- 1的左右焦點(diǎn)分別為Fi( 2/3, 0)、與F2Q用,0) .164如圖，根據(jù)平面幾何知識(shí)知，當(dāng)F1PF2取最大值時(shí)，經(jīng)過Fi與F2的圓與直線l相切，此時(shí)圓心在y軸上，坐標(biāo)為 A(0,

18、2),在直線l:x擲y 8 240中令y 0得B的坐標(biāo):B 8 2點(diǎn)0 ,在三角形BPFi和三角形BF2P中，BPFiBF2P,BPFiS BF2P ,|PFi | PBABPA2IPF2 | BF2BO OF2A、B兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于 C點(diǎn),優(yōu)uuu右FCuur皿膽4FB，則 AB【解析】焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F i,0 .畫出圖像如下圖所示，作 BD垂直準(zhǔn)線x i交準(zhǔn)線于D,根據(jù)拋物線的定義可知 BF BD ,由于FC 4FB，所以,設(shè)直線l的傾BC BC 3斜角為 ，則cos 1，所以tan 01 cos22/2，即直線l的斜率為2 J2，所3cos以直線l的方程為y 2 J2 x 1，代入拋物線方

19、程并化簡得 2x2 5x 2 0 ,所以5 uuuXa Xb-,所以 AB259xX2p - 2 -.2228.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，過點(diǎn)（0, 1）的直線l與雙曲線3x2 y2 1交于兩點(diǎn)A,B,若OAB是直角三角形，則直線 1的斜率為直線1的斜率顯然存在，設(shè)直線為 y聯(lián)立雙曲線:3x2y2 1,消去y得:k22- 一x 2kx 2 0.若AOBuur uur90 ,則 OA OB0XaXbkxA 1kxB 10(1k2)XAXB k Xa Xb10 (1 k2)23 k2解得若OAB90 （A在左支）A點(diǎn)坐標(biāo)（m, n)(OAB 900,聯(lián)立雙曲線無解，故不可能出現(xiàn)OAB 90 。若

20、 OAB90 （B在右支）,同理不可能故答案為:29.已知點(diǎn)A( 76,0)和點(diǎn)B( J6,0),記滿足kpA kpB1 ,一的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C .3（I ）求曲線C的方程;（n）已知直線l ： y k（x 1）與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn) M、N ,且l與x軸相交5iuuLr點(diǎn)E .若ME2黃，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求 MON面積.【答案】（I ） x23y2 6 (x76) ； ( n)3/58【解析】（i ）設(shè)點(diǎn)x, y為曲線C上任意一點(diǎn)由 kpA kpB整理得x23y2 6(n )設(shè) M xi,yiN x2,y2，且 E 1,0,uuu uuu,口由ME 2EN得 1xi, yi2 X21,

21、y2, , y12y2依題意，直線l顯然不平行于坐標(biāo)軸，且不經(jīng)過點(diǎn)A或點(diǎn)B可化為x1ky1 ky 3y23 y2y1y2y22k3k25/ 32k1 3k25k21 3k2y12y2y22 y222k1 3k2 5k21 3k221消去y2,整理得k 一即k5 MON的面積S-|OE| y1y23:582 x 30.已知E,F2是橢圓C:-2 a2/ 1(a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原八、(1)若VPOF2為等邊三角形,求 C的離心率;(2)如果存在點(diǎn)P,使得PFiPF2,且 45F52的面積等于16,求b的值和a的取值范圍. e 61； (2)b 4, a的取值范圍為4J2

22、,).(1)連結(jié) PFi ,由VPOF2為等邊三角形可知：在 F1PF2中,F1PF290,PF2c,PFi73c于是 2a PF1 PF2故橢圓C的離心率為e(2)由題意可知，滿足條件的點(diǎn)1P(x, y)存在，當(dāng)且僅當(dāng)1y 2c162L 1b2，y 16由以及ab2 c2 得 y2b422 ,又由知y c咚，故b c由得x222-(c2 b2),所以 c2 b2,從而 a c.222b c 2b32 ,故 a 4V2 ；當(dāng)b 4,4 、, 2時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn) P .故b 4, a的取值范圍為4 72,).2231.已知橢圓:C :xy 4 1(a b 0)的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為2

23、J15,原點(diǎn)a b1的距離為迤.4(1)求橢圓C的方程;(2)已知定點(diǎn)P(0,2),是否存在過P的直線l ,使l與橢圓C交于A, B兩點(diǎn)，且以|AB|為直徑的圓過橢圓C的左頂點(diǎn)？若存在，求出l的方程：若不存在,請(qǐng)說明理由【答案】(1)21； (2)存在，且方程為y 325 x58Jx 2.5(1)直線1的一般方程為bxay ab 0依題意2abab a2 b22 15.304解得,.5,故橢圓.3C的方程式為2,22a b c(2)假若存在這樣的直線當(dāng)斜率不存在時(shí)，以AB為直徑的圓顯然不經(jīng)過橢圓所以可設(shè)直線l的斜率為k ,則直線l的方程為y kx2.y kx 2J 2 ,，得 33x2 5y2

24、 155k22x 20kx0.400k2 20 35k20,B的坐標(biāo)分別為x”x2,y2 ,x220 k3 5k2Xx252 ,3 5k2而 yy2kx1 2 kx21 2k %x2 2kx1x24.要使以即 y1y2AB為直徑的圓過橢圓C的左頂點(diǎn)D,5,0uuvDAuuvDB0，x1. 5x2, 2k 1 x1x22k.5x290,2.520k0,所以 k 1 2 2k 、5 23 5k2- 3 5k2整理解得k 翌5或k還，所以存在過P的直線l ,使l與橢圓C交于B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過橢圓 C的左頂點(diǎn)，直線l的方程為y 迤x 2或52.32.設(shè)斜率不為0的直線l與拋物線x24 y交于

25、A，B兩點(diǎn),2與橢圓62y-1交于C ,4D兩點(diǎn)，記直線 OA, OB, OC , OD的斜率分別為（1）若直線l 過 0,4 ,證明：OA OB ；（2）求證:k. k2-2的值與直線l的斜率的大小無關(guān).k3 k4【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】（1）設(shè)AB直線方程為:y kx 4設(shè) A Xi,yiB%, y2)2xi2乂24 y1兩式相乘得:4 y22xx216y1y2將AB直線方程代入拋物線x2 4kx16 0 x1x216，y1y216,x1x2yy20uuu uuuOA OB 0 OAOB（2）設(shè)直線1: ykxm ， A x1,y1B x2,y2C x3, y3D x4,y

26、4 .聯(lián)立y kx m和x2 4kx貝U x1 x2 4k , xix24mk k y.魚 &k k2 TOC o 1-5 h z x x24422x 6kmx 3m 12 0 , HYPERLINK l bookmark277 o Current Document 22聯(lián)立y kx m和人 1得2 3k26426 km 4_22 一2 3k 3m 1204 6k此式可不求解的情況下,6 kmX3X43k2X3X423m2 122- )2 3k2所以k4kik3yX3yX42k m - 2kX3 X4m x3x42kX3X46 km2T 23m2 128k4k2k4-2m 4,一是一個(gè)與k無關(guān)

27、的值.833.已知?jiǎng)訄AE經(jīng)過點(diǎn)F 1,0 ,且和直線l :x 1相切.(I )求該動(dòng)圓圓心E的軌跡G的方程;(n)已知點(diǎn)A 3,01的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A ),且與曲線G交于B、C兩點(diǎn)，求n ABC面積的最大值.【答案】(I ) y24x； (n)32 39E的軌跡是以F 1,0為焦點(diǎn)，直線1為準(zhǔn)線的拋物線,故：曲線G的方程是4x .(n)設(shè)直線l的方程為x m淇中一3 mb0); 左焦點(diǎn)為 F1 ( - 1, 0),離心率 e=-.c=1 , a=l2,b2=a2- c2=12 日橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+1.b-(2)設(shè) A (x1, y1), B (X2, y2),

28、C (x3, y3), D (x4, y4)y=kas+ 叫證明：由 消去y得(1+2k2) x2+4km1x+2m12 2=0 x +2y2=2A=8(2k2-m12+l)0-4k叫X1 +X2=,X1X2=1+水|AB|二l -Jsk2-m, 2+1=2一同理|CD|=2. .： , 2匚l+2k2由 |AB|二|CD|得 2.二12謂二叫汩1十2小二21J2k 2-102。+1lf2k2 mi 布12,mi+m2=0四邊形ABCD是平行四邊形，設(shè)AB, CD問的距離d=; mi+m2=0, s=|AB| $2d/Q/2k2 - in 1 +1(1+2/)2k2_m 十叫之-d72近L+2k2%)叫1+2小所以當(dāng)2k2+1=2mi2時(shí)，四邊形ABCD的面積S的最大值為2/235.已知