藝術生高考數學專題講義：考點58數系的擴充與復數的引入

1、關注公眾號“品數學”，獲取更多數學資料包考點五十八數系的擴充與復數的引入知識梳理.復數的概念(1)虛數單位ii是虛數單位，滿足 /=-1; i和實數在一起進行四則運算，進行四則運算時原有的加法、 乘法運算律仍然成立.(2)復數的概念形如a+bi(a, bCR)的數叫復數，其中a, b分別是它的實部和虛部.若 b=0,則a+bi為 實數；若bwo,則a+bi為虛數；若a=0且bw。，則a + bi為純虛數.把復數表示為 a+ bi(a, bCR)的形式，叫做復數的代數形式.(3)復數相等a+bi = c+di? a= c且 b=d(a, b, c, dC R).(4)共軻復數實部相等，虛部互為相

2、反數的兩個復數互為共軻復數，即a+bi 與 c+ di 共軻？ a=c, b = d(a, b, c, dCR).(5)復數的模設復數z=a+ bi(a、bCR), z在復平面內應點為 Z,則向量OZ的長度叫做復數z的模(或 絕對值)，記作 |z閾 |a+ bi|,即 |z|= |a+ bi|= *Ja2+ b2.復平面從復數的定義可以知道，任何一個復數z= a+bi(a, bCR)都可以用一個有序實數對 (a, b)唯一確定，這樣我們可以用建立了直角坐標系內的點來表示復數.當用直角坐標平面內的點來表示復數時，我們稱這個直角坐標平面為復平面，x軸稱為實軸，y軸稱為虛軸.實軸上的點都表示實數，除

3、了原點，虛軸上的點都表示純虛數.在復平面內，表示兩個共軻復數的點關于實軸對稱.復數的幾何意義復數、點、向量之間有一一對應的關系，復數的模表示復數對應的點到原點的距離.1I-M(1)復數z= a+ bi一J復平面內的點 Z(a, b)(a, bCR).(2)復數z= a+bi-平面向量OZ.(3)復數z= a+bi的?；蚪^對值：|z|a2+b2.復數的運算(1)復數的加、減、乘、除運算法則設 z1 = a+ bi, z2 = c+di(a, b, c, dC R),則加法：Zi +Z2=(a+ bi) + (c+ di) = (a + c) +(b+d)i;減法:Zi z2 =(a + bi)

4、(c+ di) = (a c) +(bd)i;乘法：zi Z2=(a + bi) (c+di) = (ac- bd)+(ad+bc)i;除法:zia+bi(a+bi(cdiZ2c+ di(c+ di jc di jac+bd bc adc2Td2+2TdTi(c+di*0)-(2)復數加法的運算定律復數的加法滿足交換律、結合律，即對任何Zi、Z2、Z3CC,有Zi + z2= z2+ zi, (zi + z2) + Z3 = zi + (z2+ Z3).復數的運算常用結論21 + i 1 -(i肚=均；寸=i;存 (2)-b+ai = i(a+bi);i4n = i,嚴+=i, i4n+2=_

5、i, i4n+3=_ i? nCN*；(4)i4n + i4n+i+i4n+2+i4n+3= 0, n N*.設 3 = 2+ i ,則 1co|= i ； i + co+ 0)2= 0； CO = CO2.復數的幾點注意事項(i)兩個虛數不能比較大小.(2)利用復數相等a+ bi=c+ di列方程時，注意a, b, c, dCR的前提條件.(3)注意不能把實數集中的所有運算法則和運算性質照搬到復數集中來.例如，若zi, Z2C C,Z2+z2=0,就不能推出Zi=Z2 = 0； Z2/2 i.x2 i=0,(2)由純虛數的定義知：? x= i,選.k+i w0,變式訓練 (1)已知i為虛數單

6、位，aC R,若(a1)(a+1+i)是純虛數，則a的值為(2)設2=r+i,則憶=.1 + i答案(1)1 (2)孝2a2 1 = 0解析(1).(a1)(a+1 + i) = (a21)+(a1)i 是純虛數，,，a=1.a1 w0(2) 1. z=+i = 1T-i- +i = 1+1i,，憶尸()1+ i 22 2，| | 解題要點 1.處理有關復數的基本概念問題，關鍵是找準復數的實部和虛部，從定義出發(fā)，把復數問題轉化成實數問題來處理.復數問題的實數化是解決復數問題的最基本也是最重要 的方法，其依據是復數相等的充要條件和復數的模的運算及性質.2.解題時一定要先看復數是否為a+bi(a,

7、 bCR)的形式，以確定實部和虛部.題型二 復數的幾何意義例2 (2015安徽理)設i是虛數單位，則復數 旦在復平面內所對應的點位于第 象限.1 - i答案第二象限解析 =2i(1 + i)一=嗎-L 1 + i,由復數的幾何意義知一1 + i在復平面內的對應 1-i (1 i(1 + i)2點為(一1,1),該點位于第二象限.變式訓練設復數Z1, Z2在復平面內的對應點關于虛軸對稱，Z1=2+i,則Z1Z2=.答案 5解析Z1 = 2+i在復平面內的對應點的坐標為(2, 1),又4與Z2在復平面內的對應點關于虛軸對稱，則Z2的對應點的坐標為(一2, 1),即Z2=2+i,zz2=(2+i)(

8、 2+i)= i24=5.T解題要點1.復數z、復平面上的點 Z及向量OZ相互聯系，即z=a+bi(a, bCR)? Z(a, b) T? OZ.2.由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在 一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀.題型三復數的代數運算z例3(2015山東理)若復數 z滿足丁一=i,其中i為虛數單位，則z=1 - i答案 1 iz一解析= i, z =i(1 i)=i i2=1+i, z=1 i.1 i變式訓練 （2015安徽文）設i是虛數單位，則復數（1 i）（1 + 2i）等于.答案 3+i解析 （1 i）（1 +2i）

9、 = 1 + 2i-i-2i2=1+i+2= 3+i.解題要點復數的代數形式的運算主要有加法、減法、乘法、除法，.復數的乘法.復數的乘法類似于多項式的乘法運算，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可.復數的除法.除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軻復數，解題中要注意把i的哥寫成最簡形式.除法實際上是分母實數化的過程.當堂練習.1 + z（2015新課標I理）設復數 z滿足；一=i,則|z| =.1 z答案 11 + z 1 + i解析 由=i,得 1 + z= i -zi, z=i,，|z|=|i| = 1.1-z1+ i（2015廣東文）已知i是虛數單位，

10、則復數（1 + i）2等于.答案 2i解析 （1 + i）2= 1 + 2i + i2 = 1 + 2i 1 = 2i.（2015湖北文）i為虛數單位，i607等于.答案 i解析 方法一1607=14151+3=i3= i,其共軻復數為i.方法二戶 (2014 遼寧)設復數 z 滿足(z 2i)(2 -i) = 5,則 z= 答案 2+3i 答案 2z解析先根據z求出z及z,結合復數的運算法則求解.=二=匚一= 1= i,其共軻復數為i.I I I（2015廣東理）若復數 z= i（32i）（i是虛數單位），則z等于 答案 32-3i解析 因為 z=i(32i) =2+ 3i,所以 z =2-

11、3i.6. （2014湖北）i為虛數單位,答案 1解析jg-1.1 + i/ 2i解析利用方程思想求解復數并化簡.由 （z2i）（2 i）=5,得z=2i +2- i= 2i+ 5”) p-iP+i)= 2i+2+i=2+3i.（2014安徽理）設i是虛數單位， W表示復數z的共軻復數.若z=1+i,則z+ i =. z= 1 + i,zz = 1 i,二 iz.-z + i z =1-i + i(1 -i)=(1-i)(1 + i)=2.(2015江蘇)設復數z滿足z2=3+4i(i是虛數單位)，則z的模為.答案 ，5解析 - z2=3+4i, .|z|2=|3+ 4i|=5,即憶|=#.(2015重慶文)復數(1 + 2i)i的實部為.答案 2解析 (1 + 2i)i = i + 2i2=2+i,其實部為2.(2015天津理)i是虛數單位，若復數(12i)(a+i)是純虛數，則實數a的值為答案 2解析 (1 -2i)(a+ i)=a+2+ (1-2a)i,由已知，得 a+ 2=0,12aw0,，a=2.二、解答題計算:1-i 1+i1-V3i解析(1)二12 + j + i2 =(1 + i) C-i)(2) ,3+