第四章相似理論

1、 第 五 章工程研究方法了解相似理論的基本概念和基本方法，掌握相似準(zhǔn)數(shù)的導(dǎo)出方法學(xué)習(xí)物理模型研究方法11 基 本 概 念一、物理量及其量綱基本物理量量綱：用以確定某一系統(tǒng)的特點(diǎn)或本質(zhì)的物理變量?；玖烤V所表示的物理量就是該單位制中的基本物理量無(wú)量綱量：當(dāng)一物理量所有量綱指數(shù)都為零，它的量綱為1量綱與單位2量綱和諧性任何一個(gè)完整的物理方程，其量綱必定是和諧凡一個(gè)完整的物理方程，不因采用的單位制度的變化而發(fā)生變化，這類方程在數(shù)學(xué)中稱為齊次方程。凡量綱核心的方程，在數(shù)學(xué)上應(yīng)為齊次方程3二、單值條件一個(gè)現(xiàn)象區(qū)別于其他現(xiàn)象的個(gè)性標(biāo)志幾何條件：說(shuō)明參與過(guò)程的物體的形狀、大小等幾何特征物理?xiàng)l件：說(shuō)明參與過(guò)程

2、的物體的物理性質(zhì)時(shí)間條件：說(shuō)明在時(shí)間上預(yù)先已知的特點(diǎn)邊界條件：說(shuō)明邊界上過(guò)程進(jìn)行的特點(diǎn) 第一類邊界條件 第二類邊界條件 第三類邊界條件4 三、量綱獨(dú)立K個(gè)物理量，其中任一個(gè)物理量的量綱均不能由其它物理量的量綱組合來(lái)表示，則稱k個(gè)物理量的量綱彼此獨(dú)立公理：量綱不獨(dú)立的物理量可用量綱彼此獨(dú)立量的冪積形式表示5量綱獨(dú)立條件：對(duì)物理量a、b、c有：只有當(dāng)物理量a、b、c具有彼此獨(dú)立量綱 62 量綱分析原理基本原則 量綱和諧性原則 定理7一、 定 理描述某現(xiàn)象的n個(gè)物理量(a1、a2、a3an) 其中k個(gè)物理量的量綱彼此獨(dú)立， 且kn，則描述該現(xiàn)象： f(a1、a2、a3ak、ak+1、ak+2an)=

3、 0其余（n-k）個(gè)物理量 的量綱可用k個(gè)獨(dú)立 量綱的冪積形式表示：8則有：描述物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系式可寫(xiě)成：含有k個(gè)量綱的獨(dú)立量的n個(gè)物理量之間的函數(shù)關(guān)系式，可簡(jiǎn)化為（n-k）個(gè)無(wú)量綱乘積（）之間的關(guān)系式無(wú)量綱方程910無(wú)量綱乘積的完整集合由n個(gè)參數(shù)組成的函數(shù)式，如有k個(gè)基本量，則存在有（n-k）個(gè)無(wú)量綱乘積（）。這（n-k）個(gè)為該函數(shù)的無(wú)量綱的完整集合完整集合中無(wú)量綱乘積的數(shù)目：參量總數(shù)（n）基本量綱數(shù)（k）參量總數(shù)（n）-量綱矩陣的秩（r）11二、量綱分析的指數(shù)法1、柏金漢姆法（定理法） （E.Buckingham）列出影響現(xiàn)象的各個(gè)參量 f(x1、x2、x3xn)=0 確定k個(gè)彼此獨(dú)立物

4、理量為基本物理量 其它物理量用基本物理量的冪積形式表示 由定理可得到（n-k）個(gè)無(wú)量綱量 無(wú)量綱方程：f(1、2、3n-k)=0122、瑞利分析法依據(jù)：量綱和諧性原理將與現(xiàn)象有關(guān)的物理量的函數(shù)關(guān)系式寫(xiě)成冪積式：由量綱和諧性原則：用基本量綱表示各個(gè)物理量的量綱，并對(duì)基本量綱列出 其指數(shù)的代數(shù)方程當(dāng)nk，唯一解 nk，無(wú)唯一解13三、量綱分析的矩陣法寫(xiě)出量綱矩陣，求出矩陣的秩（r）無(wú)量綱乘積數(shù)= n r寫(xiě)出無(wú)量綱乘積的一般式根據(jù)量綱和諧性原理，由量綱矩陣寫(xiě)出線性齊次方程求解 方程封閉：直接求解 方程不封閉：以（n-3）個(gè)量為待定量 寫(xiě)出結(jié)果矩陣14水 流中物體的運(yùn)動(dòng)F= f（、g、w、L、）寫(xiě)出量

5、綱矩陣：矩陣的秩：r =3 無(wú)量綱乘積數(shù)目n-k=3設(shè)寫(xiě)出指數(shù)方程n3 ，15 3 相 似 理 論模型實(shí)驗(yàn)主要的理論基礎(chǔ)161636年，伽利略，“論二門(mén)新的科學(xué)”1686年，牛頓，“自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理”1848年，法國(guó)，J.Bertrand，相似第一定理1911年，俄國(guó)，相似第二定理， 1944年美國(guó)，柏金漢（E.Buckingham） ，證明了定理1931年，蘇聯(lián)，相似第三定理17一、基本概念1、物理量相似標(biāo)量場(chǎng)相似矢量場(chǎng)相似 相似倍數(shù)C18幾何相似時(shí)間相似運(yùn)動(dòng)相似動(dòng)力相似熱相似 192、現(xiàn)象相似描述現(xiàn)象各單值條件彼此相似的同類現(xiàn)象單值條件相似 幾何條件相似 物理?xiàng)l件相似 邊界條件相似 初始

6、條件相似203、相似準(zhǔn)數(shù)（相似準(zhǔn)則）（Criterion）按照一定物理規(guī)律組合而成具有一定的物理意義必須是無(wú)量綱的隨空間和位置的變化，在相似現(xiàn)象的對(duì)應(yīng)點(diǎn)上，相似準(zhǔn)數(shù)的數(shù)值不變。已定準(zhǔn)則和待定準(zhǔn)則（定性準(zhǔn)則和非定性準(zhǔn)則）21二、相 似 三 定 理相似第一定理（相似正定理） 凡相似現(xiàn)象，對(duì)應(yīng)部位上各同名相似準(zhǔn)則分別等值。 (規(guī)定了現(xiàn)象相似的必要條件)相似第三定理（相似逆定理） 凡同類現(xiàn)象，當(dāng)單值條件相似，對(duì)應(yīng)部位的同名已知準(zhǔn)則等值，則現(xiàn)象之間彼此相似 (表明了現(xiàn)象相似的充分條件)22相似第二定理 對(duì)于一個(gè)包含n個(gè)物理量的物理現(xiàn)象，若其中包含有k個(gè)基本物理量，則描述現(xiàn)象的函數(shù)式可用（n-k）個(gè)無(wú)量綱

7、數(shù)的函數(shù)式準(zhǔn)數(shù)方程來(lái)表示。 f（ 1 2 n-k ）=023三、相似準(zhǔn)數(shù)的導(dǎo)出量綱分析法 指數(shù)法 矩陣法 步步組合法方程分析法 相似轉(zhuǎn)換法 積分類比法 以方程的量綱和諧性原理為基礎(chǔ)物理法則法241、相似轉(zhuǎn)換法寫(xiě)出描述現(xiàn)象的物理方程及單值條件寫(xiě)出方程中各物理量相似倍數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行相似轉(zhuǎn)換各項(xiàng)相似倍數(shù)進(jìn)行組合，寫(xiě)出其相似指標(biāo)式以等式中其中一項(xiàng)除以其它各項(xiàng)整理，可得相應(yīng)的相似準(zhǔn)數(shù)252、積分類比法基本原理：置換法則二個(gè)體系：等比公式即有26步驟：寫(xiě)出描述現(xiàn)象的基本方程和單值條件用方程中任意一項(xiàng)除以其他各項(xiàng)各項(xiàng)中所有導(dǎo)數(shù)用積分類比項(xiàng)代替 同類項(xiàng)用其中一項(xiàng)表示 坐標(biāo)量用特征量表示整理27描述對(duì)流換熱的完

8、整微分方程組： 試用相似轉(zhuǎn)換法和積分類比法，推導(dǎo)出該方程組的準(zhǔn)數(shù)方程。28三、準(zhǔn)數(shù)與準(zhǔn)數(shù)方程1、相似準(zhǔn)數(shù)的轉(zhuǎn)換準(zhǔn)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算準(zhǔn)數(shù)間的冪積運(yùn)算準(zhǔn)數(shù)間的和、差運(yùn)算物理量用其差值代替292、準(zhǔn)數(shù)的物理意義 Re（ Rerynolds ）準(zhǔn)數(shù)慣性力與粘性力之比Fr（Froude）準(zhǔn)數(shù)：Fr=gL/ w2 重力與慣性力之比Gr（Grashot）準(zhǔn)數(shù)浮力與粘性力之比Ga（Galilei）準(zhǔn)數(shù)Eu （ Euler ）準(zhǔn)數(shù)：Eu=p/ w2 壓力（流動(dòng)阻力）與慣性力之比30Ho 諧時(shí)性準(zhǔn)數(shù)：H0=w/LFo（Fourier）準(zhǔn)數(shù)：溫度場(chǎng)、速度場(chǎng)隨時(shí)間的變化關(guān)系Pr（Prandtl）準(zhǔn)數(shù)：Pr=/a分子動(dòng)量擴(kuò)散率與熱擴(kuò)散率之比；速度場(chǎng)與溫度場(chǎng)的關(guān)系Pe（Peclet）準(zhǔn)數(shù)Nu（Nusselt）準(zhǔn)數(shù)邊界層內(nèi)溫度梯度與平均溫度梯度之比；對(duì)流換熱強(qiáng)度與邊界內(nèi)溫度分布的關(guān)系。313、準(zhǔn)數(shù)方程近似?；椒?，以對(duì)流換熱過(guò)程為例準(zhǔn)數(shù)方程的簡(jiǎn)化f（Eu、Re、Ho、Fr、Pe、Fo、Nu）=0 Nu =f（Eu、Re、Ho、Fr、Pe、Fo）流體運(yùn)動(dòng)方