水利工程測量6測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識（48頁內(nèi)容豐富）

1、水利工程測量第6章 測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識主講教師：高飛7/23/2022 1 合肥工業(yè)大學(xué)第6章 測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識 6.1 概述 6.2 測量誤差的種類 6.3 偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) 6.4 衡量觀測值精度的指標(biāo) 6.5 誤差傳播定律 6.6 同精度直接觀測平差 6.7 不同精度直接觀測平差 6.8 最小二乘法原理及其應(yīng)用 7/23/2022 2 合肥工業(yè)大學(xué) 測量與觀測值 觀測與觀測值的分類 觀測條件 等精度觀測和不等精度觀測 直接觀測和間接觀測 獨立觀測和非獨立觀測6.1 測量誤差概述7/23/2022 3 合肥工業(yè)大學(xué)6.1 測量誤差概述 測量誤差及其來源

2、測量誤差的來源（1）儀器誤差：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）人為誤差：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗等。（3）外界條件的影響：溫度變化、風(fēng)、大氣折光等 測量誤差的表現(xiàn)形式 測量誤差（真誤差=觀測值-真值）（觀測值與真值之差）（觀測值與觀測值之差）7/23/2022 4 合肥工業(yè)大學(xué)例： 誤差 處理方法 鋼尺尺長誤差ld 計算改正 鋼尺溫度誤差lt 計算改正 水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng) 操作時抵消(前后視等距) 經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C 操作時抵消(盤左盤右取平均) 2.系統(tǒng)誤差 誤差出現(xiàn)的大小、符號相同，或按 規(guī)律性變化，具有積累性。 系統(tǒng)誤差可以消除或減弱。 (計算改正、觀測方法、儀器檢校)測量誤差分

3、為：粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差6.2 測量誤差的種類1.粗差(錯誤)超限的誤差7/23/2022 5 合肥工業(yè)大學(xué)3.偶然誤差誤差出現(xiàn)的大小、符號各不相同， 表面看無規(guī)律性。 例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對中等誤差， 導(dǎo)致觀測值產(chǎn)生誤差 。 準(zhǔn)確度(測量成果與真值的差異） 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） 測量平差（求解最或是值并評定精度）4.幾個概念: 精（密）度（觀測值之間的離散程度）7/23/2022 6 合肥工業(yè)大學(xué)舉例: 在某測區(qū)，等精度觀測了358個三角形的內(nèi) 角之和，得到358個三角形閉合差i(偶然誤 差，也即真誤差) ，然后對三角形閉合差i 進行分析。 分析結(jié)果表明，當(dāng)

4、觀測次數(shù)很多時，偶然 誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計學(xué)上的規(guī)律性。而 且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。6.3 偶然誤差的特性7/23/2022 7 合肥工業(yè)大學(xué)7/23/2022 8 合肥工業(yè)大學(xué)用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計：頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近， 對稱于y軸。頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū) 間的頻率k/n，而所有條形的總面積等于1。各條形頂邊中點連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律 圖6-1 誤差統(tǒng)計直方圖7/23/2022 9 合肥工業(yè)大學(xué)從誤差統(tǒng)計表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤 差的四個特性：特性(1)、(2)、(3)決定了特性(4)，特

5、性(4)具有實用意義。 3.偶然誤差的特性(1)在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定 的限值(有界性)；(2)絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多(趨向性)；(3)絕對值相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的機會相等(對稱性)；(4)當(dāng)觀測次數(shù)無限增加時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零 (抵償性)：7/23/2022 10 合肥工業(yè)大學(xué)偶然誤差具有正態(tài)分布的特性當(dāng)觀測次數(shù)n無限增多(n)、誤差區(qū)間d無限縮小(d0)時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，這條曲線稱為“正態(tài)分布曲線”，又稱為“高斯誤差分布曲線”。所以偶然誤差具有正態(tài)分布的特性。圖6-1 誤差統(tǒng)計直方圖7/23/2022 11

6、合肥工業(yè)大學(xué)1.方差與標(biāo)準(zhǔn)差 由正態(tài)分布密度函數(shù)式中 、 為常數(shù)； =2.72828x=y正態(tài)分布曲線(a=0)令： ，上式為：6.4 衡量精度的指標(biāo)7/23/2022 12 合肥工業(yè)大學(xué)標(biāo)準(zhǔn)差 的數(shù)學(xué)意義 表示的離散程度x=y較小較大稱為標(biāo)準(zhǔn)差：上式中， 稱為方差：7/23/2022 13 合肥工業(yè)大學(xué)測量工作中，用中誤差作為衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)。中誤差:觀測次數(shù)無限多時，用標(biāo)準(zhǔn)差 表示偶然誤差的離散情形：上式中，偶然誤差為觀測值與真值X之差：觀測次數(shù)n有限時，用中誤差m表示偶然誤差的離散情形：i=i - X7/23/2022 14 合肥工業(yè)大學(xué)7/23/2022 15 合肥工業(yè)大學(xué) m1小

7、于m2,說明第一組觀測值的誤差分布比較集中， 其精度較高；相對地，第二組觀測值的誤差分布比 較離散，其精度較低： m1=2.7是第一組觀測值的中誤差； m2=3.6是第二組觀測值的中誤差。7/23/2022 16 合肥工業(yè)大學(xué)2.容許誤差(極限誤差) 根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內(nèi)的概率為：誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為： 將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率： P(| m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 測量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限

8、差：|容|=3|m| 或 |容|=2|m|7/23/2022 17 合肥工業(yè)大學(xué) 3.相對誤差(相對中誤差) 誤差絕對值與觀測量之比。 用于表示距離的精度。用分子為1的分數(shù)表示。分數(shù)值較小相對精度較高；分數(shù)值較大相對精度較低。 K2K1，所以距離S2精度較高。例2：用鋼尺丈量兩段距離分別得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.02m。計算S1、S2的相對誤差。 0.02 1 0.02 1 K1= = ； K2= = 100 5000 200 10000解：7/23/2022 18 合肥工業(yè)大學(xué)一.一般函數(shù)的中誤差令 的系數(shù)為 ， (c)式為：由于 和 是一個很小的量，可

9、代替上式中的 和 ： (c)代入(b)得對(a)全微分：(b)設(shè)有函數(shù)：為獨立觀測值設(shè) 有真誤差 ，函數(shù) 也產(chǎn)生真誤差(a)6.5 誤差傳播定律7/23/2022 19 合肥工業(yè)大學(xué)對Z觀測了k次，有k個式(d)對(d)式中的一個式子取平方：（i，j=1n且ij）(e)對K個(e)式取總和：(f)7/23/2022 20 合肥工業(yè)大學(xué)(f)(f)式兩邊除以K，得(g)式：(g)由偶然誤差的抵償性知：(g)式最后一項極小于前面各項，可忽略不計，則：前面各項即(h)7/23/2022 21 合肥工業(yè)大學(xué)(h)考慮 ，代入上式，得中誤差關(guān)系式：(6-10)上式為一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為誤差傳播定

10、律。7/23/2022 22 合肥工業(yè)大學(xué) 通過以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們可以總結(jié)出求觀測值函數(shù)中誤差的步驟： 1.列出函數(shù)式； 2.對函數(shù)式求全微分； 3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差公式。 7/23/2022 23 合肥工業(yè)大學(xué) 1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式 (x為觀測值，K為x的系數(shù)) 全微分 得中誤差式例：量得 地形圖上兩點間長度 =168.5mm0.2mm, 計算該兩點實地距離S及其中誤差ms解：列函數(shù)式 求全微分 中誤差式二 .幾種常用函數(shù)的中誤差 7/23/2022 24 合肥工業(yè)大學(xué)2.線性函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式 全微分 中誤差式例：設(shè)有某線性函數(shù) 其中 、 、 分別為

11、獨立觀測值，它們的中誤差分 別為 求Z的中誤差 。 解：對上式全微分：由中誤差式得：7/23/2022 25 合肥工業(yè)大學(xué) 函數(shù)式 全微分 中誤差式 3.算術(shù)平均值的中誤差式 由于等精度觀測時， ，代入上式： 得 由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了 倍。 對某觀測量進行多次觀測(多余觀測)取平均， 是提高觀測成果精度最有效的方法。7/23/2022 26 合肥工業(yè)大學(xué)4.和或差函數(shù)的中誤差 函數(shù)式： 全微分： 中誤差式：當(dāng)?shù)染扔^測時： 上式可寫成：例：測定A、B間的高差 ，共連續(xù)測了9站。設(shè)測量 每站高差的中誤差 ，求總高差 的中 誤差 。 解： 7/23/2022 27 合

12、肥工業(yè)大學(xué)觀測值函數(shù)中誤差公式匯總 觀測值函數(shù)中誤差公式匯總 函數(shù)式 函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù) 和差函數(shù) 線性函數(shù) 算術(shù)平均值 7/23/2022 28 合肥工業(yè)大學(xué)誤差傳播定律的應(yīng)用 用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形內(nèi)角時，每個內(nèi)角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差 m15 。例1：要求三角形最大閉合差m15，問用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形每個內(nèi)角時須用幾個測回？ =(1+2+3)-180解：由題意：2m= 15,則 m= 7.5每個角的測角中誤差：由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：7/23/2022 29 合肥工業(yè)大學(xué)誤差傳播定律的應(yīng)用例2：試用中誤差傳播定律

13、分析視距測量的精度。 解:(1)測量水平距離的精度 基本公式： 求全微分： 水平距離中誤差： 其中： 7/23/2022 30 合肥工業(yè)大學(xué)誤差傳播定律的應(yīng)用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。 解: (2)測量高差的精度 基本公式： 求全微分： 高差中誤差： 其中： 7/23/2022 31 合肥工業(yè)大學(xué)誤差傳播定律的應(yīng)用例3:(1)用鋼尺丈量某正方形一條邊長為 求該正方形的周長S和面積A的中誤差.解: (1)周長 , (2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為其中: 求該正方形的周長S和面積A的中誤差. 面積 , 周長的中誤差為 全微分:面積的中誤差為 全微分:7/23/2022 32

14、 合肥工業(yè)大學(xué)解:(1)周長和面積的中誤差分別為 例3:(2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為其中: 求該正方形的周長S和面積A的中誤差. (2)周長 ;周長的中誤差為 面積 得周長的中誤差為 全微分: 但由于7/23/2022 33 合肥工業(yè)大學(xué) 觀測值的算術(shù)平均值(最或是值) 用觀測值的改正數(shù)v計算觀測值的 中誤差 (即:白塞爾公式)6.6 同（等）精度直接觀測平差7/23/2022 34 合肥工業(yè)大學(xué) 一.觀測值的算術(shù)平均值(最或是值、最可靠值) 證明算術(shù)平均值為該量的最或是值： 設(shè)該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為 1= 1- X 2= 2- X n= n- X對某未知量進行了n 次

15、觀測，得n個觀測值1,2,n,則該量的算術(shù)平均值為：x= =1+2+nnn上式等號兩邊分別相加得和：L= 7/23/2022 35 合肥工業(yè)大學(xué)當(dāng)觀測無限多次時：得兩邊除以n：由當(dāng)觀測次數(shù)無限多時，觀測值的算術(shù)平均值就是該 量的真值；當(dāng)觀測次數(shù)有限時，觀測值的算術(shù)平均 值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值。L X7/23/2022 36 合肥工業(yè)大學(xué)觀測值改正數(shù)特點二.觀測值的改正數(shù)v ： 以算術(shù)平均值為最或是值，并據(jù)此計算各觀測值的改正數(shù) v ，符合vv=min 的“最小二乘原則”。Vi = L - i (i=1,2,n)特點1 改正數(shù)總和為零：對上式取和：以 代入：通常用于計算檢核L=

16、 nv=nL- nv =n -=0v =0特點2 vv符合“最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv dx(x-)=0nx-=0 x= n7/23/2022 37 合肥工業(yè)大學(xué)精度評定 比較前面的公式，可以證明，兩式根號內(nèi)的部分是相等的，即在 與 中：精度評定用觀測值的改正數(shù)v計算中誤差一.計算公式(即白塞爾公式)：7/23/2022 38 合肥工業(yè)大學(xué)證明如下：真誤差：改正數(shù)：證明兩式根號內(nèi)相等對上式取n項的平方和由上兩式得其中:7/23/2022 39 合肥工業(yè)大學(xué)證明兩式根號內(nèi)相等中誤差定義:白塞爾公式:7/23/2022 40 合肥工業(yè)大學(xué)解：該水平角真值未知

17、，可用算術(shù)平均值的改正數(shù)V計 算其中誤差：例：對某水平角等精度觀測了5次，觀測數(shù)據(jù)如下表， 求其算術(shù)平均值及觀測值的中誤差。算例1:次數(shù)觀測值VV V備注1764249-4162764240+5253764242+394764246-115764248-39平均764245 V =0VV=60 7642451.74 7/23/2022 41 合肥工業(yè)大學(xué)距離丈量精度計算例算例2：對某距離用精密量距方法丈量六次，求該距離的算術(shù) 平均值 ； 觀測值的中誤差 ； 算術(shù)平均值的中誤 差 ； 算術(shù)平均值的相對中誤差 ：凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分數(shù)表示。7/23/2022 42 合肥工業(yè)大學(xué)6.

18、7 不同精度直接觀測平差一、權(quán)的概念 權(quán)是權(quán)衡利弊、權(quán)衡輕重的意思。在測量工作中權(quán)是一個表示觀測結(jié)果可靠程度的相對性指標(biāo)。1 權(quán)的定義：設(shè)一組不同精度的觀測值為l i ,其中誤差為mi(I=1,2n)，選定任一大于零的常數(shù)，則定義權(quán)為： 稱Pi為觀測值l i 的權(quán)。7/23/2022 43 合肥工業(yè)大學(xué)1 權(quán)的定義：對于一組已知中誤差mi的觀測值而言，選定一個大于零的常數(shù)值，就有一組對應(yīng)的權(quán)；由此可得各觀測值權(quán)之間的比例關(guān)系：2 權(quán)的性質(zhì)（1）權(quán)表示觀測值的相對精度；（2）權(quán)與中誤差的平方成反比，權(quán)始終大于零，權(quán)大則精度高；（3）權(quán)的大小由選定的值確定，但測值權(quán)之間權(quán)的比例關(guān)系不變，同一問題僅能選定一個值。7/23/2022 44 合肥工業(yè)大學(xué)二、測量中常用的定權(quán)方法1 同精度觀測值的權(quán)對于一組同精度觀測值l i ，一次觀測的中誤差為m，由權(quán)的定義，選定= m2，則一次觀測值的權(quán)為：n次同精度觀測值的算術(shù)平均值的中誤差為：同精度觀測值算術(shù)平均值的權(quán)為：7/23/2022 45 合肥工業(yè)大學(xué)二、測量中常用的定權(quán)方法2 單位權(quán)與單位權(quán)中誤差對于一組不同精度的觀測值l i ，一次觀測的中誤差為mi ，設(shè)某次觀測的中誤差為m，其權(quán)為P0，