可轉(zhuǎn)債期權(quán)定價(jià)模型(二叉樹模型)

1、可轉(zhuǎn)債期權(quán)定價(jià)模型（二叉樹模型）業(yè)務(wù)說明1、可轉(zhuǎn)換公司債券定價(jià)的理論基礎(chǔ)可轉(zhuǎn)換公司債券可以近似的看作是普通債券與股票期權(quán)的組合體。首先，可轉(zhuǎn)換公司債券的持有者可以按照債券上約定的轉(zhuǎn)股價(jià)格，在轉(zhuǎn)股期間內(nèi)行使轉(zhuǎn)股權(quán)利，這實(shí)際相當(dāng)于以轉(zhuǎn)股價(jià)格為期權(quán)執(zhí)行價(jià)格的美式買權(quán)，一旦市場價(jià)格高于期權(quán)執(zhí)行價(jià)格，債券持有者就可以行使美式買權(quán)從而獲利。其次，由于發(fā)行人在可轉(zhuǎn)換公司債券的贖回條款中規(guī)定如果股票價(jià)格連續(xù)若干個(gè)交易日高于某一贖回啟動價(jià)格（該贖回啟動價(jià)要高于轉(zhuǎn)股價(jià)格），發(fā)行人有權(quán)按一定金額予以贖回。所以，贖回條款相當(dāng)于債券持有人在購買可轉(zhuǎn)換公司債券時(shí)就無條件出售給發(fā)行人的一張美式買權(quán)。當(dāng)然，發(fā)行人期權(quán)存在的前

2、提是債券持有人的期權(quán)還未執(zhí)行，如果債券持有人實(shí)施轉(zhuǎn)股，發(fā)行人的贖回權(quán)對該投資者也歸于無效。第三，還有可轉(zhuǎn)換債券中的回售條款規(guī)定，如果股票價(jià)格連續(xù)若干個(gè)交易日收盤價(jià)低于某一回售啟動價(jià)格（該回售啟動價(jià)要低于轉(zhuǎn)股價(jià)格），債券持有人有權(quán)按一定金額回售給發(fā)行人。所以，回售條款相當(dāng)于債券持有人同時(shí)擁有發(fā)行人出售的一張美式賣權(quán)。綜上所述，可轉(zhuǎn)換公司債券相當(dāng)于這樣一種投資組合：投資者持有一張與可轉(zhuǎn)債相同利率的普通債券，一張數(shù)量為轉(zhuǎn)換比例、期權(quán)行使價(jià)為初始轉(zhuǎn)股價(jià)格的美式買權(quán)，一張美式賣權(quán)，同時(shí)向發(fā)行人無條件出售了一張美式買權(quán)。所以，可轉(zhuǎn)換公司債券的價(jià)值可以用以下公式近似表示：可轉(zhuǎn)換公司債券價(jià)值Q純粹債券價(jià)值期權(quán)

3、價(jià)值2二叉樹法理論（）根據(jù)衍生證券定價(jià)的二叉樹法理論（），我們把衍生證券的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔A,假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間段內(nèi)股票價(jià)格從開始的運(yùn)動到兩個(gè)新值Su和Sd中的一個(gè)。一般情況下，因此到Su是價(jià)格“上升”運(yùn)動，到Sd是價(jià)格“下降”運(yùn)動。價(jià)格上升的概率假設(shè)是，下降的概率則為一。當(dāng)時(shí)間為時(shí)，股票價(jià)格為；時(shí)間為A時(shí)，股票價(jià)格有兩種可能：Su和Sd；時(shí)間為A時(shí)，股票價(jià)格有三種可能：Su2、Sud和Sd2，以此類推，圖給出了股票價(jià)格的完整樹圖。在A時(shí)刻，股票價(jià)格有種可能，它們是：圖1：股票價(jià)格變動二叉樹圖期權(quán)價(jià)格的計(jì)算是從樹圖的末端（時(shí)刻）向后倒推進(jìn)行的。時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值是已知的。例如一個(gè)買權(quán)的價(jià)

4、值為（一，），而一個(gè)賣權(quán)價(jià)值為（一，），其中是時(shí)刻的股票價(jià)格，是執(zhí)行價(jià)格。由于世界是風(fēng)險(xiǎn)中性的，A時(shí)刻每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值都可以由時(shí)刻期權(quán)價(jià)值的期望值用利率貼現(xiàn)求得。同樣，A時(shí)刻的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值可由A時(shí)刻的期望值利用利率貼現(xiàn)求得，以此辦法向后倒推通過所有的節(jié)點(diǎn)就可得到0時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值。如果期權(quán)是美式的，則檢查二叉樹的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，以確定提前執(zhí)行是否比將期權(quán)再持有A時(shí)間更有利。在這里我們假設(shè)世界是風(fēng)險(xiǎn)中性的并利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，可以求出以上各個(gè)參數(shù)的數(shù)值，其計(jì)算公式為：P壘,u1udduedeaer其中：為無風(fēng)險(xiǎn)利率;指可轉(zhuǎn)債對應(yīng)股票價(jià)格每年波動率；A期權(quán)有效期的時(shí)間間隔；指二叉樹圖中股票價(jià)格

5、向上運(yùn)動的幅度；指二叉樹圖中股票價(jià)格向下運(yùn)動的幅度；可以驗(yàn)證，在極限情況下，即A-時(shí)，這種股票價(jià)格運(yùn)動的二叉樹模型將符合幾何布朗運(yùn)動模型。因此，股票價(jià)格二叉樹模型就是股票價(jià)格連續(xù)時(shí)間模型的離散形式。計(jì)算示例（一）假設(shè)前提1、利率期限結(jié)構(gòu)是平坦的。2、現(xiàn)金紅利支付為零3、不考慮違約風(fēng)險(xiǎn)對可轉(zhuǎn)換公司債券收益的影響4、公司理性地執(zhí)行它的贖回期權(quán)（二）模型中各參數(shù)的確定i實(shí)際上，通常選擇為等于衍生證券到期日相同的零息票債券的收益率；因此，理論上說，中國財(cái)政部最近一期發(fā)行的三年期國債的收益率為最佳的選擇。最近所發(fā)憑證式3年期國債利率為，我們最終選擇作為無風(fēng)險(xiǎn)利率。2指可轉(zhuǎn)債對應(yīng)股票價(jià)格每年波動率，其計(jì)算

6、公式為：股價(jià)年波動率（）每交易日股價(jià)波動率xj每年的交易日數(shù)一般來說，數(shù)據(jù)越多，估計(jì)的精度越高。但是，太過長遠(yuǎn)的歷史數(shù)據(jù)對預(yù)測可能作用不大。實(shí)踐中通常使用最近天到天的每日股票收盤價(jià)格。（具體算法參見模型的需求文檔）。3、某公司發(fā)行期限為9個(gè)月的可轉(zhuǎn)換公司債券，債券面值為10，0債券可以在存續(xù)期內(nèi)的任何時(shí)刻轉(zhuǎn)換為2股公司股票，也可以在任何時(shí)刻以11元5的價(jià)格贖回?？赊D(zhuǎn)債發(fā)行時(shí)，公司股票價(jià)格為50元，股票波動率為30。市場無風(fēng)險(xiǎn)收益曲線為水平，年收益率為10。該公司債券的收益率曲線也為水平，收益率為。（）投資人美式買權(quán)價(jià)值的計(jì)算設(shè)定計(jì)算步長為1年，將下列數(shù)據(jù)30%,r2.%,T0.5yearS0.

7、5代入公式，可求得以下參數(shù)：ueBeo.3o.25I.1618d1/u0.8607aBerBBl.0060paBdB0.5467ud78.4210%58.09H10%116.1843.04I15%100.0031.88J15%100.00G156.84二叉樹上每個(gè)節(jié)點(diǎn)旁邊有三個(gè)數(shù)字，上面的數(shù)字代表股票價(jià)格，中間的數(shù)字代表從后面節(jié)點(diǎn)遞推得到的折現(xiàn)率，下面的數(shù)字代表可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)格。根據(jù)這些參數(shù)和當(dāng)前股票價(jià)格我們可以首先計(jì)算出圖中所示各個(gè)節(jié)點(diǎn)的股票價(jià)格。F面我們來計(jì)算各個(gè)節(jié)點(diǎn)上債券的價(jià)格。在二叉樹末端節(jié)點(diǎn)、上債券的價(jià)格分別記為Q&Qi、J則:QGQHQIQJmax78.42lfcl5684maxi

8、0Q2B58.09.11618max43.04.100max.Q231.88.100由于在節(jié)點(diǎn)之后，投資者肯定會將債券轉(zhuǎn)化為股票，因此點(diǎn)的折現(xiàn)率就是無風(fēng)險(xiǎn)收益率。為了求節(jié)點(diǎn)的債券價(jià)格，我們需要計(jì)算由節(jié)點(diǎn)、遞推得到的債券價(jià)格，并和節(jié)點(diǎn)的贖回價(jià)格、債券評價(jià)比較。我們將由節(jié)點(diǎn)、遞推得到的債券價(jià)格記為Qd1，則:Q546756.840.453316.18*.皿25134.98D1贖回價(jià)格記為Q，貝D2Q115D2債券平價(jià)記為QD3Q267.49134.98D3節(jié)點(diǎn)的債券價(jià)格記為Q，貝DQmaxmin(Q,Q),Qmaxmin(134.9&115),134.98134.98DD1D2D3由于遞推得到的債

9、券價(jià)格與平價(jià)(轉(zhuǎn)換價(jià)值)相等，因此是否將債券轉(zhuǎn)股對投資者無所謂。公司對是否贖回債券也無所謂。在節(jié)點(diǎn)，折現(xiàn)率為4X由節(jié)點(diǎn)、遞推得到節(jié)點(diǎn)的債券價(jià)格記為Q，貝E1Q546716.180.453300鼻2.27%).25105.56E1贖回價(jià)格記為Q，貝E2Q115E2債券平價(jià)記為Q，貝：E3Q250100E3節(jié)點(diǎn)的債券價(jià)格記為Q，貝EQmaxmin(Q,Q),Qmaxmin(105.56,115),100105.56EE1E2E3顯然，在這個(gè)價(jià)格水平，債券既不會轉(zhuǎn)股，也不會被贖回。在節(jié)點(diǎn)之后，由于投資者肯定持有債券到其后贖回，因此，點(diǎn)的折現(xiàn)率就是債券的收益率15。由節(jié)點(diǎn)、遞推得到節(jié)點(diǎn)債券的價(jià)格記為Q

10、，貝F1QlOOe0.15).2596.32F1贖回價(jià)格記為Q,貝：F2Q115F2債券平價(jià)記為Q，貝：F3QB2H37.04H74.08F3節(jié)點(diǎn)的債券價(jià)格記為Q，貝DQmaxmin(Q,Q),Qmaxmin(96.32,115),96.32H96.32FF1F2F3在節(jié)點(diǎn)，折現(xiàn)率應(yīng)當(dāng)是節(jié)點(diǎn)和折現(xiàn)率的加權(quán)平均值，即X75由節(jié)點(diǎn)、遞推得到債券的價(jià)格記為Q，貝B1Q(0.5467134.990.453305.56)e1.03%毗5118.34B1贖回價(jià)格記為Q，貝：B2Q115B2債券平價(jià)(轉(zhuǎn)換價(jià)格)記為Q258.09116.18B3節(jié)點(diǎn)的債券價(jià)格記為Q，貝I：BQmaxmin(Q,Q),Qmax

11、min(119.34,115),116.18116.18BB1B2B3顯然，在，節(jié)點(diǎn)公司將選擇贖回債券，從而強(qiáng)迫投資者立即轉(zhuǎn)股，得到實(shí)際價(jià)格為。.18在節(jié)點(diǎn)，折現(xiàn)率應(yīng)當(dāng)是節(jié)點(diǎn)和折現(xiàn)率的加權(quán)平均值，即X+53由節(jié)點(diǎn)、遞推得到債券的價(jià)格記為Q，貝C1Q(0.5467H105.560.453396.32)e3.51%H).2598C1債券平價(jià)(轉(zhuǎn)換價(jià)格)記為Q，貝C2Q115C2節(jié)點(diǎn)的債券價(jià)格記為Q，貝CQmaxmin(Q,Q),Qmaxmin(98,115),86.0698CC1C2C3顯然，在點(diǎn)債券既不會轉(zhuǎn)股，也不會被贖回。為了求節(jié)點(diǎn)的折現(xiàn)率，我們假設(shè)節(jié)點(diǎn)的折現(xiàn)率為(因?yàn)樵诠?jié)點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)股)。節(jié)點(diǎn)的折現(xiàn)率就是0.