高等動(dòng)力學(xué)課件：lecture2_Momentum_impulsive

1、 Lecture 2 沖擊與碰撞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理根據(jù)質(zhì)心的定義，并微分質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)好象是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于整個(gè)系的質(zhì)量，受到的力是所有外力的主向量。 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理在平均意義上考慮質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)，并大大簡化了對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的處理。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理外力系的主矢量定義質(zhì)心的速度質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：舉例m甲m乙r乙r甲rC飛石索的運(yùn)動(dòng)飛石索質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡總是一條拋物線。爆竹、煙花等雖然可以展現(xiàn)豐富多彩的景象，但其在平均意義上的軌跡方程是簡單的。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：舉例電機(jī)總質(zhì)量為M：轉(zhuǎn)動(dòng)部分（轉(zhuǎn)子）的質(zhì)量為m。轉(zhuǎn)子的質(zhì)心偏離中心軸O的偏心距為e。假定電機(jī)固定部分的質(zhì)心近似地在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上。電機(jī)的轉(zhuǎn)

2、速為勻速，且角速度為。電機(jī)放在水平地面上。分析電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)地面對(duì)電機(jī)提供的約束反力。exymgO(M-m)gPPxPy質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：舉例分析對(duì)象：電機(jī)中的固定部分+轉(zhuǎn)子質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心位置應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理分量形式物理或工程意義討論：當(dāng)e或較大時(shí)，Py可能出現(xiàn)負(fù)值，需要提供可承受拉力的部件。水平方向如果僅受靜摩擦的作用，要求的條件為有水平振動(dòng)的條件為兩體問題兩體問題：將各個(gè)星體之間的相互作用忽略，僅考慮太陽對(duì)星體的相互作用，這樣行星的運(yùn)動(dòng)可以看做一個(gè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相互作用的孤立系統(tǒng)。分析內(nèi)容：是否可以將太陽作為慣性參考系，建立其它行星的運(yùn)動(dòng)方程？（將兩體問題轉(zhuǎn)化為單體問題）應(yīng)用： 航天工程中的某些軌道動(dòng)力學(xué)

3、問題的分析，粒子的散射等Mm兩體的質(zhì)心C質(zhì)心平動(dòng)參考系rmrM兩體問題Mm兩體的質(zhì)心C質(zhì)心平動(dòng)參考系rmrM建立質(zhì)心平動(dòng)參考系。質(zhì)點(diǎn)m到質(zhì)心C的位置矢量為：其中：r為M到m之間的矢量。兩質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力為f. 定義：則即為當(dāng)以太陽作為不動(dòng)點(diǎn)參考系時(shí)，考慮地球在萬有引力作用下的折合質(zhì)量。由于地球的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于太陽的質(zhì)量，所以，可近似認(rèn)為=1質(zhì)心平動(dòng)參考系為慣性參考系，質(zhì)點(diǎn)m的動(dòng)力學(xué)方程為粒子的散射rcrv1設(shè)質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)以速度v1被一質(zhì)量為m2的靜止質(zhì)點(diǎn)散射。受與距離平方呈反比的排斥力的作用，在質(zhì)心坐標(biāo)系中觀測(cè)，粒子的散射角度為c求：實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系:靜止坐標(biāo)系，r粒子的散射建立質(zhì)心平動(dòng)參考

4、系。質(zhì)心的速度方向必定沿v1的方向。質(zhì)心平動(dòng)參考系m1m1m2m2V1V2V2V1c質(zhì)點(diǎn)1相對(duì)質(zhì)心平動(dòng)參考系的速度V1質(zhì)點(diǎn)2相對(duì)質(zhì)心平動(dòng)參考系下的速度V2在質(zhì)心參考坐標(biāo)系中，動(dòng)量守恒。故散射后質(zhì)點(diǎn)1和2的速度方向必定沿相反方向。粒子的散射在實(shí)驗(yàn)室參考系。質(zhì)點(diǎn)1散射前后的速度為v1， v1質(zhì)點(diǎn)2散射前后的速度0， v2m1m1m2m2v1實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系v2v1rVv1V1cr兩種坐標(biāo)系下的速度關(guān)系：寫成分量形式后，可得到粒子的散射實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系xm1rcm2Cr2r1ry根據(jù)質(zhì)心的定義，有如下關(guān)系對(duì)上式微分散射后，當(dāng)兩質(zhì)點(diǎn)遠(yuǎn)離到無引力場的作用時(shí)，因系統(tǒng)是保守的，這時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)速度的大小必定與其起始時(shí)

5、兩粒子的相對(duì)速度的大小相等。即：則機(jī)械能守恒條件導(dǎo)致的結(jié)果。由于質(zhì)心速度則散射過程，在機(jī)械能保持守恒的條件下，能夠使動(dòng)能轉(zhuǎn)移。Review for the last course質(zhì)點(diǎn)系： 質(zhì)點(diǎn)系：離散系統(tǒng)，連續(xù)系統(tǒng)。 關(guān)聯(lián)作用的不同，構(gòu)成了具有不同性態(tài)的基本模型（本構(gòu)方程）。 剛體是由質(zhì)點(diǎn)之間相對(duì)位置保持不變的無限多質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的一組特殊的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)。 質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的兩個(gè)性質(zhì)所有內(nèi)力的主向量為零所有內(nèi)力對(duì)某一共同點(diǎn)的主矩等于零質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理（在整體上把握系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的特征）微分形式積分形式質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 質(zhì)心的定義（加權(quán)平均意義上的處理）沖擊力沖擊力的概念：一個(gè)力對(duì)作用時(shí)間的平均大小比常規(guī)力大幾個(gè)數(shù)量級(jí)，

6、作用時(shí)間比常規(guī)力的作用時(shí)間小幾個(gè)數(shù)量級(jí)，而沖量具有常規(guī)量的數(shù)量級(jí)。數(shù)學(xué)表述的工具（廣義函數(shù)）函數(shù)（Dirac函數(shù)）廣義脈沖函數(shù)數(shù)學(xué)上的廣義系統(tǒng)：微分方程中包含函數(shù)的微分動(dòng)力系統(tǒng)。廣義函數(shù)的微分和積分運(yùn)算.設(shè)存在如下的一個(gè)分段連續(xù)函數(shù)廣義函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)F(x)分段微分xf(x)1/Heaviside函數(shù)Step fucntion同連續(xù)函數(shù)中極限的概念類似，令0。則分段函數(shù)F(x)將收斂到單位階躍函數(shù)I(x)脈沖函數(shù)（函數(shù)）： 函數(shù)f(x)將收斂到函數(shù)1(x)與(x)函數(shù)之間的關(guān)系11(x)xHeaviside函數(shù)：(x)x函數(shù):廣義函數(shù)利用基本函數(shù)1(x)及(x)，我們便可以對(duì)一類具有分段連

7、續(xù)的函數(shù)定義相關(guān)的微分和積分運(yùn)算。用廣義1(x)來表示函數(shù)yx-23yx2-23+(x+2)x2-3-(x-2)+函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)為：沖擊力的數(shù)學(xué)表示tF+面積I力F 在時(shí)間間隔內(nèi)的沖量：在趨于零時(shí)，沖擊力可以表示為：根據(jù)動(dòng)量定理的積分形式可以看出，動(dòng)量的變化量來源于沖量。即力和時(shí)間的共同作用，才是導(dǎo)致質(zhì)點(diǎn)系體的運(yùn)動(dòng)發(fā)生改變的重要因素。因此，在分析系統(tǒng)受沖擊力作用時(shí)，沖量的概念具有重要的意義。tF0沖擊問題分析問題：設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受到常規(guī)力F常和沖擊力F(t)=I(t-)的作用，試分析質(zhì)點(diǎn)受到?jīng)_擊作用前后的運(yùn)動(dòng)情況。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理則有積分可得沖擊力使質(zhì)點(diǎn)的速度發(fā)生改變沖擊過程引起的位移變化

8、是小量。常規(guī)力的作用可以忽略不計(jì)，沖擊過程將在速度水平上改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)效果。沖擊過程中對(duì)質(zhì)點(diǎn)位移的改變很小，可以忽略不計(jì)。以上這些基本的結(jié)論構(gòu)成了處理具有多尺度問題的數(shù)學(xué)描述手段。沖擊問題舉例 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由彈簧豎直懸掛著處于平衡狀態(tài)，彈簧常數(shù)為k。給質(zhì)點(diǎn)一個(gè)豎直向下的打擊，其沖量大小為I，求:質(zhì)點(diǎn)受打擊后的運(yùn)動(dòng)。 沖擊問題舉例受力分析沖擊力重力彈簧拉力動(dòng)力學(xué)微分方程對(duì)沖擊過程在時(shí)間間隔t=-0,+0積分沖擊后的運(yùn)動(dòng)微分方程坐標(biāo)原點(diǎn)的選?。浩胶馕恢梦⒎址匠痰慕鉃橘|(zhì)點(diǎn)的沖擊過程如同給彈簧質(zhì)量系統(tǒng)施加一個(gè)初始條件。舉例:內(nèi)沖擊光滑水平面上有兩個(gè)小球，質(zhì)量均為m。它們用一條不可伸長的繩子相連，繩長

9、l。開始時(shí)兩小球緊挨著，設(shè)小球1獲得一初速u并設(shè)當(dāng)繩子被拉直以后兩球的速度相等。分析兩個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)和繩的張力。舉例:內(nèi)沖擊假設(shè)：柔索的不可伸長約束和單邊受拉性質(zhì)。碰撞后兩球的速度相等。動(dòng)力學(xué)過程分析：具有分段和非連續(xù)特征。Phase 1: t =l/u; 質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)保持原有的運(yùn)動(dòng)形式不變。Phase 2: t= =l/u; 繩子張緊，設(shè)張緊過程具有微小的時(shí)間間隔-0, +0。沖擊后保證兩質(zhì)點(diǎn)之間滿足繩索約束。Phase 3: 沖擊后，兩球?qū)⒈３窒嗤乃俣冗\(yùn)動(dòng)（假設(shè)繩索的剛性約束一直保持，但繩中的拉力為零。）故根據(jù)動(dòng)量守恒有單個(gè)小球的沖量：T=mu(t-)/2內(nèi)力：舉例:內(nèi)沖擊沖擊過程中的能

10、量變化：沖擊前的動(dòng)能：沖擊后的動(dòng)能內(nèi)力對(duì)1球做的功內(nèi)力對(duì)2球做的功注意：內(nèi)力雖然不改變質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的動(dòng)量，但會(huì)做功。Comments:題目中給定的沖擊后兩球速度相等的條件是一個(gè)很強(qiáng)的假定。事實(shí)上，該問題同兩球的碰撞問題非常相似。舉例:質(zhì)點(diǎn)串的沖擊三個(gè)質(zhì)點(diǎn)A，B和C，質(zhì)量分別為m1，m2和m3，用拉直而不可伸長的繩子AB和BC相連，靜止地安放在光滑水平面上，角ABC為(-)， 是銳角。對(duì)質(zhì)點(diǎn)C施加一沖擊力，其沖量大小為I，方向沿BC。求：質(zhì)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的方向與AB的夾角 質(zhì)點(diǎn)A的速度 舉例:質(zhì)點(diǎn)串的沖擊ij沖擊過程分析：沖擊后A點(diǎn)的速度方向沿AB方向；沖擊后C點(diǎn)的速度方向沿BC方向兩個(gè)約束方程：沖擊結(jié)束

11、時(shí)，質(zhì)點(diǎn)A和質(zhì)點(diǎn)B之間沿繩長方向無相對(duì)速度：質(zhì)點(diǎn)B和質(zhì)點(diǎn)C之間沿繩長BC方向無相對(duì)速度。設(shè)打擊后A點(diǎn)的速度為u1,C點(diǎn)的速度為u3, B點(diǎn)的速度為(u2, v2)對(duì)質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)用動(dòng)量定理：根據(jù)以上四個(gè)方程Discussion:解題過程中給出的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充條件是過強(qiáng)的假設(shè)。碰撞碰撞過程的特征（Impact or Collision） 接觸點(diǎn)處存在強(qiáng)的相互作用；常規(guī)力可忽略不計(jì)構(gòu)型不變速度突變系統(tǒng)分析：碰撞過程中的沖擊力為內(nèi)力，因此動(dòng)量守恒。碰撞根據(jù)接觸面的相互作用，顯然需要在接觸點(diǎn)處沿法向和切向分別提供獨(dú)立的物理方程。切向方向：對(duì)干摩擦接觸，滿足庫倫摩擦定律法線方向：需根據(jù)材料的性質(zhì)提供相關(guān)的物性

12、方程。法向物性方程的討論（經(jīng)典碰撞動(dòng)力學(xué)理論）：考慮碰撞過程可能激發(fā)的能量耗散現(xiàn)象，歷史上通常采用恢復(fù)系數(shù)(coefficient of restitution)的概念進(jìn)行描述。牛頓恢復(fù)系數(shù)特點(diǎn)：利用碰撞前后相對(duì)速度的變化量來反映碰撞過程中的能量耗散現(xiàn)象。碰撞Poisson恢復(fù)系數(shù)：認(rèn)為碰撞過程可以分為兩個(gè)階段：壓縮階段和恢復(fù)階段。壓縮階段的法向沖量為I1，恢復(fù)階段的法向沖量為I2。特點(diǎn)：根據(jù)壓縮和恢復(fù)階段沖量大小的比值來反映碰撞過程中的能量耗散。能量恢復(fù)系數(shù)：仍將碰撞過程分為兩個(gè)階段，壓縮和恢復(fù)。設(shè)壓縮階段法向沖擊力所做的功（負(fù)功）為Wc,恢復(fù)階段法向沖擊力所作的功（正功）為WR。三種恢復(fù)系

13、數(shù)的等價(jià)性三種不同的恢復(fù)系數(shù)，在處理兩個(gè)光滑質(zhì)點(diǎn)碰撞過程中的統(tǒng)一性。壓縮階段與恢復(fù)階段轉(zhuǎn)化點(diǎn)的條件為：兩質(zhì)點(diǎn)在壓縮階段結(jié)束時(shí)的相對(duì)速度為零，即這一瞬時(shí)，兩質(zhì)點(diǎn)具有共同的速度V.根據(jù)動(dòng)量定理，壓縮階段的沖量方程可表示為恢復(fù)階段的沖量方程可表示為由以上公式，可得顯然有三種恢復(fù)系數(shù)的等價(jià)性根據(jù)動(dòng)量定理存在如下的動(dòng)力學(xué)方程根據(jù)沖量的定義，在時(shí)間間隔0, 內(nèi)的沖量為由于F總大于零，故p一定是單值函數(shù)。故上式可表示為如下的微分形式。因此，質(zhì)點(diǎn)1和 2的動(dòng)力學(xué)方程可表示為如下對(duì)新的微分變量dp的微分方程積分三種恢復(fù)系數(shù)的等價(jià)性壓縮階段結(jié)束時(shí)刻，內(nèi)部沖擊力所做的功設(shè)整個(gè)碰撞過程的總沖量為I，碰撞過程內(nèi)力所做的功恢復(fù)階段內(nèi)部法向沖擊力所做