對巧算鋼管根數的真正理解

1、明白了才算學會了探究“鋼管堆放與梯形面積公式”的原理無錫市港下實驗小學陳紅霞在五年級數學課本中，學習完梯形的面積后，教材在整理與復習的探索與 實踐中安排了這樣一題：“小明參觀鋼鐵廠時看到許多鋼管堆成如右圖的形狀。 最* :有彌有8尸 根，取下層有16根，有8層。冥鬻黝菩警可以用什么方法算出這堆鋼管一共有多 少根？它和梯形面積的計算方法有聯系嗎？”計算鋼管根數的本質是求一個等差數列的和，而不是計算這個鋼管堆的橫截 面面積。教學中，學生通過觀察直觀示意圖，當學生明確了這堆鋼管排列的規(guī)律 后，我讓學生嘗試用不同方法計算后，組織交流時，我發(fā)現，大部分學生只是把 每層的根數相加，即：9+10+11+12

2、+13+14+15+16=100（根）。在討論“它和梯形 面積的計算方法有聯系嗎”這個問題時，全班鴉雀無聲。學生冥思苦想，也得不 出答案。怎么回事呢？是啊，鋼管的根數怎么會和梯形的面積計算有聯系呢？小 孩子根本不可能把這兩個毫不相干的知識聯系起來的。我進一步讓學生借助想 象，幫助學生體會求和方法的思考過程與梯形面積計算公式的推導過程之間存在 的相似性。這時有幾個學生很快地就回答出計算方法：（9+16）82=100（根）。老師接著問：“你是怎么想的?”學生毫不猶豫地說：“因為鋼管堆成的橫截面近似梯形，所以可以直接用梯形的面 積公式計算。”（老師覺得這本來就是一道不太難解決的習題，尤其是有后面括號

3、里的提 示，學生是很容易想到的。有一位學生提出，反對意見：“老師，我不同意，用面積公式算出的是面積大小，怎么 會是鋼管的根數呢?這題得數雖然對了，但可能是巧合?！毕氲健案F舉法”，列舉了許多例子，都證明了這種方法是可以的；此時，老師感到同學 們再也沒有疑義了。指著圖二闡述道：“這堆鋼管堆成的橫截面近似三角形，如果用三角形的面積計算， 應該是6X6-2=18（根），但是，實際是21根。所以，我還是不同意用面積公式直接計 算鋼管的根數。”是啊，相差的3根鋼管哪兒去了?陳老師一下子興奮起來，為出現的奇怪現象而興奮， 也為有這樣追根究底的學生而興奮!同時，也漸漸感受到這一 “探索與實踐題”的教學 意義。

4、就“計算鋼管根數的方法和面積計算方法之間的聯系”這一問題，和學生們一起展開了 一場“追根究底問面積”的探索與實踐活動。通過師生的共同努力，終于柳暗花明。如果用求面積的方法算，就必須找到面積與鋼管數量（根數）的關系。什么是平面圖 形的面積?應該是含單位面積的多少。如果每根鋼管的橫截面面積為一個“單位面積” 那么，鋼管堆成的橫截面有多少個單位面積，鋼管就有多少根。這就是這兩種數量的相 等關系！我們可以用“化圓為方”的方法，將圖一轉化為圖三:每個正方形的面積=每個圓的面積=一個單位面積。我們用割補法將橫截面轉化力規(guī) 則的梯形，這個梯形的上底為2個單位長度，下底為6個單位長度，高為5個單位長度。 自然

5、，梯形的面積=（2 + 6）X5-2=20（單位面積），即這堆鋼管共有20根。而圖二用“化圓為方，的方法，它的橫截面就不是近似的三角形，而是近似的梯 形，如圖四。計算根數的方法不是三角形的6X6-2=18 （根），而是梯形的（1 + 6）X6：2=21 （根）。因此丟了的3根，不是不能用面積公式計算，而是用錯了公式。想法一：如果有兩堆這樣的鋼管，像兩個完全一樣的梯形把他們拼起來就成 了平行四邊形，請你想象一下合在一起后，每層有幾根？有幾層？總根數可以怎 樣簡便地計算出來？進而使學生領悟出可以用“（最上層根數+最下層根數）X層 數來計算。想法二：我想到了在多邊形面積計算這單元中，學生已經練習過很

6、多有方格 圖中的題，有根據方格圖中的圖形計算面積的，有根據方格圖中的圖形畫出和它 面積相等的圖形的，方格圖在學生的頭腦中已經很清晰了，于是我就這樣 告訴學生：我們可以把一根鋼管所占的位置看成是一個方格，現在在你的頭腦中 有一個怎樣的圖形了？學生一下子就得到了一個上底9個方格，下底16個方格， 高8個方格的梯形。鋼管的總根數就是方格的總個數，算方格的總個數就是算梯 形的面積，即（9+16）X82=100。此時，學生很自然地把這一方法與梯形面積公式的推導過程聯系起來，討論 教材中提出的問題也就水到渠成了。其算理如同梯形面積的推導過程。兩堆一樣的鋼管，一堆顛倒后拼在一起，這樣每排根數就一樣多，即上 排根數+下排根數。其余就不用再說了吧一堆疊放成梯形的木頭共有幾根？凋計算梯形面積公式算的。但是怎樣通過數學的方法來證明這個公式的正確性呢？即通