高等動(dòng)力學(xué)課件：lecture10_enegy

1、 Lecture 10能量原理例子6圓環(huán)質(zhì)量為M，放在光滑水平面上。有一質(zhì)量為m的小蟲在圓環(huán)上爬行。求證，小蟲在圓環(huán)上相對地爬行一周時(shí)，圓環(huán)的自身轉(zhuǎn)角度不超過180。設(shè)初始時(shí)系統(tǒng)靜止 例子6定義如下的變量： 小蟲在環(huán)上的相對轉(zhuǎn)角 圓環(huán)的自轉(zhuǎn)角 O系統(tǒng)的質(zhì)心 P小蟲的位置動(dòng)量守恒：質(zhì)心不動(dòng)關(guān)于質(zhì)心的動(dòng)量矩小蟲相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩圓環(huán)相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩運(yùn)動(dòng)學(xué)分析：小蟲的復(fù)合運(yùn)動(dòng)：牽連運(yùn)動(dòng)和相對運(yùn)動(dòng)例子6動(dòng)量矩守恒初始條件積分以上方程有當(dāng)=2時(shí)極限情況討論例題7放在光滑水平面上的半徑為R的半個(gè)均質(zhì)球殼，原先靠在光滑墻面上，底平面豎直，（由于重力作用而無初速地滑下。求證在脫離墻以后的運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)心的水平速

2、度 且底面與水平面的夾角不超過 例題7存在兩個(gè)約束的情況：球殼繞O做定軸轉(zhuǎn)動(dòng). 能量守恒（可根據(jù)初始條件列出方程）運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：質(zhì)心C的坐標(biāo)和速度 例題7根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有則墻面對半球殼的支持力為約束改變的條件：N0圓柱不脫離A點(diǎn) (接觸點(diǎn)A處的支持力大于零)例題8根據(jù)條件(1)根據(jù)條件（2）綜合條件（1）和（2）有故有例題9兩均質(zhì)桿和兩均質(zhì)圓柱滾子，由光滑鉸鏈組成一個(gè)系統(tǒng)，兩桿用彈簧拉住。設(shè)滾子滾動(dòng)時(shí)沒有滑動(dòng)，已知桿子質(zhì)量為m，長為l，鉸鏈至彈簧支點(diǎn)距離CD=CE=b，滾子半徑R，質(zhì)量為M，彈簧系數(shù)為k。系統(tǒng)在=30時(shí)剛好平衡。求系統(tǒng)在這平衡位置附近的微振動(dòng)頻率 例題9選取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)（曲線

3、坐標(biāo)系）總動(dòng)能為一根桿的動(dòng)能為：一滾子的動(dòng)能為：上式可寫為運(yùn)動(dòng)學(xué)分析：假設(shè)桿繞C點(diǎn)做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（忽略桿豎直運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能）例題9彈簧勢能 兩根桿的重力勢能 系統(tǒng)總勢能 求平衡位置例題9要使系統(tǒng)穩(wěn)定，V”(=30)0微小振動(dòng)的頻率為例題10半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)球靜止地放在質(zhì)量為M的均質(zhì)平板上，板與球之間的摩擦系數(shù)為，板平放在光滑水平桌面上。如果突然給平板一向右的水平u，求證：在時(shí)間 時(shí)球與板之間有滑動(dòng)；再求出球開始作純滾動(dòng)時(shí)球的速度和板的速度 例題10對平板應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理球與板之間有滑動(dòng)對球應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和質(zhì)心動(dòng)量矩定理，設(shè)球中心的速度為v0,角速度為， 且初始條件為v0(0)=0, (0)=

4、0（1）（2）（3）例題10平板與球之間的純滾動(dòng)的速度約束條件為（4）將（1），(2), (3), 代入（4）例題11質(zhì)量為m，半徑為r的均質(zhì)圓柱體A放在質(zhì)量為M，半徑為R的均質(zhì)圓柱體B上，而B又放在水平面上，所有接觸處的摩擦力足夠大，使得圓柱體只能滾動(dòng)，不能滑動(dòng)。兩圓柱體的軸都是水平的，且重心都在同一豎直平面內(nèi)，柱A從最高處自靜止開始滾下。分析此問題中所涉及的全部未知量，列出它們所滿足的方程，寫出在兩個(gè)柱體脫開以前柱A中心的軌跡方程。 例題11對圓柱B應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心動(dòng)量矩定理 假定如下參數(shù)：B的角速度 ：A的角速度 ：中心的連線與豎直線的夾角 N1,f1和N2，f2 ；正壓力與摩擦力

5、（1）（2）例題11對圓柱A應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和質(zhì)心動(dòng)量矩定理 兩個(gè)柱之間無相對滑動(dòng)的條件約束條件：B與地面接觸 純滾動(dòng)的條件（3）（4）（5）例題11中心A的軌跡方程與前面的兩個(gè)動(dòng)量矩方程聯(lián)立，消去f1和f2 ,并積分系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo) （6）（7）例題11將純滾動(dòng)的條件代入對上式積分有根據(jù)中心A的幾何方程，消去xB例題12彈簧片一端有一集中質(zhì)量M，另一端固定在水平地面上。設(shè)彈簧片本身的質(zhì)量為m（均勻分布），長度為l，剛度系數(shù)為k。考慮彈簧片的質(zhì)量，求系統(tǒng)的橫向微振動(dòng)頻率。 例題12假設(shè)：彈簧片振動(dòng)過程中的形狀為(拋物線形狀)：系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的勢能機(jī)械能守恒微振動(dòng)頻率 三體問題的首次積分 n個(gè)質(zhì)點(diǎn)

6、彼此在萬有引力作用下運(yùn)動(dòng)的問題成為n體問題。N體問題是天體力學(xué)中的一個(gè)基本問題，所謂三體問題主要是指如何尋求三體問題的首次積分問題質(zhì)點(diǎn)ij之間的萬有引力為：設(shè)無窮遠(yuǎn)處為零勢點(diǎn)，三質(zhì)點(diǎn)的勢能為三體問題共有十個(gè)首次積分動(dòng)量守恒的三個(gè)積分三體問題的首次積分質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的三個(gè)首次積分動(dòng)量矩守恒的三個(gè)首次積分能量首次積分最多存在10個(gè)積分常數(shù)，但三體問題為9個(gè)二階微分方程，需要18個(gè)積分常數(shù)。補(bǔ)充例題1已知：均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m，半徑為r，中心軸水平且過o點(diǎn)。均質(zhì)直桿質(zhì)量也為m，與水平地面夾角為，摩擦系數(shù)。初始時(shí)，O點(diǎn)速度為v0，圓盤只滾不滑。 求：O點(diǎn)的加速度；運(yùn)動(dòng)停止前圓盤所走過的水平距離。vcOvcf補(bǔ)充

7、例題1vcOvcf根據(jù)圓盤只滾不滑的條件有如下運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系（1）運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)O點(diǎn)任一時(shí)刻的速度為vc, 系統(tǒng)的動(dòng)能為（2）根據(jù)動(dòng)能變化定理，鉸鏈處為理想約束（3）由（2）和（3）可得補(bǔ)充例題1vcOvcf以直桿為對象，并對O點(diǎn)應(yīng)用非慣性參考系下的動(dòng)量矩定理由于直桿平動(dòng)，故補(bǔ)充例題1vcOvcf走過的路程s為摩擦力和法向支撐力的大小為法向支撐力補(bǔ)充例題2O一均質(zhì)桿的質(zhì)量為M， 長度為l,在水平位置無初速下落。在水平方向上與一質(zhì)量為m的物塊發(fā)生完全非彈性碰撞，使物塊沿粗糙水平面滑動(dòng)?；瑒?dòng)摩擦系數(shù)為。求物塊滑行的距離。補(bǔ)充例題2O均質(zhì)桿到達(dá)底面時(shí)的動(dòng)能，根據(jù)能量守恒這時(shí)，直桿的角速度為桿碰撞接觸點(diǎn)處

8、的速度為碰撞過程分析；碰撞前桿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：碰撞前物塊的速度為V=0補(bǔ)充例題2O對直桿分析，設(shè)直桿與木塊之間相互作用的沖量為I,對直桿的沖量矩動(dòng)力學(xué)方程為對物塊的動(dòng)量方程為碰撞定律將(2)和(3)代入(1)中物塊碰撞后的速度為（1）（2）（3）補(bǔ)充例題2O根據(jù)動(dòng)能積分定理補(bǔ)充例題3機(jī)構(gòu)如圖所示：曲柄OA長為a，質(zhì)量不計(jì)?；瑝KB（質(zhì)量不計(jì)）沿豎直導(dǎo)軌上下運(yùn)動(dòng)。桿AB的質(zhì)量為m。OB之間的距離為2a。AB桿長為squre5a。初始時(shí)，OA豎直，系統(tǒng)靜止。當(dāng)OA處于水平位置時(shí)，求OA桿的角速度和角加速度AB桿的角速度和角加速度AB桿的質(zhì)心速度和加速度AB桿兩端的約束力OABABij補(bǔ)充例題3OABAB

9、ij運(yùn)動(dòng)分析：當(dāng)OA桿處于水平位置時(shí)，桿AB為瞬時(shí)平動(dòng)。所有的關(guān)節(jié)約束為理想約束，故從初始位置到末時(shí)位置，機(jī)械能守恒。設(shè)OA水平時(shí)的瞬時(shí)角速度為0，AB桿的瞬時(shí)角速度為0，故有設(shè)OA的角加速度為0, AB的角加速度為。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系有所以補(bǔ)充例題3OABABij桿AB質(zhì)心C的加速度。由于OA的質(zhì)量不計(jì)，故為二力桿，OA對AB桿的約束力沿水平方向。滑塊B的質(zhì)量不計(jì)。以桿AB為分析對象。根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有桿AB質(zhì)心的加速度為補(bǔ)充例題3OABABij根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有質(zhì)心動(dòng)量矩定理補(bǔ)充例題4長為2a的均質(zhì)桿AB直立并靠在光滑墻上，由于受到小的擾動(dòng)，使桿在墻的豎直平面內(nèi)倒下。設(shè)地面光滑，求桿子倒地時(shí)質(zhì)心的速度A補(bǔ)充例題4設(shè)桿倒地過程中，角速度為，質(zhì)心速度為vc。所有的約束為理想約束，機(jī)械能守恒。AB當(dāng)桿AB與墻面和地面均接觸時(shí)，質(zhì)心C的速度和角速度存在如下的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系 則對上式微分，可得到角加速度補(bǔ)充例題4AB根據(jù)幾何關(guān)系利