數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤的分析

1、高中學(xué)生數(shù)學(xué)解題常見錯(cuò)誤的分析 甘肅省景泰京華中學(xué)教研室 李懷忠 730400 在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)看到學(xué)生在解題中犯一些“低級(jí)錯(cuò)誤”，明明是會(huì)做的題目卻偏偏做錯(cuò)了，老師要求學(xué)生改正，但錯(cuò)誤依舊重復(fù)昨天的故事，究其錯(cuò)誤的原因很多，與學(xué)生的認(rèn)知水平有關(guān)，與學(xué)生掌握知識(shí)的程度有關(guān)，與學(xué)生心理狀態(tài)有關(guān)。找出學(xué)生解題錯(cuò)誤的原因，對于提高課堂教學(xué)質(zhì)量與效率具有十分重要的意義。本文就學(xué)生在解題中的常見錯(cuò)誤作一歸納總結(jié)。一、知識(shí)結(jié)構(gòu)不完善 主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： （1）概念，性質(zhì)含糊不清。 學(xué)生在接受新概念的過程中，由于認(rèn)識(shí)的偏差，對新概念的條件和結(jié)論不能完整把握或?qū)Ω拍畹睦斫庵щx破碎，以致在解題過

2、程中對概念和性質(zhì)含糊不清。 例1：在等比數(shù)列an中，已知an=，求a2+a4+a2n+ 錯(cuò)解： 根據(jù)題意a1=，q=，則數(shù)列a2，a4，a6，a2n是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以a2+a4+a2n+=錯(cuò)因 對數(shù)列前n項(xiàng)和的概念與各項(xiàng)和的概念的混淆。正解 a2+a4+a2n+=（2）忽略公式和重要結(jié)論存在的條件 例2 設(shè)數(shù)列an，前n項(xiàng)的和Sn=3n+2n+5，求數(shù)列的通項(xiàng) 錯(cuò)解 由an=Sn-Sn-1=23n-1-2n-1即為所求，錯(cuò)因 上述錯(cuò)誤原因在于忽略公式“an=Sn-Sn-1”對n2成立。二、思維邏輯不合理從本質(zhì)上說，邏輯也屬于知識(shí)范疇，但有時(shí)導(dǎo)致錯(cuò)誤的盲點(diǎn)是在于邏輯，而不在于教學(xué)，

3、其有以下幾種表現(xiàn)：潛在假設(shè)，所謂潛在假設(shè)，就是還沒有經(jīng)過討論的，就總認(rèn)為正確的必然的那種想法“偷梁換柱”對參數(shù)分類不當(dāng)非等價(jià)變換“循環(huán)論證”因果關(guān)系不明例3、設(shè)橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率e=，已知點(diǎn)P（0，）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，求這個(gè)橢圓的方程錯(cuò)解；如圖1，認(rèn)為點(diǎn)P（0，）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是|PB|，可設(shè)橢圓方程為：（ab0），則由e= a2=b2+c2 b+= 解得a=2-3 b=-。錯(cuò)因 當(dāng)然也有學(xué)生認(rèn)為點(diǎn)P（0，）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是|PA|或|PC|。上述解法學(xué)生均在不適當(dāng)?shù)臐撛诩僭O(shè)基礎(chǔ)上，必然導(dǎo)致錯(cuò)誤。正解 設(shè)橢圓上點(diǎn)M（x0，y0）到點(diǎn)P

4、的距離最遠(yuǎn)，則M（x0，y0）滿足（ab0），由a=2b，則|PM|=(-by0b)化簡后得：|PM|= （-by0b），然后討論對稱軸y0=-在區(qū)間-b，b內(nèi)、外兩種情況得：當(dāng)y0=-時(shí)，|PM|max=，此時(shí)b=1，a=2。例4、已知函數(shù)f（x2-3）=lg，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性。錯(cuò)解 設(shè)t=x2-3，則x2=t+3，所以f（t）=lg，即f（x）=lg。又因?yàn)閒（-x）=lglg=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)。錯(cuò)因 轉(zhuǎn)換不等價(jià)，沒有考慮求出函數(shù)的定義域。正解 因?yàn)? ，所以x26，即t=x2-33。所以f（x）=lg（x3）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，是非奇非偶的函數(shù)。三、心理性錯(cuò)誤

5、數(shù)學(xué)習(xí)題的解答，除了依靠學(xué)生的知識(shí)技能之外，還和本身的心理能力和智力分不開，即使知識(shí)技能掌握的不錯(cuò)，也可能因?yàn)樾睦碚系K而產(chǎn)生錯(cuò)誤，甚至一籌莫展，一些同學(xué)對立體幾何就存在心理障礙。那么，高中階段的學(xué)生心理表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面；（1）能力的缺失，這里所說的心理能力包括識(shí)別能力，記憶能力，信息加工能力，想象能力，由于上述能力的不足，導(dǎo)致學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)不能準(zhǔn)確的確立問題的類型；不能對以前出現(xiàn)過的問題迅速的識(shí)別；同時(shí)，對于數(shù)據(jù)較多的習(xí)題，表現(xiàn)為顧此失彼。例5、已知集合A=y|y=1-x2，xR，B=y|y=2x2，xR，求AB。錯(cuò)解 根據(jù)題意由 y=1-x2 y=2x2 解得x=- x=y= y=

6、所以AB=（- ，），（，）錯(cuò)因 學(xué)生由于對問題識(shí)別能力的缺失，未弄清集合中元素的特征，本題中兩個(gè)集合的代表元素是y，是二次函數(shù)的值組成的集合，是求兩個(gè)函數(shù)的值域組成集合的交集。正解 =y|y=1-x2，x xR =y|y1，B=y|y=2x2，xR=y|y0所以AB=y|0y1。（2）惰性心理造成的錯(cuò)誤 數(shù)學(xué)概念拓展了，但學(xué)生的思維產(chǎn)生了惰性，停留在原有的認(rèn)知。如高中數(shù)學(xué)將數(shù)的概念拓展到復(fù)數(shù)后，學(xué)生的思維還停留在實(shí)數(shù)，以致于經(jīng)常有：z20，|z|2=z2；z12+z22=0z1=0且z2=0；|z1|=|z2|z1=z2；z1-z20z1z2；z13=z23z1=z2等等例6、已知|z|-z

7、=1-i，求z。 錯(cuò)解 由已知|z|-z=1-i，得：|z|=z+1-i，有|z|2=（z+1-i）2，則z2=z2+2（1-i）z+（1-i）2，得z= 錯(cuò)因 上述解法的錯(cuò)誤在于學(xué)生的思維還停留在實(shí)數(shù)，誤以為|z|2=z2，高中數(shù)學(xué)這種由惰性心理造成的錯(cuò)誤還有：無限運(yùn)算停留在有限運(yùn)算，=1，-=0等等；立體幾何思維停留在平面幾何思維，如在立體幾何中學(xué)生依然有ac且 bcab等等；解析幾何中極坐標(biāo)（0，1）理解為直角坐標(biāo)（0，1）等等。（3）局部成就心理造成錯(cuò)誤 觀察、分析能力較差的學(xué)生，在數(shù)學(xué)解題過程中易產(chǎn)生局部滿足感，見木不見林，經(jīng)常表現(xiàn)為忽視隱含條件而導(dǎo)致錯(cuò)誤。例7、在ABC中，已知cosA=，sinB=，求cosC的值。錯(cuò)解 由cosA=，sinB=，知