數(shù)學(xué)解題錯誤的分析

1、高中學(xué)生數(shù)學(xué)解題常見錯誤的分析 甘肅省景泰京華中學(xué)教研室 李懷忠 730400 在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常會看到學(xué)生在解題中犯一些“低級錯誤”，明明是會做的題目卻偏偏做錯了，老師要求學(xué)生改正，但錯誤依舊重復(fù)昨天的故事，究其錯誤的原因很多，與學(xué)生的認(rèn)知水平有關(guān)，與學(xué)生掌握知識的程度有關(guān)，與學(xué)生心理狀態(tài)有關(guān)。找出學(xué)生解題錯誤的原因，對于提高課堂教學(xué)質(zhì)量與效率具有十分重要的意義。本文就學(xué)生在解題中的常見錯誤作一歸納總結(jié)。一、知識結(jié)構(gòu)不完善 主要表現(xiàn)在以下幾個方面： （1）概念，性質(zhì)含糊不清。 學(xué)生在接受新概念的過程中，由于認(rèn)識的偏差，對新概念的條件和結(jié)論不能完整把握或?qū)Ω拍畹睦斫庵щx破碎，以致在解題過

2、程中對概念和性質(zhì)含糊不清。 例1：在等比數(shù)列an中，已知an=，求a2+a4+a2n+ 錯解： 根據(jù)題意a1=，q=，則數(shù)列a2，a4，a6，a2n是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以a2+a4+a2n+=錯因 對數(shù)列前n項和的概念與各項和的概念的混淆。正解 a2+a4+a2n+=（2）忽略公式和重要結(jié)論存在的條件 例2 設(shè)數(shù)列an，前n項的和Sn=3n+2n+5，求數(shù)列的通項 錯解 由an=Sn-Sn-1=23n-1-2n-1即為所求，錯因 上述錯誤原因在于忽略公式“an=Sn-Sn-1”對n2成立。二、思維邏輯不合理從本質(zhì)上說，邏輯也屬于知識范疇，但有時導(dǎo)致錯誤的盲點是在于邏輯，而不在于教學(xué)，

3、其有以下幾種表現(xiàn)：潛在假設(shè)，所謂潛在假設(shè)，就是還沒有經(jīng)過討論的，就總認(rèn)為正確的必然的那種想法“偷梁換柱”對參數(shù)分類不當(dāng)非等價變換“循環(huán)論證”因果關(guān)系不明例3、設(shè)橢圓的中心在坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率e=，已知點P（0，）到這個橢圓上的點的最遠(yuǎn)距離為，求這個橢圓的方程錯解；如圖1，認(rèn)為點P（0，）到這個橢圓上的點的最遠(yuǎn)距離是|PB|，可設(shè)橢圓方程為：（ab0），則由e= a2=b2+c2 b+= 解得a=2-3 b=-。錯因 當(dāng)然也有學(xué)生認(rèn)為點P（0，）到這個橢圓上的點的最遠(yuǎn)距離是|PA|或|PC|。上述解法學(xué)生均在不適當(dāng)?shù)臐撛诩僭O(shè)基礎(chǔ)上，必然導(dǎo)致錯誤。正解 設(shè)橢圓上點M（x0，y0）到點P

4、的距離最遠(yuǎn)，則M（x0，y0）滿足（ab0），由a=2b，則|PM|=(-by0b)化簡后得：|PM|= （-by0b），然后討論對稱軸y0=-在區(qū)間-b，b內(nèi)、外兩種情況得：當(dāng)y0=-時，|PM|max=，此時b=1，a=2。例4、已知函數(shù)f（x2-3）=lg，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性。錯解 設(shè)t=x2-3，則x2=t+3，所以f（t）=lg，即f（x）=lg。又因為f（-x）=lglg=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)。錯因 轉(zhuǎn)換不等價，沒有考慮求出函數(shù)的定義域。正解 因為0 ，所以x26，即t=x2-33。所以f（x）=lg（x3）的定義域不關(guān)于原點對稱，是非奇非偶的函數(shù)。三、心理性錯誤

5、數(shù)學(xué)習(xí)題的解答，除了依靠學(xué)生的知識技能之外，還和本身的心理能力和智力分不開，即使知識技能掌握的不錯，也可能因為心理障礙而產(chǎn)生錯誤，甚至一籌莫展，一些同學(xué)對立體幾何就存在心理障礙。那么，高中階段的學(xué)生心理表現(xiàn)在以下幾個方面；（1）能力的缺失，這里所說的心理能力包括識別能力，記憶能力，信息加工能力，想象能力，由于上述能力的不足，導(dǎo)致學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時不能準(zhǔn)確的確立問題的類型；不能對以前出現(xiàn)過的問題迅速的識別；同時，對于數(shù)據(jù)較多的習(xí)題，表現(xiàn)為顧此失彼。例5、已知集合A=y|y=1-x2，xR，B=y|y=2x2，xR，求AB。錯解 根據(jù)題意由 y=1-x2 y=2x2 解得x=- x=y= y=

6、所以AB=（- ，），（，）錯因 學(xué)生由于對問題識別能力的缺失，未弄清集合中元素的特征，本題中兩個集合的代表元素是y，是二次函數(shù)的值組成的集合，是求兩個函數(shù)的值域組成集合的交集。正解 =y|y=1-x2，x xR =y|y1，B=y|y=2x2，xR=y|y0所以AB=y|0y1。（2）惰性心理造成的錯誤 數(shù)學(xué)概念拓展了，但學(xué)生的思維產(chǎn)生了惰性，停留在原有的認(rèn)知。如高中數(shù)學(xué)將數(shù)的概念拓展到復(fù)數(shù)后，學(xué)生的思維還停留在實數(shù)，以致于經(jīng)常有：z20，|z|2=z2；z12+z22=0z1=0且z2=0；|z1|=|z2|z1=z2；z1-z20z1z2；z13=z23z1=z2等等例6、已知|z|-z

7、=1-i，求z。 錯解 由已知|z|-z=1-i，得：|z|=z+1-i，有|z|2=（z+1-i）2，則z2=z2+2（1-i）z+（1-i）2，得z= 錯因 上述解法的錯誤在于學(xué)生的思維還停留在實數(shù)，誤以為|z|2=z2，高中數(shù)學(xué)這種由惰性心理造成的錯誤還有：無限運算停留在有限運算，=1，-=0等等；立體幾何思維停留在平面幾何思維，如在立體幾何中學(xué)生依然有ac且 bcab等等；解析幾何中極坐標(biāo)（0，1）理解為直角坐標(biāo)（0，1）等等。（3）局部成就心理造成錯誤 觀察、分析能力較差的學(xué)生，在數(shù)學(xué)解題過程中易產(chǎn)生局部滿足感，見木不見林，經(jīng)常表現(xiàn)為忽視隱含條件而導(dǎo)致錯誤。例7、在ABC中，已知cosA=，sinB=，求cosC的值。錯解 由cosA=，sinB=，知