中考數(shù)學(xué)思維方法講義：第2講 證明--四邊形專題(含答案)(共14頁)

1、 本資料來自于資源最齊全的世紀(jì)教育網(wǎng)21世紀(jì)教育網(wǎng) - 中國最大型、最專業(yè)的中小學(xué)教育資源門戶網(wǎng)站。 HYPERLINK / 版權(quán)所有21世紀(jì)教育網(wǎng) 第2講 證明(zhngmng)（四邊形專題(zhunt)）【學(xué)習(xí)(xux)目標(biāo)】1、牢記四邊形的有關(guān)性質(zhì)及其判定；2、運用四邊形的性質(zhì)及判定進(jìn)行有關(guān)計算與證明；3、數(shù)學(xué)思想方法的合理運用?！究键c透視】1.平行四邊形的性質(zhì)及判定方法。 2.矩形的性質(zhì)及判定方法。3.菱形的性質(zhì)及判定方法。 4.正方形的性質(zhì)及判定方法。5.梯形的概念及判定方法。 6.梯形問題的轉(zhuǎn)化?！緮?shù)學(xué)思想方法】梯形的常見輔助線的添加方法：通過添加輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三

2、角形（作高、平移腰、延腰、平移對角線、等積變化） 一招制勝圖形分離法【精彩知識】題型一: 選擇題 【例1】如圖，菱形(ln xn)ABCD和菱形(ln xn)ECGF的邊長分別(fnbi)為2和3，A=120，則陰影部分的面積是（ ）21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有A B2 C3 D考點感悟：變式練習(xí)：1、如圖，菱形ABCD中，A HYPERLINK B=2，A=120，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為( )【來源：21世紀(jì)教育網(wǎng)】A1 B C 2 D1 2、如圖，梯形ABCD中，A HYPERLINK BCD，點E、F、G分別是BD、AC、DC的中點.已知兩底

3、差是6，兩腰和是12，則EFG的周長是（ ） A.8 B.9 C.10 D.12 3、在面積為1 HYPERLINK 5的平行四邊形ABCD中，過點A作AE垂直于直線BC于點E，作AF垂直于直線CD于點F，若AB5，BC6，則CECF的值為（ ）【來源：21cnj*y.co*m】A11 B11C11或11 D11或1題型二:填空題【例2】如圖，菱形ABCD HYPERLINK 中，AB=AC，點E、F分別為邊AB、BC上的點，且AE=BF，連接CE、AF交于點H，連接DH交AG于點O則下列結(jié)論ABFCAE，AHC=120，AH+CH=DH，AD 2=ODDH中，正確的結(jié)論是 【出處：21教育名

4、師】變式練習(xí)：1. 如圖，線段(xindun)AC= HYPERLINK n+1（其中(qzhng)n為正整數(shù)），點B在線段(xindun)AC上，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到AME當(dāng)AB=1時，AME的面積記為S1；當(dāng)AB=2時，AME的面積記為S2；當(dāng)AB=3時，AME的面積記為S3；當(dāng)AB=n時，AME的面積記為Sn當(dāng)n2時，SnSn1= 21教育名師原創(chuàng)作品2、如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，則EG2+FH2= 。21*cnjy*com 1題圖 2題圖 題型三:計算與證明 常規(guī)試題【

5、例3】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點，CEAB于E，設(shè)ABC=（6090）（1）當(dāng)=60時，求CE的長；（2）當(dāng)6090時，是否存在正整數(shù)k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由連接CF，當(dāng)CE2CF2取最大值時，求C點的位置考點感悟： 新型試題【例4】（1）如圖（1），正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，直接寫出HDGCEB的結(jié)果（不必寫計算過程）；（2）將圖（1）中的正方形AEGH繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖（2），求HDGCEB；（3）把圖（2）中的正方形都換成 HYPERLINK 矩形(jxng)，如圖（3），且已

6、知DAABHAAEm: n，此時(c sh)HDGCEB的值與（2）小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結(jié)果（不必寫計算(j sun)過程）考點感悟：【例5】如圖1，梯形ABCD中，ADBC，ABC2BCD2，點E在AD上，點F在DC上，且BEF=A.www-2-1-cnjy-com （1）BEF=_(用含的代數(shù)式表示)； （2）當(dāng)ABAD時，猜想線段ED、EF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想； （3）當(dāng)ABAD時，將“點E在AD上”改為“點E在AD的延長線上，且AEAB，ABmDE，ADnDE”，其他條件不變（如圖2），求的值（用含m、n的代數(shù)式表示）?？键c(ko din)感悟：【

7、例6】如圖， HYPERLINK 在矩形(jxng)OABC中，AO10，AB8，沿直線(zhxin)CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點B落在OA邊上的點E處，分別以O(shè)C、OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線yax2bxc經(jīng)過O，D，C三點2-1-c-n-j-y（1）求AD的長及拋物線的解析式；（2）一動點 HYPERLINK P從點E出發(fā)，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動，當(dāng)點P運動到點C時，兩點同時停止運動設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，以P，Q，C為頂點的三角形與ADE相似？（3）點N在拋物線對稱軸上

8、HYPERLINK ，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M與點N的坐標(biāo)（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由考點(ko din)感悟：【課后測試(csh)】1、如圖，四邊形ABCD中 HYPERLINK ，BAD=120，B=D=90，在BC、CD上分別(fnbi)找一點M、N，使AMN周長最小時，則AMN+ANM的度數(shù)為（ ）A. 130 B. 120 C. 110 D. 1002、如圖，在直角梯形A HYPERLINK BCD中，AD/BC，C90，AD5，BC9， 以A為中心將腰AB順時針旋轉(zhuǎn)90至AE，連接DE，

9、則ADE的面積等于（ ）21*cnjy*comA10 B11 C12 D133、如圖，已知正方形ABCD中，BE平分(pngfn)DBC且交CD邊于點E，將BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)(xunzhun)到DCF的位置(wi zhi)，并延長BE交DF于點G（1）求證：BDGDEG；（2）若EGBG=4，求BE的長4、如圖，梯形ABCD中，A HYPERLINK DBC，DCB45，CD 2，BDCD 過點C作CEAB于E，對角線BD于F點G為BC中點，連結(jié)EG、AF(1)求EG的長；(2)求證：CF AB AF5、如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 3 ，AC，BD相交于點O（1）求邊AB

10、的長；（2）如圖2，將一個足夠 HYPERLINK 大的直角三角板60角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)，連接EF與AC相交于點G判斷AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由；旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點E為邊BC的四等分點時（BECE），求CG的長部分(b fen)答案與提示：【例1】如圖，設(shè)BF、CE相交(xingjio)于點M，菱形(ln xn)ABCD和菱形ECGF的邊長分別為2和3，BCMBGF，即。解得CM=1.2。DM=21.2=0.8。A=120，ABC=180120=60。菱形ABCD邊CD上的高為2sin60=2，菱形

11、ECGF邊CE上的高為3sin60=3。陰影部分面積=SBDM+SDFM=0.8+0.8。故選A。【例3】解：（1）=60，BC=10，sin=，即sin60=，解得CE=。（2）存在k=3，使得EFD=kAEF。理由如下：連接CF并延長交BA的延長線于點G，F(xiàn)為AD的中點(zhn din)，AF=FD。在平行四邊形ABCD中，ABCD，G=DCF。在AFG和CFD中，G=DCF， G=DCF，AF=FD，AFGCFD（AAS）。CF=GF，AG=CD。CEAB，EF=GF。AEF=G。AB=5，BC=10，點F是AD的中點(zhn din)，AG=5，AF=AD=BC=5。AG=AF。AFG

12、=G。在AFG中，EFC=AEF+G=2AEF，又CFD=AFG，CFD=AEF。EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF，因此，存在(cnzi)正整數(shù)k=3，使得EFD=3AEF。設(shè)BE=x，AG=CD=AB=5，EG=AE+AG=5x+5=10 x，在RtBCE中，CE2=BC2BE2=100 x2。在RtCEG中，CG2=EG2+CE2=（10 x）2+100 x2=20020 x。CF=GF（中已證），CF2=（CG）2=CG2=（20020 x）=505x。CE2CF2=100 x250+5x=x2+5x+50=（x）2+50+。當(dāng)x=，即點E是AB的中點時，CE2CF2取

13、最大值?！纠?】解：（1）HD:GC:EB: :1。（2）連接AG、AC，ADC和AHG都是等腰直角三角形，AD:ACAH:AG:，DAC=HAG=45。DAH=CAG。DAHCAG。HD:GCAD:AC:。DAB=HAE=90，DAH=BAE。又ADAB，AHAE，DAHBAE（SAS）。HD=EB。HD:GC:EB:1。（3）有變化，HD:GC:EB?！究键c(ko din)】正方形的性質(zhì)(xngzh)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。21cnjycom【分析(fnx)】（1）連接AG，正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，G

14、AE=CAB=45，AE=AH，AB=AD。A，G，C共線，ABAE=ADAH，HD=BE。 GC=ACAG=ABAE= （ABAE）= BE。HD：GC：EB=1：1。（2）連接AG、AC，由 HYPERLINK ADC和AHG都是等腰直角三角形，易證得DAHCAG與DAHBAE，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與正方形的性質(zhì)，即可求得HD：GC：EB的值。21cnjy（3）連接AG、AC，矩形AEGH的頂點E、H在矩形ABCD的邊上，DA：AB=HA：AE=m：n，ADC=AHG=90，ADCAHG。AD：AC=AH：AG=，DAC=HAG。DAH=CAG。DAHCAG。HD：GC=AD：AC

15、=。DAB=HAE=90，DAH=BAE。DA：AB=HA：AE=m：n，ADHABE。DH：BE=AD：AB=m：n。HD：GC：EB=?！纠?】解：（1）1802。（2）EB=EF。證明如下：連接BD交EF于點O，連接BF。ADBC，A=180-ABC=1802，ADC=180C=180-。AB=AD，ADB=（180A）=。BDC=ADCADB=1802。由（1）得：BEF=1802=BDC。又EOB=DOF，EOBDOF。，即。EOD=BOF，EODBOF。EFB=EDO=。EBF=180BEFEFB=EFB。EB=EF。（3） 延長(ynchng)AB至G，使AG=AE，連接BE，G

16、E，則G=AEG=。ADBC，EDF=C=，GBC=A，DEB=EBC。EDF=G。BEF=A，BEF=GBC。GBC+EBC=DEB+BEF，即EBG=FED。DEFGBE。AB=mDE，AD=nDE，AG=AE=（n+1）DE。BG=AGAB=（n+1）DEmDE=（n+1m）DE。【考點(ko din)】梯形的性質(zhì)(xngzh)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)?！痉治觥浚?）由梯 HYPERLINK 形ABCD中，ADBC，ABC=2BCD=2，根據(jù)平行線的性質(zhì)，易求得A的度數(shù)，又由BEF=A，即可求得BEF的度數(shù)：21世紀(jì)*教育網(wǎng)梯形ABCD中，ADBC，A+A

17、BC=180。A=180ABC=1802。又BEF=A，BEF=A=1802。（2）連接BD交EF于點O，連接BF，由AB=AD，易證得EOBDOF，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得 ，從而可證得EODBOF，又由相似三角形的對應(yīng)角相等，易得EBF=EFB=，即可得EB=EF?！景鏅?quán)所有：21教育】（3）延長(ynchng)AB至G，使AG=AE，連接BE，GE，易證得DEFGBE，然后由相似三角形的對應(yīng)(duyng)邊成比例，即可求得 的值。解析(ji x)：延長DF,BA交于G，可證CEMCFM, CDFBGF,通過線段的簡單運算，即可求得?！纠?】【解析】（1）根據(jù) HYPERLINK

18、 折疊前后的相等線段，先在RtOEC中求出OE長，再在RtADE中運用勾股定理構(gòu)建方程求AD然后將O，D，C三點的坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx+c求出a，b，c即可（2）分別用含的代數(shù)式表示CQ和CP的長，再利用相似三角形產(chǎn)生的相似比構(gòu)建含t的方程，解之即得（3）從兩定點C，E形成的邊CE為平行四邊形的邊和對角線兩個角度分析求解【答案】解：（1）四邊形ABCO為矩形，OABAOCB90，ABCO8，AOBC10由題意得，BDCEDCBDEC90，ECBC10，EDBD由勾股定理易得EO6AE1064設(shè)ADx，則BDDE8x，由勾股定理，得x242(8x)2解之得，x3，AD3拋物線yax2b

19、xc過點O（0，0），c0拋物線yax2bxc過點D(3，10)，C(8，0)，解之得拋物線的解析式為：yx2x（2）DEAOEC90，OCEOEC90，DEAOCE由（1）可得AD3，AE4，DE5而CQt，EP2t，PC102t當(dāng)PQCDAE90時，ADEQPC，即，解得t當(dāng)QPCDAE90時，ADEPQC，即，解得t當(dāng)t或時，以P，Q，C為頂點(dngdin)的三角形與ADE相似(xin s)（3）存在(cnzi)M1（4，32），N1（4，38）M2（12，32），N2（4，26）M3（4，），N3（4，）5、解：（1）四邊形ABCD是菱形，AOB為直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD= 3。在RtAOB中，由勾股定理得：AB=。（2）AEF是等邊三角形。理由如下：由（1）知，菱形邊長為2，AC=2，ABC與ACD均為等邊三角形。BAC=BAE+CAE=60。又EAF=CAF+CAE