受到攝動的圓軌道課件

1、受到攝動的圓軌道引言 ：在涉及有心力運動的問題 時，往往伴隨著復(fù)雜煩瑣的計算，在我們允許的范圍內(nèi)，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕拼鷵Q，常?？梢允箯?fù)雜的問題簡單化。近似計算是物理學(xué)習(xí)的一項重要能力。物理學(xué)是一門相對真理的科學(xué)，對許多問題的研究和解決，都只是達(dá)到一定精度內(nèi)的近似，并且對于同一問題，在不同的要求，不同的層次，往往采用不同精度的近似模型。雖然物理學(xué)只是在逼近真理，但這種“相對真理”以及“近似”，“逼近”的思想?yún)s有巨大的意義，直接指導(dǎo)人類的實踐活動。下面就以“受到攝動的圓軌道”為例闡述“近似”的思想。問題：一質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星，在半徑r0為的圓軌道上環(huán)繞地球飛行。其中一個發(fā)動機(jī)朝著地球中心作短時間的點火

2、，以改變衛(wèi)星的能量而不改變其角動量。試求衛(wèi)星的 新軌道。通過能量曲線（圖1）我們可以找到初始能量和最終能量Ef。值得注意的是：（1）由于沿徑向點燃發(fā)動機(jī)是角動量L不變，故不致引起有效勢的變化。能量有效勢曲線EfEir0r圖 1（2）地球的質(zhì)量M遠(yuǎn)大于m，約合質(zhì)量差不多就是m，所以地球?qū)嶋H上是固定不動的（近似的思想，有足夠的高的精度）。因為Ef比Ei大得不多，由能量曲線可知：r和r0決不會相差很大，于是我們不精確地求解衛(wèi)星的運動問題，而是把r0附近的U近似地用拋物狀勢來代替（本題中最重要的近似代替，是本題近似計算的核心）。通過對于一質(zhì)點圍繞平衡點作微小振動的分析可知，把由此所引起的衛(wèi)星的徑向運動

3、看成是在附近作簡諧運動，可以達(dá)到很好的精度（近似計算精度要求的理論依據(jù)）。 用C=GmM，有效勢為 的最小值在處，因為在那一點上斜率為零，所以有即由此得出衛(wèi)星的徑向運動，看成是在附近的簡諧運動，則系統(tǒng)的振動概率（我們用 表示它）為此處由計算得出因此，徑向位置由下式給出為了滿足初始條件r(0)=r0 ，我們刪除了 項。注意：雖然我們能夠根據(jù) Ef 來計算A ，但在這里，Ef 幾乎等于Ei ，Ar0 ，我們不去作麻煩的代數(shù)計算。為了求出新軌道，必須消去 ，并把 表示為 的函數(shù)，對于圓軌道或者注意：即使發(fā)動機(jī)在點火以后，半徑做微小的振動，但對于我們的目的來說，（5）式還是足夠準(zhǔn)確的。時間 t只在（4

4、）式中對于 的一個微小改正項中出現(xiàn)，故我們忽略掉數(shù)量級為 以及更高階的那些項（又一次近似）。從（1）式和（5）式可以看出，衛(wèi)星繞地球的轉(zhuǎn)動頻率為及我們可以發(fā)現(xiàn)：衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動頻率和徑向振動頻率相等。 向把（7）式代入（4）式中，可得 新軌道在圖2中用實線表示，看起來很接近圓，但它不再以地球為其中心。Arr0我們可以證明： E=Ef 的準(zhǔn)確軌道為一橢圓其方程為其中若 A/r01，則準(zhǔn)確到A的一階項為止，（8）式是橢圓方程。 小結(jié)：在解決本問題時，多處才用了近似計算：近似認(rèn)為約合質(zhì)量等于m用拋物狀勢來代替有效勢曲線的一段，從而用在r0 附近的簡諧運動來代替衛(wèi)星的徑向運動，使問題大大簡化（解本題的關(guān)鍵）。（5）式中 近似認(rèn)為徑向的微小振動對它不產(chǎn)生