大數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(R語(yǔ)言描述)課件

1、緒論2022/7/241數(shù)學(xué)與 R語(yǔ)言目錄大數(shù)據(jù)與數(shù)學(xué)2小結(jié)3舍恩伯格在大數(shù)據(jù)時(shí)代一書(shū)中提到了大數(shù)據(jù)應(yīng)該具備三種特征。不是隨機(jī)樣本，而是全體數(shù)據(jù)不是精確性，而是混雜性不是因果關(guān)系，而是相關(guān)關(guān)系大數(shù)據(jù)的定義現(xiàn)階段大數(shù)據(jù)領(lǐng)域比較通用的大數(shù)據(jù)定義是基于右圖所示的5V，其中每個(gè)V的具體定義如下。Volume：采集，存儲(chǔ)和計(jì)算的數(shù)據(jù)量都非常大Velocity：數(shù)據(jù)增長(zhǎng)速度快，處理速度也快，時(shí)效性要求高Variety：種類(lèi)和來(lái)源多樣化Value：數(shù)據(jù)價(jià)值密度相對(duì)較低Veracity：數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和可信賴(lài)度，即數(shù)據(jù)的質(zhì)量大數(shù)據(jù)的定義信息化時(shí)代，大數(shù)據(jù)在各行業(yè)各領(lǐng)域中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。人們使用大數(shù)據(jù)技術(shù)

2、從海量數(shù)據(jù)中挖掘信息，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探索潛在價(jià)值。在大數(shù)據(jù)的研究和應(yīng)用中，數(shù)學(xué)是其堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。在數(shù)據(jù)預(yù)處理、分析與建模、模型評(píng)價(jià)與優(yōu)化等過(guò)程中，數(shù)學(xué)方法扮演著至關(guān)重要的角色。數(shù)學(xué)在大數(shù)據(jù)領(lǐng)域的作用由于微積分是研究變化規(guī)律的方法，因此只要與變化、運(yùn)動(dòng)有關(guān)的研究都要或多或少與微積分發(fā)生聯(lián)系，都需要運(yùn)用微積分的基本思想和方法，可以說(shuō)微積分的創(chuàng)立極大地推動(dòng)了生活的進(jìn)步。微積分是整個(gè)近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，有了微積分，才有了真正意義上的近代數(shù)學(xué)。統(tǒng)計(jì)學(xué)中的概率論部分就是建立在微積分的基礎(chǔ)之上的。微積分的基礎(chǔ)極限論，在概率論中運(yùn)用廣泛，如分布函數(shù)的性質(zhì)、大數(shù)定律、中心極限定理等。隨機(jī)變量的數(shù)字特征、概率密度與分布

3、函數(shù)的關(guān)系、連續(xù)型隨機(jī)變量的計(jì)算等，是微積分現(xiàn)有成果的直接應(yīng)用。數(shù)學(xué)在大數(shù)據(jù)領(lǐng)域的作用1. 微積分統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門(mén)基于數(shù)據(jù)的科學(xué)，是一種研究數(shù)據(jù)搜集、整理、分析與應(yīng)用的方式和方法。統(tǒng)計(jì)工作本身就是數(shù)據(jù)的搜集、整理、分析、解釋這樣一個(gè)系統(tǒng)的過(guò)程。數(shù)據(jù)需要通過(guò)統(tǒng)計(jì)的方法和原理來(lái)整理和分析，這樣的數(shù)據(jù)在精確度和適用度方面才會(huì)有較高的提升，才會(huì)實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的真正價(jià)值。大數(shù)據(jù)的分析與挖掘等工作，從數(shù)據(jù)預(yù)處理開(kāi)始，至建模得出結(jié)論，無(wú)不存在著統(tǒng)計(jì)學(xué)的身影。數(shù)學(xué)在大數(shù)據(jù)領(lǐng)域的作用2. 統(tǒng)計(jì)學(xué)線性代數(shù)領(lǐng)域的矩陣、秩、向量、正交矩陣、向量空間、特征值與特征向量等概念在大數(shù)據(jù)分析、建模中發(fā)揮著巨大的作用。在大數(shù)據(jù)中，許多應(yīng)

4、用場(chǎng)景的分析對(duì)象都可以抽象表示為矩陣，大量Web頁(yè)面及其關(guān)系、微博用戶及其關(guān)系、文本數(shù)據(jù)中文本與詞匯的關(guān)系等都可以用矩陣表示。以矩陣為基礎(chǔ)的各種運(yùn)算，如矩陣分解是分析對(duì)象、特征提取的途徑，因?yàn)榫仃嚧砹四撤N變換或映射，因此分解后得到的矩陣就代表了分析對(duì)象在新空間中的一些新特征。特征分解（Eigen Decomposition）和奇異值分解（Singular Value Decomposition）等在大數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用十分廣泛。數(shù)學(xué)在大數(shù)據(jù)領(lǐng)域的作用3. 線性代數(shù)數(shù)值計(jì)算是求解工程實(shí)際問(wèn)題的重要方法之一，隨著工程問(wèn)題規(guī)模的不斷增大，相比理論研究和實(shí)驗(yàn)研究，其實(shí)用價(jià)值更大。在大數(shù)據(jù)時(shí)代的背景下，

5、數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)挖掘、機(jī)器學(xué)習(xí)等算法中常見(jiàn)的插值、數(shù)值逼近、非線性方程求解等，都屬于數(shù)值計(jì)算的范疇。從更高的層面看，數(shù)值計(jì)算指有效使用數(shù)字計(jì)算機(jī)求數(shù)學(xué)問(wèn)題近似解的方法與過(guò)程，幾乎涵蓋了所有涉及復(fù)雜數(shù)學(xué)運(yùn)算的計(jì)算機(jī)程序。數(shù)值計(jì)算主要研究如何利用計(jì)算機(jī)更好的解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，包括連續(xù)系統(tǒng)離散化和離散型方程的求解，并考慮誤差、收斂性和穩(wěn)定性等問(wèn)題。數(shù)學(xué)在大數(shù)據(jù)領(lǐng)域的作用4. 數(shù)值計(jì)算多元統(tǒng)計(jì)分析簡(jiǎn)稱(chēng)多元分析，是從經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)中發(fā)展起來(lái)的一個(gè)分支，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要的分支學(xué)科，是一種綜合分析方法。多元分析在大數(shù)據(jù)分析中有非常廣泛的應(yīng)用，能夠在多個(gè)對(duì)象和多個(gè)指標(biāo)互相關(guān)聯(lián)的情況下，分析它們的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。多

6、元分析的主要內(nèi)容包括回歸分析、判別分析、聚類(lèi)分析、主成分分析（PCA）、因子分析、典型相關(guān)分析等，這些分析方法在大數(shù)據(jù)領(lǐng)域都有著非常廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)在大數(shù)據(jù)領(lǐng)域的作用5. 多元統(tǒng)計(jì)分析1數(shù)學(xué)與 R語(yǔ)言目錄大數(shù)據(jù)與數(shù)學(xué)2小結(jié)3base程序包是R語(yǔ)言的基礎(chǔ)包，其包含了R語(yǔ)言最為一種語(yǔ)言基本功能，如算術(shù)、輸入輸出、基本編程支持等。base程序包常用于數(shù)學(xué)計(jì)算的函數(shù)及其說(shuō)明如下表所示。base函數(shù)名說(shuō)明intersect用于計(jì)算集合的并union用于計(jì)算集合的交setdiff用于計(jì)算集合的差expression用于表示函數(shù)的表達(dá)式derive3用于高階求導(dǎo)polyroot用于求解實(shí)數(shù)多項(xiàng)式方程或復(fù)數(shù)多

7、項(xiàng)式方程matrix用于創(chuàng)建矩陣diag用于創(chuàng)建單位矩陣，或提取矩陣的主對(duì)角線元素lower.tri用于提取矩陣的上三角矩陣upper.tri用于提取矩陣的下三角矩陣base函數(shù)名說(shuō)明t用于矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算det用于求解行列式solve用于求解矩陣的逆eigen用于求矩陣的特征值和特征向量svd用于對(duì)矩陣進(jìn)行奇異值分解max用于求數(shù)據(jù)的最大值min用于求數(shù)據(jù)的最小值stats程序包是R語(yǔ)言的統(tǒng)計(jì)包，其包含用于統(tǒng)計(jì)計(jì)算和生成隨機(jī)數(shù)的功能。stats程序包常用于統(tǒng)計(jì)計(jì)算的函數(shù)及其說(shuō)明如下表所示。stats函數(shù)名說(shuō)明D用于求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分integrate用于求定積分median用于求中位數(shù)quan

8、tile用于求四分位數(shù)mean用于求均值IQR用于求四分位數(shù)間距var用于求方差sd用于求標(biāo)準(zhǔn)差dbinom用于求二項(xiàng)分布的概率dpois用于求泊松分布的概率函數(shù)名說(shuō)明dunif用于求均勻分布的概率dexp用于求指數(shù)分布的概率dnorm用于求正態(tài)分布的概率var用于求協(xié)方差cor用于求相關(guān)系數(shù)stats1數(shù)學(xué)與 R語(yǔ)言目錄大數(shù)據(jù)與數(shù)學(xué)2小結(jié)3本章作為全書(shū)的引言，詳細(xì)闡述了大數(shù)據(jù)的三個(gè)特性與5V理論，闡述了微積分、統(tǒng)計(jì)學(xué)、線性代數(shù)、數(shù)值計(jì)算與大數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系。大數(shù)據(jù)所需的數(shù)學(xué)知識(shí)涵蓋范圍非常廣，本書(shū)只是對(duì)其中最基礎(chǔ)的部分做了介紹，并不能全面覆蓋。小結(jié)微積分基礎(chǔ)2022/7/241導(dǎo)數(shù)與微分目錄函

9、數(shù)與極限2（1）集合的概念定義 21 集合（簡(jiǎn)稱(chēng)“集”）是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，組成這個(gè)集合的事物稱(chēng)為該集合的元素（簡(jiǎn)稱(chēng)“元”）。通常用大寫(xiě)英文字母A,B,C, 表示集合，用小寫(xiě)英文字母 ,b,c, 表示集合的元素。定義 2-2 如果 是集合A的元素，則 屬于A，記為 A；如果 不是集合A 的元素，則 不屬于A， 記為 或 。一個(gè)集合，若它只含有限個(gè)元素，則稱(chēng)為有限集；不是有限集的集合稱(chēng)為無(wú)限集。如果集合A 的元素都是集合B 的元素，則A是B 的子集，記為AB；如果集合A與集合B 互為子集，則集合A與集合B 相等，記為A=B。映射與函數(shù)1. 集合（2）集合的運(yùn)算集合的基本運(yùn)算有并、交

10、、差三種。設(shè)A、B是兩個(gè)集合。定義 23 由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素組成的集合，稱(chēng)為A與B的并集（簡(jiǎn)稱(chēng)“并”），記為AB，即 。定義 24 由所有既屬于集合A又屬于集合B的元素組成的集合，稱(chēng)為A與B的交集（簡(jiǎn)稱(chēng)“交”），記為 A B，即 。定義 25 由所有屬于集合A而不屬于集合B的元素組成的集合，稱(chēng)為AB與的差集（簡(jiǎn)稱(chēng)“差”），記為AB，即 。對(duì)與集合的計(jì)算，可以使用Python運(yùn)算符進(jìn)行計(jì)算，常用的運(yùn)算符有：+，-，*，/，*，/等。映射與函數(shù)例 2-1 設(shè)集合A=1,2,3,4,5，B= ，請(qǐng)計(jì)算出集合與的并、交、差。解 集合B是方程的解集，可以表示為B=2,3。A與B的并：

11、AB=1,2,3,4,5 。A與B的交： A B=2 。A與B的差： AB =1,4,5 。映射與函數(shù)（1）映射的概念定義 26 設(shè)X，Y是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則 ，使得對(duì)X 中每個(gè)元素x，按法則 ，在Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng) 為從X 到Y(jié) 的映射，記為 ：XY。其中y稱(chēng)為元素 x（在映射 下）的像，并記為 (x)；元素x稱(chēng)為元素y（在映射 下）的原像；集合X 稱(chēng)為映射 的定義域；集合X 中所有元素的像所組成的集合稱(chēng)為映射 的值域。定義 27 若對(duì)中任意兩個(gè)不同元素 ，它們的像 ，則稱(chēng) 為X 到Y(jié) 的單射。映射與函數(shù)2. 映射（2）逆映射的概念定義 28 設(shè)是X 到Y(jié) 的單

12、射，則由映射定義可知，每個(gè) 有唯一的 適合 。于是可以定義一個(gè)從 到X 的新映射g ，即 g： 。對(duì)每個(gè) 規(guī)定 g（y）=x，則x 滿足 。這個(gè)映射g 稱(chēng)為 的逆映射，記為 ，其定義域?yàn)?，值域?yàn)?。所以只有單射才存在逆映射。映射與函數(shù)（3）復(fù)合映射的概念定義 29 設(shè)有兩個(gè)映射 g: 和 ，其中 ，則由映射g 和 可以定出一個(gè)從X到Z 的對(duì)應(yīng)法則，它將每個(gè) 映成 。這個(gè)對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)從X 到Z 的映射，這個(gè)映射稱(chēng)為映射 g 和 構(gòu)成的復(fù)合映射，記為 ，即 或 映射與函數(shù)（1）函數(shù)的概念定義 210 設(shè)數(shù)集 ，則稱(chēng)映射 為定義在D上的函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為 。其中x 稱(chēng)為自變量，y 稱(chēng)為因變量，

13、D 稱(chēng)為定義域，記為 ，即 。函數(shù)定義中，對(duì)每個(gè) ，按對(duì)應(yīng)法則 ，總有唯一確定的y 值與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)值稱(chēng)為函數(shù) 在 x處的函數(shù)值，記為 ，即 。因變量y 與自變量x 之間的這種依賴(lài)關(guān)系，通常稱(chēng)為函數(shù)關(guān)系，函數(shù)值 的全體所構(gòu)成的集合稱(chēng)為函數(shù) 的值域，記為 或 ，即 映射與函數(shù)3. 函數(shù)（2）反函數(shù)的概念反函數(shù)是逆映射的特例。定義 211 設(shè)函數(shù) 是單射，則它存在逆映射 ，稱(chēng)此映射 為函數(shù) 的反函數(shù)。映射與函數(shù)（3）復(fù)合函數(shù)的概念復(fù)合函數(shù)是復(fù)合映射的一種特例，其概念如下。定義 212 設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?，函數(shù) 的定義域?yàn)?，且其值域 ，則由(式 21)確定的函數(shù)稱(chēng)為由函數(shù) 與函數(shù) 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)

14、，它的定義域?yàn)?，變量 稱(chēng)為中間變量。 (式 21)映射與函數(shù)（4）函數(shù)的特性 有界性設(shè)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)镈，數(shù)集 。如果存在數(shù) ，使得 對(duì)任一 都成立，則稱(chēng)函數(shù) f(x) 在X 上有上界，而 稱(chēng)為函數(shù)在X上的一個(gè)上界。如果存在數(shù) ，使得 對(duì)任一 都成立，則稱(chēng)函數(shù) f(x) 在X 上有下界，而 稱(chēng)為函數(shù)在X 上的一個(gè)下界。如果存在正數(shù)M，使得 對(duì)任一 都成立，則稱(chēng)函數(shù) f(x) 在X 上有界，如果這樣的M 不存在，就稱(chēng)函數(shù) f(x) 在X 上無(wú)界。映射與函數(shù) 單調(diào)性設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)镈，區(qū)間 。如果對(duì)于區(qū)間 I 上任意兩點(diǎn) 和 ，當(dāng) 時(shí)，恒有 ，則稱(chēng)函數(shù) f(x) 在區(qū)間 I

15、上是單調(diào)增加的。如果對(duì)于區(qū)間 I 上任意兩點(diǎn) 和 ，當(dāng) 時(shí)，恒有 ，則稱(chēng)函數(shù) f(x) 在區(qū)間 I 上是單調(diào)減少的。單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)函數(shù)。映射與函數(shù) 奇偶性設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域D 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。如果對(duì)于任一 ，有 恒成立，則稱(chēng) f(x) 為偶函數(shù)。如果對(duì)于任一 ，有 恒成立，則稱(chēng) f(x) 為奇函數(shù)。映射與函數(shù) 周期性設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)镈 。如果存在一個(gè)正數(shù) ，使得對(duì)任一 有 ，且 恒成立，則稱(chēng) f(x) 為周期函數(shù)， 稱(chēng)為 f(x) 的周期，通常提到的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。映射與函數(shù)（5）函數(shù)的運(yùn)算設(shè)函數(shù) f(x)，g(x) 的定義域依次為 ， ，

16、，則可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算。和（差） ： 。積 ： 。商 ： 。映射與函數(shù)（6）初等函數(shù)常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)等六類(lèi)函數(shù)在微積分中統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù)。定義 213 基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成，并能用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱(chēng)為初等函數(shù)。由于初等函數(shù)是微積分研究的主要對(duì)象，因此讀者在開(kāi)始學(xué)習(xí)微積分之前，一定要對(duì)六大基本初等函數(shù)的定義式及其性質(zhì)有一定程度的了解。以下簡(jiǎn)單列舉每類(lèi)基本初等函數(shù)的表達(dá)式、定義域、函數(shù)圖像及其最基本的性質(zhì)。映射與函數(shù)常數(shù)函數(shù)： （其中C 為常數(shù)）。定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)集R，其函數(shù)圖像如圖所示。映射與函數(shù)冪函數(shù)

17、： （其中是常數(shù)）。冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)隨著 的不同而不同， 讀者需要仔細(xì)區(qū)分，其函數(shù)圖像如圖所示。映射與函數(shù)指數(shù)函數(shù) （其中 是常數(shù)，且 ）。當(dāng) 時(shí) 指數(shù)函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù)，當(dāng) 時(shí)為單調(diào)減少函數(shù)。 但無(wú)論自變量 取何值，指數(shù)函數(shù)的圖像總是位于 軸 上方，并且一定會(huì)通過(guò)點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)=0 時(shí)，=1 。 其函數(shù)圖像如圖所示。映射與函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù) （其中 是常數(shù)，且0,1）。該函數(shù)的定義域?yàn)檎膶?shí)數(shù)， 故它的圖像位于 軸的右方，并通過(guò)點(diǎn)(1,0)。當(dāng)1 時(shí)為單調(diào)增加函數(shù)， 當(dāng)0（或 0 ，當(dāng)nN 時(shí)，都有 （或 ）。收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系：如果數(shù)列 收斂于 ，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也

18、是 。數(shù)列與函數(shù)的極限（1）有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小。（2）有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。（3）如果 ， ，那么有如下結(jié)論。 。 。 若又有 ，則 。極限運(yùn)算法則與存在法則1. 極限運(yùn)算法則法則(3)是函數(shù)的極限四則運(yùn)算法則，數(shù)列也有類(lèi)似的極限四則運(yùn)算法則，相應(yīng)的法則如法則(4)所示。（4）設(shè)有數(shù)列 與 ， ， ，那么有如下結(jié)論。 。 。 當(dāng) 且 B0 時(shí)， 。（5）如果(x)(x)，而 lim (x)=a，lim(x)=b，那么ab 。極限運(yùn)算法則與存在法則（6）（復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù) y=fg(x) 是由函數(shù) u=g(x)與函數(shù)y=f(u) 復(fù)合而成， fg(x) 在點(diǎn) 的某

19、去心鄰域內(nèi)有定義，若 ， ，且存在 ，當(dāng) 時(shí)，有 ，則有(式 2-4)。 (式 2-4)極限運(yùn)算法則與存在法則（1）如果數(shù)列 、 和 滿足如下條件，那么數(shù)列 的極限存在，且 。 從某項(xiàng)起，即 ，當(dāng) 時(shí)，有 。 ， 。 由上述數(shù)列極限存在準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)極限存在準(zhǔn)則。（2）如果滿足如下條件，那么 存在，且等于A 。當(dāng) （或 ）時(shí)， 。 ， 。 法則(1)和法則(2)稱(chēng)為夾逼準(zhǔn)則。 極限運(yùn)算法則與存在法則2. 極限存在法則（3）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。 根據(jù)收斂數(shù)列的性質(zhì)可知，收斂的數(shù)列一定有界，但有界的數(shù)列不一定收斂。法則(3)表明，如果數(shù)列有界且是單調(diào)的，那么該數(shù)列極限必定存在，一定收斂。 函

20、數(shù)極限也有類(lèi)似的準(zhǔn)則，相應(yīng)的準(zhǔn)則如法則(4)所示。（4）設(shè)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) 的某個(gè)左鄰域內(nèi)單調(diào)并且有界，則在 的左極限 必定存在。（5）數(shù)列 收斂的充分必要條件是：對(duì)于任意給定的正數(shù) ，存在正整數(shù)N ，使得當(dāng) mN，nN 時(shí)，有 。法則(5)也稱(chēng)為柯西（Cauchy）極限存在準(zhǔn)則。極限運(yùn)算法則與存在法則定義 220 設(shè)函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，如果有(式 2-5)或(式 2-6)，那么就稱(chēng)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) 連續(xù)。 (式 25) (式 26)定義 221 如果 存在，且等于 ，即 ，則稱(chēng)函數(shù)f(x) 在點(diǎn) 左連續(xù)。定義 222 如果 存在，且等于 ，即 ，則稱(chēng)函數(shù)f(

21、x) 在點(diǎn) 右連續(xù)。定義 223 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，稱(chēng)為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者稱(chēng)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性1. 函數(shù)的連續(xù)性定義 224 設(shè)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù) f(x) 存在以下三種情況之一，則函數(shù) f(x) 在點(diǎn) 為不連續(xù)，而點(diǎn) 稱(chēng)為函數(shù) f(x) 的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)。(1)在 沒(méi)有定義。(2)雖在 有定義，但 不存在。(3)雖在 有定義，且 存在，但 。連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性2. 函數(shù)的間斷點(diǎn)基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。同時(shí)，如果函數(shù) f(x) 和 g(x) 在點(diǎn) 連續(xù)，則它們的和、差、積、商（

22、 時(shí)）都在點(diǎn) 連續(xù)。設(shè)函數(shù) y=fg(x) 是由函數(shù) u=g(x) 與函數(shù) y=f(u) 復(fù)合而成， ，若函數(shù) u=g(x) 在 連 續(xù)，且 ，而函數(shù) y=f(u) 在 連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) y=fg(x) 在 也連續(xù)。結(jié)合定義 213，可得出一個(gè)重要的結(jié)論：一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性3. 初等函數(shù)的連續(xù)性1導(dǎo)數(shù)與微分目錄函數(shù)與極限2設(shè)曲線C 是函數(shù) y=f(x) 的圖像， 是曲線C 上任一定點(diǎn)， 在C 上任取一個(gè)異于點(diǎn)P 的點(diǎn) ， 點(diǎn)Q 是隨著 x 的變化而改變位置的曲線C 上的動(dòng)點(diǎn)。 則過(guò)這兩點(diǎn)的直線PQ 稱(chēng)為是曲線C 的割線， 記為 ，如圖所示。導(dǎo)數(shù)

23、的概念1. 切線的斜率記割線 的傾斜角為， 并且記 ，則割線 的斜率為 tan ，如(式 2-7)所示。 (式 2-7)使動(dòng)點(diǎn)Q 沿著曲線C 移動(dòng)，并逐漸趨向定點(diǎn)P， 即x0，則割線 將有一個(gè)極限位置直線 ， 此時(shí)稱(chēng)直線 是曲線C 在點(diǎn) 的切線。導(dǎo)數(shù)的概念記切線 的傾斜角為，則從 的形成過(guò)程可知，切線 的斜率 tan 應(yīng)是割線PQ 的斜率，即在x0 時(shí)的極限。 (式 2-8)(式 2-8)表明，函數(shù) y=f(x) 的圖像在點(diǎn)P 處的斜率，就是函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)P 處的函數(shù)改變量 y 與自變量改變量 x 的比值 y/x 在x0 時(shí)的極限。導(dǎo)數(shù)的概念定義 225 設(shè)函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)

24、的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 x 在 處取得增量x（點(diǎn) 仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)取得增量 ；如果 y 與 x 之比 y/x 在 x0 時(shí)的極限存在，則稱(chēng)函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，并稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)，記為 ，如(式 2-9)所示，也可記為 ， 或 。 (式 29)反之，如果極限 不存在，則稱(chēng)函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) 不可導(dǎo)。特別地，若 ，稱(chēng)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大。導(dǎo)數(shù)的概念2. 導(dǎo)數(shù)的定義因?yàn)閷?dǎo)數(shù)是函數(shù)的增量與自變量增量之比的極限，它反映了函數(shù)值隨自變量變化而變化的快慢程度，所以也將導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為函數(shù) f(x) 在點(diǎn) 的變化率。由于當(dāng) x0 時(shí)，

25、若要極限 存在，必有 ，故導(dǎo)數(shù)可以看作是“兩個(gè)無(wú)窮小比值的極限”，因而是一種“無(wú)窮小分析”。同時(shí)定義 2-25也提供了一種求導(dǎo)數(shù)的方法。一般地，用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) x 的導(dǎo)數(shù)時(shí)，通常分為以下3步。寫(xiě)出函數(shù)的改變量 y=f(x+x)-f(x)，整理化簡(jiǎn)。計(jì)算比式 ，整理化簡(jiǎn)。求極限 。導(dǎo)數(shù)的概念如果函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，即 存在。由具有極限的函數(shù)與無(wú)窮小的關(guān)系知道， ，其中 為x0 時(shí)的無(wú)窮小，上式兩邊同乘以x，得y=f(x)x+x。由此，當(dāng)x0 時(shí)，y0，即函數(shù)y=f(x) 在點(diǎn)x 處是連續(xù)的，所以如果函數(shù)y=f(x) 在點(diǎn)x 處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)處必連續(xù)。

26、但是一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的概念3. 函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系如果函數(shù) u(x) 和 v(x) 都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)外）都在點(diǎn) x 具有導(dǎo)數(shù)，且有以下法則。 。 。 。函數(shù)的求導(dǎo)法則1. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè) x=f(y) 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且 f(y)0 ，則它的反函數(shù) 在 內(nèi)也可導(dǎo)，且 或 可簡(jiǎn)單表述成：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。函數(shù)的求導(dǎo)法則2. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則有一正方形金屬薄板，因受溫度變化的影響，邊長(zhǎng)由 變至 （如右圖所示）時(shí)，其面積 S 有改變量 。上式表明面積函數(shù)的改變量可以被表示成兩部分的和。

27、 第一部分中， 是常數(shù)， 是變量 x 的線性函數(shù)； 第二部分中， 當(dāng)x0 時(shí)是比 x 高階的無(wú)窮小。顯然，當(dāng) x 很小時(shí)，可以用 S 的線性主要部分 近似地代替S 的值。這種略去關(guān)于 x 的高階無(wú)窮小，以 x 的線性函數(shù)取代 S 的處理方法正是微分概念的本質(zhì)所在。微分的概念1. 微分的定義定義 2-26 設(shè)函數(shù) y=f(x) 在某區(qū)間內(nèi)有定義， 及 在這區(qū)間內(nèi)，如果增量 可表示為 （其中 A 是不依賴(lài)于 x 的常數(shù)），那么稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn) 是可微的，而 稱(chēng)為函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) 相應(yīng)于自變量增量 x 的微分，記為dy，即 。由定義 2-26可見(jiàn)，所謂函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) 可微，即函數(shù)在點(diǎn) 的

28、改變量 可以表示為兩項(xiàng)之和。第一項(xiàng) 是 x 的線性函數(shù)，它是便于計(jì)算的 x 的線性函數(shù)，是表達(dá) y 的主要部分（可以證明它與 y 在 x0 條件下是等價(jià)無(wú)窮小），故把第一項(xiàng)稱(chēng)為 y 的線性主部。第二項(xiàng) 是比無(wú)窮小 x 高階的無(wú)窮小，它的具體表達(dá)式往往是復(fù)雜的，但當(dāng)| x | 相當(dāng)小時(shí)，在近似計(jì)算y 中可以忽略不計(jì)，即有y dy 。微分的概念定理 21 函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) 處可微的充分必要條件是函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)與微分都是討論 x 與 y 的關(guān)系的，所以它們之間應(yīng)有內(nèi)在的聯(lián)系，定理 2-1揭示了這種聯(lián)系：可微 可導(dǎo)。求函數(shù)在某一點(diǎn)的微分，實(shí)際上就是計(jì)算出函數(shù)在這一點(diǎn)的導(dǎo)

29、數(shù)，然后再乘以自變量的增量， 即 。通常把自變量 x 的增量 x 稱(chēng)為自變量的微分，記為 dx，即 dx= x 。于是函數(shù) y=f(x) 的微分又可記為 。實(shí)際上使用的導(dǎo)數(shù)的記法 就可以看作是由 得到 的，因此導(dǎo)數(shù) 又稱(chēng)微商微分之商。微分的概念為了更好地理解微分的概念，接下來(lái)探討微分的幾何意義。設(shè) 是函數(shù) y=f(x) 的圖形曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，給自變量 x 一個(gè)微小增量 x 時(shí)，可得曲線上另一點(diǎn) ，由 圖 2-8知， ，設(shè)曲線在點(diǎn)P的切線的傾角為 ， 則 ，所以，當(dāng) y 是曲線上點(diǎn)的縱坐 標(biāo)增量時(shí)，dy 就是曲線的切線上此點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量。微分的概念從函數(shù)的微分表達(dá)式 可以看出，計(jì)算函數(shù)的

30、微分，只要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的微分。由函數(shù)的求導(dǎo)法則，可以推導(dǎo)得到相應(yīng)的微分法則如下。（1）函數(shù)的和、差、積、商的微分法則 。 。 。微分的概念2. 函數(shù)的微分法則（2）收斂數(shù)列的性質(zhì)設(shè) y=f(u) 和 u=g(x) 都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) y=fg(x) 的微分如(式 2-11)所示。 (式 2-11)微分的概念實(shí)際上，微分具有雙重意義。一方面，微分表示一種與求導(dǎo)密切相關(guān)的運(yùn)算，由微分的商可以求得導(dǎo)數(shù)，這就便于遇到具體問(wèn)題時(shí)，可以審時(shí)度勢(shì)選擇采用求導(dǎo)或求微分的手段。另一方面，用微分代替增量是一個(gè)行之有效的近似計(jì)算方法，往往可以把一些復(fù)雜的計(jì)算公式用簡(jiǎn)單的近似公式來(lái)代替。如果y=f(x

31、) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù) ，且 |x| 相當(dāng)小時(shí)，得到(式 2-12)。 (式 2-12) 化簡(jiǎn)(式 2-12)，得到(式 2-13)。 (式 2-13) 令 ，即 時(shí)，得到(式 2-14)。 (式 2-14)微分的概念3. 微分在近似運(yùn)算中的應(yīng)用有了以上分析，當(dāng)需要計(jì)算的函數(shù)值 y 或函數(shù)的增量 y 比較復(fù)雜，甚至很困難的時(shí)候，可以改為計(jì)算它們的近似值，利用(式 2-12)來(lái)近似計(jì)算 y ，利用(式 2-13)或(式 2-14)來(lái)近似計(jì)算 y 。而(式 2-14)正是曲線 y=f(x) 在點(diǎn) 的切線方程。這表明在點(diǎn) P 附近可用其切線近似代替曲線 y=f(x)，其誤差是比 x 高階的無(wú)窮小量 |y

32、-dy| 。即在微小的局部可以用直線來(lái)近似代替曲線，這稱(chēng)之為“以直代曲”或“將曲線局部線性化”。這就是微分的應(yīng)用價(jià)值。 (式 2-12) (式 2-13) (式 2-14)微分的概念由于導(dǎo)數(shù)與微分都是討論 x 與 y 的關(guān)系，因而它們之間有內(nèi)在的聯(lián)系，但是導(dǎo)數(shù)與微分是源于兩個(gè)不同實(shí)際背景的數(shù)學(xué)概念。導(dǎo)數(shù)概念是源于精確地計(jì)算函數(shù)的變化率，它把泛泛的平均變化率精確化到在一點(diǎn)的變化率，是變化率的數(shù)學(xué)抽象。微分概念則是源于近似計(jì)算，實(shí)際應(yīng)用中的一切計(jì)算幾乎都是需要近似計(jì)算的（這表明了微分應(yīng)用的廣泛性），微分表達(dá)式 （或 ），表明只要知道在一點(diǎn)的函數(shù)值 及其導(dǎo)數(shù)的值 ，就可以用 x 的一次函數(shù)近似計(jì)算點(diǎn)

33、 附近的函數(shù)值 誤差是比 x 高階的無(wú)窮小 ，這就可以把一個(gè)難以計(jì)算其值的函數(shù)（如超越函數(shù)）局部近似地表達(dá)為便于計(jì)算數(shù)值的函數(shù)（一次函數(shù)）。微分的概念微積分基礎(chǔ)2022/7/241不定積分與定積分目錄微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2小結(jié)3定理 22（費(fèi)馬引理） 設(shè)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域 內(nèi)有定義，并且在 處可導(dǎo)，如果對(duì)任意的 ，有 （或 ），那么 f(x)=0 。通常稱(chēng)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn)），即 為函數(shù) f(x) 的駐點(diǎn)。定理 23（羅爾定理） 如果函數(shù) f(x) 滿足如下條件，那么在 (a,b) 內(nèi)至少有一點(diǎn) ， 使 f ()=0 。在閉區(qū)間a,b 上連續(xù)。在開(kāi)區(qū)

34、間(a,b) 內(nèi)可導(dǎo)。在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即 f(a)=f(b) 。微分中值定理1. 羅爾定理羅爾定理中的 這個(gè)條件是相當(dāng)特殊的，它使得羅爾定理的應(yīng)用受到限制，如果把這個(gè)條件取消，但仍保留其余兩個(gè)條件，相應(yīng)的改變結(jié)論，就得到了拉格朗日中值定理。定理 24（拉格朗日中值定理） 如果函數(shù)f(x) 滿足如下條件，那么在 內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使(式 2-15)所示的等式成立。在閉區(qū)間 上連續(xù)。在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)。 (式 2-15)微分中值定理2. 拉格朗日中值定理定理 25（柯西中值定理） 如果函數(shù) f(x) 和F(x) 滿足如下條件，那么在 內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使(式 2-16)所示的等式成立。在閉區(qū)間

35、 上連續(xù)。在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)。對(duì)任 一 ，F(xiàn)(x)0 。 (式 2-16)微分中值定理3. 柯西中值定理定理 27 設(shè)函數(shù) y=f(x) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，則有如下結(jié)論。如果在 內(nèi) ，那么函數(shù) y=f(x) 在 上圖形是凹的。如果在 內(nèi) ，那么函數(shù) y=f(x) 在 上圖形是凸的。由二階導(dǎo)數(shù) 的符號(hào)可以判定曲線的凹凸性，因此，如果 在 的左右兩側(cè)鄰近異號(hào)，那么 點(diǎn) 就是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)?？梢园凑障铝胁襟E來(lái)判定區(qū)間 I 上的連續(xù)曲線 y=f(x) 的拐點(diǎn)。求 。令 ，解出這個(gè)方程在區(qū)間 I 內(nèi)的實(shí)根，并求出區(qū)間 I 內(nèi) 不存在的點(diǎn)。對(duì)于上面求出的每一個(gè)實(shí)根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) ，

36、檢查 在點(diǎn) 左右兩側(cè)的鄰近符號(hào)，當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí)，點(diǎn) 是拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí)，點(diǎn) 不是拐點(diǎn)。函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性1. 函數(shù)單調(diào)性的判定法（1）函數(shù)極值的概念定義 227 設(shè)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域 內(nèi)有定義，如果對(duì)于去心鄰域 內(nèi)的任一 x， 有 （或 ），那么就稱(chēng) 是函數(shù) f(x) 的一個(gè)極大值（或極小值）。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值，函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)。函數(shù)的極值與最值定理 28（必要條件） 設(shè)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，且在 處取得極值，那么 f(x)=0 。定理 29（第一充分條件） 設(shè)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) 處連續(xù)，且在 的去心鄰域 內(nèi)可導(dǎo)，有如下

37、結(jié)論。若 時(shí)， f(x)0，而 時(shí)， f(x)0，則 f(x) 在點(diǎn) 處取得極大值。若 時(shí)， f(x)0，則 f(x) 在點(diǎn) 處取得極小值。若 時(shí)， f(x) 的符號(hào)保持不變，則 f(x) 在點(diǎn) 處 沒(méi)有極值。 f(x) 的符號(hào)由正變負(fù)，則 f(x) 在點(diǎn) 處取得極大值， f(x) 的符號(hào)由負(fù)變正，則 f(x) 在點(diǎn) 處取得極小值。函數(shù)的極值與最值（2）函數(shù)取得極值的充分必要條件定理 210（第二充分條件） 設(shè)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) 處具有二階導(dǎo)數(shù)，且 f(x)=0，f(x)0，則有如下結(jié)論。當(dāng) f(x)0 時(shí)，函數(shù) f(x) 在點(diǎn) 處取得極小值。函數(shù)的極值與最值在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中常常會(huì)遇到在一定條

38、件下，怎么使“產(chǎn)量最多”“用料最少”“成本最低”“效率最高”等問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題通常稱(chēng)為優(yōu)化問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸結(jié)為求某函數(shù)（通常稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問(wèn)題。在假定函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)除了有限個(gè)點(diǎn)外可導(dǎo)，且至多有有限個(gè)駐點(diǎn)的條件下，可用如下的步驟求函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間 上的最大值和最小值。求出函數(shù) f(x) 在 內(nèi)的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)。計(jì)算駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)以及兩端點(diǎn)的函數(shù)值。比較駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)以及兩端點(diǎn)的函數(shù)值中各值的大小，其中最大的便是函數(shù) f(x) 在 上的最大值，最小的便是函數(shù) f(x) 在 上的最小值。函數(shù)的極值與最值2. 最值問(wèn)題1不定積分與定積分目錄微分

39、中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2小結(jié)3定義 228 在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù) f(x)，即對(duì)任一 ，都有 或 則函數(shù) F(x)稱(chēng)為 f(x)（或 f(x)dx）在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù)。定理 211（原函數(shù)存在定理） 若函數(shù) f(x) 在區(qū)間 I 上連續(xù)，則在區(qū)間 I 上存在可導(dǎo)函數(shù) F(x)，使對(duì)任一 ，都有 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)。由定理 2-11可知， 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都存在原函數(shù)， 因?yàn)槌醯群瘮?shù)在其定義區(qū)間內(nèi)部都是連續(xù)的。設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間I上有一個(gè)原函數(shù)F(x)，則對(duì)于任意常數(shù)C，函數(shù) 也是 f(x) 的原函數(shù)，且在 I 上的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只相差一個(gè)常數(shù)。f(

40、x)如果存在原函數(shù)，那么其原函數(shù)的個(gè)數(shù)就有無(wú)窮個(gè)，稱(chēng)為“原函數(shù)族”。即只要知道 f(x) 的一個(gè)原函數(shù)F(x)，就知道其所有的原函數(shù) ，其中C為任意常數(shù)。 稱(chēng)為原函數(shù)的一般表達(dá)式。不定積分的概念與性質(zhì)1. 原函數(shù)的概念定義 2-29 函數(shù) f(x) 在區(qū)間 I 上的帶有任意常數(shù)項(xiàng) C 的原函數(shù)稱(chēng)為 f(x)（或 ）在區(qū)間 I 上的不定積分，記為 。其中 稱(chēng)為積分號(hào)， f(x) 稱(chēng)為被積函數(shù)， 稱(chēng)為積分表達(dá)式，x 稱(chēng)為積分變量，C 稱(chēng)為積分常數(shù)。不定積分與原函數(shù)的關(guān)系是整體與個(gè)體之間的關(guān)系，求 f(x) 的不定積分只要求得 f(x) 的一個(gè)原函數(shù) F(x)，再加上一個(gè)任意常數(shù)C 即可。不定積分的

41、概念與性質(zhì)2. 不定積分的概念根據(jù)不定積分的定義，可以推得它有如下性質(zhì)。性質(zhì)1 設(shè)函數(shù) f(x) 及 g(x) 的原函數(shù)存在，則有(式 2-17)，且對(duì)任意有限個(gè)函數(shù)都是成立的。 (式 2-17)性質(zhì)2 設(shè)函數(shù) f(x) 的原函數(shù)存在，k 為非零常數(shù)，則 。性質(zhì)3 設(shè)函數(shù) f(x) 的原函數(shù)存在，則 ，或 。性質(zhì)4 設(shè)函數(shù) F(x) 的導(dǎo)函數(shù)存在，則 ，或 。不定積分的概念與性質(zhì)3. 不定積分的性質(zhì)（1）第一類(lèi)換元法定理 212 設(shè)函數(shù) f(u) 具有原函數(shù)， 可導(dǎo)，則有換元公式如(式 2-18)所示。 (式 2-18)（2）第二類(lèi)換元法定理 213 設(shè) 是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且 ，又設(shè) ，

42、 具有原函數(shù)，則有換元公式如(式 2-19)所示，其中 是 的反函數(shù)。 (式 2-19)不定積分換元積分法與分部積分法1. 換元積分法分部積分法是利用函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則而推導(dǎo)得的求積分的基本方法。定義 230 設(shè)函數(shù) 及 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為 ，通過(guò)移項(xiàng)得 。對(duì)等式兩邊求不定積分，即可得到如(式 2-20)所示的分部積分公式。 (式 2-20) 為了簡(jiǎn)便，也可以把(式 2-20)寫(xiě)作(式 2-21)的形式。 (式 2-21)1不定積分換元積分法與分部積分法2. 分部積分法定義 231 設(shè)有曲線y=f(x)在區(qū)間 上非負(fù)、連續(xù)。 由直線 以及x軸所圍成的平面圖形 稱(chēng)為曲邊梯

43、形，其中曲線弧稱(chēng)為曲邊，如圖所示。求矩形的面積的方法為底高，如果把曲邊梯形近似 看成矩形，顯然這樣做的誤差太大了。于是有如下 的做法。定積分的概念與性質(zhì)1. 引例曲邊梯形的面積在曲邊梯形的底邊所在的區(qū)間 內(nèi)任意插入 個(gè) 分點(diǎn) ，并令 ，則 有 ，這些分 點(diǎn)將區(qū)間 分割成n 個(gè)小區(qū)間 過(guò)這 n 個(gè)分點(diǎn)作 x 軸的垂線，就將區(qū)間 上的 曲邊梯形分為n個(gè)小曲邊梯形，如圖所示。定積分的概念與性質(zhì)（1）分割在每個(gè)小區(qū)間 上任取一點(diǎn) ，記為 ， 則當(dāng)小曲邊梯形很小時(shí)，可用以 和 為邊長(zhǎng)的 小矩形的面積 近似替代小曲邊梯形的 面積 ，即 。定積分的概念與性質(zhì)（2）近似替代所求曲邊梯形的面積近似地等于這個(gè)小曲

44、邊梯形 的面積之和，即 。定積分的概念與性質(zhì)（3）作和將區(qū)間 無(wú)限細(xì)分，使每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于零， 對(duì)于區(qū)間 的任一個(gè)分割，令 ， 則將 細(xì)分的過(guò)程就是 的過(guò)程，當(dāng) 時(shí)， 右端的極限存在， 就定義這個(gè)極限為曲邊梯形的面積 A， 即 ， 。定積分的概念與性質(zhì)（4）取極限設(shè) f(x) 是定義在區(qū)間 上的有界函數(shù)，在 中任意插入 個(gè)分點(diǎn) 將區(qū)間 分成長(zhǎng)度依次為 的n 個(gè)小區(qū)間： 。定義 2-32 任取 ，作函數(shù)值 與小區(qū)間長(zhǎng)度 的乘積的和 ，記 。如果無(wú)論對(duì)區(qū)間 怎樣劃分，也無(wú)論在小區(qū)間 上點(diǎn) 怎樣選取，只要當(dāng) 時(shí)，和式 總趨于確定的常數(shù) J，則稱(chēng)函數(shù) f(x) 在區(qū)間 上是可積的，稱(chēng) J 為函數(shù)

45、 f(x) 在區(qū)間 上的定積分（簡(jiǎn)稱(chēng)積分），記為 ，即 。其中f(x) 稱(chēng)為被積函數(shù)， 稱(chēng)為被積分表達(dá)式，x 稱(chēng)為積分變量， 稱(chēng)為積分區(qū)間，a，b分別稱(chēng)為積分下限和積分上限。定積分的概念與性質(zhì)2. 定積分的定義根據(jù)定義 2-32，記號(hào) 中的a，b應(yīng)滿足 ，為了計(jì)算和應(yīng)用的方便，作如下規(guī)定。當(dāng) 時(shí)， 。當(dāng) 時(shí)， 。定積分的概念與性質(zhì)下面討論定積分的性質(zhì)，各性質(zhì)中積分上下限的大小如不特別指明均不加限制，且假定各性質(zhì)中所列出來(lái)的定積分都是存在的，則定積分的性質(zhì)如下。 ，對(duì)任意有限個(gè)函數(shù)都是成立的。 （k是常數(shù)）。若acb，則 。在區(qū)間 上，若 ，則 。在區(qū)間 上，若 ，則 。推論1 在區(qū)間 上， ，

46、則 。推論2 。定積分的概念與性質(zhì)3. 定積分的性質(zhì)設(shè) M 及 m 分別是函數(shù) f(x) 在區(qū)間 上的最大值及最小值，則 （定積分中值定理）如果函數(shù) f(x) 在積分區(qū)間 上連續(xù)，則在 上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使(式 2-22)成立。(式 2-22)稱(chēng)為積分中值公式。 (式 2-22)定積分的概念與性質(zhì)定理 2-14 設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間 上連續(xù)，函數(shù) 有 ，且 在 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，其值域?yàn)?，則有(式 2-23)，(式 2-23)稱(chēng)為定積分的換元公式。 (式 2-23)定積分的換元法與分部積分法1. 定積分的換元法根據(jù)不定積分的分部積分法，可得定積分的分部積分法公式，如(式 2-24)所示。

47、(式 2-24) 為了簡(jiǎn)便，也可以把(式 2 24)寫(xiě)作(式 2 25)的形式。 (式 2-25)定積分的換元法與分部積分法2. 定積分的分部積分法（1）邊際成本邊際成本是指產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的成本。設(shè)某產(chǎn)品產(chǎn)量為q單位時(shí)所需的成本為 。由 于 ，所以，邊際成本就是總成本函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)。不定積分與定積分的實(shí)際應(yīng)用1.邊際概念（2）邊際收入邊際收入是指多銷(xiāo)售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的銷(xiāo)售收入。設(shè)某產(chǎn)品的銷(xiāo)售量為q單位時(shí)的收入函數(shù)為 ，則收入函數(shù)關(guān)于銷(xiāo)售量 的導(dǎo)數(shù)就是該產(chǎn)品的邊際收入 。不定積分與定積分的實(shí)際應(yīng)用（3）邊際利潤(rùn)邊際利潤(rùn)是指再多銷(xiāo)售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加（或減少）的利潤(rùn)。設(shè)某產(chǎn)品的銷(xiāo)

48、售量為 時(shí)的收入函數(shù) 為 ，當(dāng) 可導(dǎo)時(shí)，稱(chēng) 為銷(xiāo)售量為 的邊際利潤(rùn)。由于利潤(rùn)函數(shù)為收入函數(shù)與總成本函數(shù)之差，關(guān)系式如(式226)所示。 (式2-26)因此，邊際利潤(rùn)、邊際收入與邊際成本的關(guān)系如(式227)所示。 (式2-27)不定積分與定積分的實(shí)際應(yīng)用例2-1 通過(guò)生產(chǎn)技術(shù)試驗(yàn)，制造商發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品的邊際成本是由函數(shù) （千元臺(tái)）給出的，其中 為產(chǎn)品的單位數(shù)量。已知生產(chǎn)的固定成本為9千元，求生產(chǎn)成本函數(shù)。解 由于邊際成本 是生產(chǎn)成本的導(dǎo)數(shù)，所以 。 由題可知，固定成本為9千元，即 ，解得 ，所以得到生產(chǎn)成本的函數(shù)為 。使用R語(yǔ)言求生產(chǎn)成本，雖然缺少常數(shù)C，但不影響結(jié)果，如下所示。 q f Integr

49、ate(f, q) expression(q2 + 6 * q)不定積分與定積分的實(shí)際應(yīng)用2.實(shí)際應(yīng)用例22 某產(chǎn)品的邊際成本為 （萬(wàn)元噸），其中 ，固定成本 萬(wàn)元，邊際收入為 （萬(wàn)元噸），求以下兩個(gè)問(wèn)題。 （1）獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量及最大利潤(rùn)。 （2）最大利潤(rùn)時(shí)再生產(chǎn)1噸，總利潤(rùn)將如何變化？解 總成本函數(shù)為 總收益函數(shù)為 總利潤(rùn)為不定積分與定積分的實(shí)際應(yīng)用所以邊際利潤(rùn)為 。令 ，可以得到 ，駐點(diǎn)唯一且 。因此，產(chǎn)量為 時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為 萬(wàn)元。多生產(chǎn)1噸產(chǎn)品時(shí)，利潤(rùn)的變化量為不定積分與定積分的實(shí)際應(yīng)用不定積分與定積分的實(shí)際應(yīng)用 使用R語(yǔ)言求解最大利潤(rùn)及利潤(rùn)變化量，如下所示。qdcqInt

50、egrate(dcq,q)expression(0.5*q2/2+8*q)Integrate(dcq,q)expression(0.5*q2/2+8*q)drqIntegrate(dcq,q)expression(11*q-q2/2)lq(dlpfresultresult“value”1-0.751不定積分與定積分目錄微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2小結(jié)3微積分知識(shí)博大精深，本章介紹其中最精華的部分，包括常見(jiàn)的函數(shù)及其性質(zhì)、極限的基本概念和結(jié)論、導(dǎo)數(shù)的概念及各種求導(dǎo)法則、微分及其應(yīng)用、微積分學(xué)基本定理等內(nèi)容。小結(jié)線性代數(shù)基礎(chǔ)2022/7/24矩陣及其運(yùn)算目錄1矩陣的特征分解與奇異值分解2小結(jié)3定義

51、3-1 設(shè)由 個(gè)數(shù)排成一個(gè) m 行 n 列的數(shù)表，則稱(chēng)為 m 行 n 列矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng) 矩陣，簡(jiǎn)記為(式 4-20)所示的 A 或 ， 稱(chēng)為第i行第j列元素。 (式 3-1)當(dāng) 時(shí)，矩陣 A 稱(chēng)為 n 階矩陣或 n 階方陣。當(dāng) 時(shí)，矩陣 A 只有一行，稱(chēng)為行矩陣，可記為 。當(dāng) 時(shí)，矩陣A只有一列，稱(chēng)為列矩陣，可記為 。矩陣 和矩陣 ，若 ，則稱(chēng) A 與 B 為同型矩陣。矩陣的定義定義 3-2 設(shè)有矩陣 ，其主對(duì)角線上的元素均為 1，其余元素全為零的 n 階方陣，稱(chēng)為 n 階 單位矩陣，記為 E 或 I 。特殊矩陣1. 單位矩陣定義 3-3 設(shè)有矩陣 ，其所有的元素均為 0，稱(chēng)為零矩陣，記為 O。特

52、殊矩陣2. 零矩陣定義 3-4 如(式 421)所示的矩陣 A，其非主對(duì)角線上的元素均為 0，稱(chēng) A 為對(duì)角矩陣，可記為 。 (式 3-2)特殊矩陣3. 對(duì)角矩陣定義 3-5 如(式 422)所示的矩陣，其對(duì)角線以下的元素都為 0，即當(dāng) 時(shí)， ，稱(chēng) A 為上三角矩陣。 (式 33)特殊矩陣4. 上三角矩陣定義 3-6 如(式 423)所示的矩陣，其對(duì)角線以上的元素都為 0，即當(dāng) 時(shí)， 的矩陣，稱(chēng)為下三角矩陣。 (式 3-4)特殊矩陣5. 下三角矩陣設(shè)有矩陣 和矩陣 ，那么矩陣 A 和 B 的和記為 AB，如(式 3-5)所示。 (式 3-5)注意：相加的兩個(gè)矩陣必須具有相同的行數(shù)和列數(shù)，即兩個(gè)

53、矩陣為同型矩陣。矩陣的運(yùn)算1. 矩陣的加法和減法設(shè)A，B，C為同型矩陣，則矩陣的加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律。交換律：A+B=B+A 。結(jié)合律：( A+B )+C=A+( B+C )。設(shè)矩陣 ，記 為 A 的負(fù)矩陣，則有 。 由此可規(guī)定矩陣的減法為 。矩陣的運(yùn)算設(shè)有矩陣 ，k 是一個(gè)數(shù)，那么數(shù) k 和矩陣 A 的乘積稱(chēng)為數(shù)乘矩陣，如(式 3-6)所示。 (式3-6)設(shè) A，B 為同型矩陣，k 和 l 是任意數(shù)，矩陣的數(shù)乘運(yùn)算滿足下列運(yùn)算規(guī)律。分配律： ， 。數(shù)和矩陣相乘的結(jié)合律： 。矩陣的運(yùn)算2. 矩陣的數(shù)乘設(shè)有矩陣 和矩陣 （矩陣 A 的列數(shù)和矩陣 B 的行數(shù)必須相等），那么矩陣 A 和 B 的乘積

54、是一個(gè) 的矩陣，記為 。矩陣 C 的元素 是矩陣 A 的第 i 行 s 個(gè)元素與矩陣 B 的第 j 行 s 個(gè)對(duì)應(yīng)元素兩兩乘積之和，如(式 3-7)所示，其中 。 (式 3-7)矩陣乘法滿足下列運(yùn)算規(guī)律。結(jié)合律： 。分配律： ； 。數(shù)與乘積的結(jié)合律： 。此處需要注意：矩陣的乘法一般情況下不滿足交換律，即 。矩陣的運(yùn)算3. 矩陣的乘法設(shè)有 矩陣 A，將其行與列互換后得到 矩陣，稱(chēng)為矩陣 A 的轉(zhuǎn)置矩陣，記為 ，如(式 3-8)所示。 (式 3-8)轉(zhuǎn)置矩陣滿足下列運(yùn)算規(guī)律。 。 。 。 。矩陣的運(yùn)算4. 矩陣的轉(zhuǎn)置定義37對(duì)矩陣進(jìn)行下列3種變換，稱(chēng)為矩陣的初等行變換。對(duì)換矩陣某兩行的位置，用 表

55、示，其中 表示矩陣的行。用一個(gè)非零數(shù) k 乘矩陣某一行的所有元素。把矩陣某一行的倍數(shù)加到另一行。將定義37中的“行”換成“列”（記號(hào)“”換成“”），即可得到矩陣的初等列變換的定義。矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換。 矩陣的運(yùn)算5.矩陣的初等變換（1）二階行列式設(shè)二元線性方程組如(式 3-10)所示。 (式 3-10)矩陣行列式1. 行列式定義用消元法求解(式 3-10)的步驟如下。消去未知數(shù) ，用 與 分別乘(式 3-10)中的兩個(gè)方程，并對(duì)這兩個(gè)方程進(jìn)行相減運(yùn)算，可得(式 3-11)。 (式 3-11)當(dāng) 時(shí)，求得方程組(式 3-10)的解為(式3-12)。 (式 3-12)

56、 其中分母 是由方程組(式 3-10)中的四個(gè)系數(shù)確定，把這四個(gè)系數(shù)按他們?cè)诜匠探M(式3-10)中的位置排序，排成2行2列（橫排稱(chēng)為行，豎排稱(chēng)為列）的數(shù)表 。矩陣行列式定義 3-8 代數(shù)式 稱(chēng)為數(shù)表 所確定的二階行列式，并記為 。數(shù) 稱(chēng)為行列式 的元素或元。 稱(chēng)為元素 的行標(biāo)，表明元素 位于第 行； 稱(chēng)為元素 的列標(biāo)，表明元素 位于第j列。上述二階行列式的定義可以用對(duì)角線法則來(lái)記憶， 如右圖所示，把 到 的實(shí)線稱(chēng)為主對(duì)角線， 到 的虛線稱(chēng)為副對(duì)角線，二階行列式即是 主對(duì)角線上的兩元素之積減去副對(duì)角線上兩元素之積所得的差。矩陣行列式利用二階行列式的概念，(式 3-12)中的分子也可寫(xiě)成二階行列式

57、，如(式 3-13)所示。 ， (式 3-13)若記 ， ， ，則(式 3-12)可寫(xiě)成(式 3-14)。 (式 3-14)要注意的是：行列式 D 是由方程組(式 3-10)的系數(shù)所確定的二階行列式（稱(chēng)為系數(shù)行列式）；行列式 是用常數(shù)項(xiàng) ， 替換 D 中第1列元素所得的二階行列式；行列式 是用常數(shù)項(xiàng) ， 替換 D 中第2列元素所得的二階行列式。矩陣行列式（2）三階行列式設(shè)有9個(gè)數(shù)排成3行3列的數(shù)表 ，可記為 ， 它表示的代數(shù)式為 。定義 3-9 稱(chēng)為數(shù)表 所確定的三階行列式 。矩陣行列式三階行列式含有6項(xiàng)，每項(xiàng)均為不同行不同列的三個(gè)元素的乘積再賦予正負(fù)號(hào)，其規(guī)律遵循如下圖所示的對(duì)角線法則：圖中

58、有三條實(shí)線看作是平行于主對(duì)角線的連線，三條虛線看作是平行于副對(duì)角線的連線，實(shí)線上三元素的乘積賦予正號(hào)，虛線上三元素的乘積賦予負(fù)號(hào)。矩陣行列式（3）克拉默法則前面介紹了二階行列式和三階行列式的求解方法，本節(jié)將推廣至 n 階行列式的情形。形如(式 3-15)所示的 n 元線性方程組，方程組中的方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等。 (式 3-15)矩陣行列式克拉默法則 如果(式 3-15)所示的線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，如(式 3-16)所示，那么線性方程組(式 3-15)有唯一解，如(式 3-17)所示。 (式 3-16) (式 3-17) 其中 是把系數(shù)行列式 D 中第 j 列的元素用方程組的常數(shù)項(xiàng)

59、 代替后所得的 n 階行列式，如(式 3-18)所示。 (式 3-18)矩陣行列式撇開(kāi)(式 3-17)求解公式，克拉默法則可敘述為如下定理。定理 3-1 如果(式 3-15)所示的線性方程組的系數(shù)行列式 ，則(式 3-15)一定有解，且解是唯一的。定理 3-1的逆否定理為：如果(式 3-15)所示的線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。定義 3-10 在(式 4-6)所示的線性方程組中，如果等式右端的常數(shù)項(xiàng) 不全為零時(shí)，那么(式 3-15)所示的線性方程組稱(chēng)為非齊次線性方程組；當(dāng) 全為零時(shí)，稱(chēng)(式 3-15) 所示的線性性方程組為齊次線性方程組。矩陣行列式定義311在(式31

60、5)所示的線性方程組中，由系數(shù)和常數(shù)組成的矩陣，稱(chēng)為線性方程組(式315)的增廣矩陣，如(式319)所示。 (式3-19)矩陣行列式對(duì)于(式 3-20)所示的齊次線性方程組， 一定是它的解，這個(gè)解稱(chēng)為該齊次線性方程組的零解。如果一組不全為零的數(shù)是(式 3-20)所示的齊次線性方程組的解，則稱(chēng)為該齊次線性方程組的非零解。齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解。 (式 3-20)矩陣行列式把定理 3-1應(yīng)用于(式 3-20)所示的齊次線性方程組，可得如下定理。定理 3-2 如果(式 3-20)所示的齊次線性方程組的系數(shù)行列式 ，那么該齊次線性方程組只有零解，而沒(méi)有非零解。定理 3-2的逆否定理