實(shí)習(xí)作業(yè)走進(jìn)微積分 (2)

1、走進(jìn)微積分高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-1第三章實(shí)習(xí)作業(yè)授課教師：盧向英授課班級(jí)：高二（4）班工作單位：金昌市第四中學(xué)一、人物簡(jiǎn)介 微積分的創(chuàng)立者牛頓萊布尼茲一、人物簡(jiǎn)介 牛頓(16431727)：是英國(guó)著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，是十七世紀(jì)最偉大的科學(xué)巨匠.代表作品有自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理.牛頓于 1642 年出生于一個(gè)貧窮的農(nóng)民家庭，艱苦的成長(zhǎng)環(huán)境造就了人類歷史上的一位偉大的科學(xué)天才，他對(duì)物理問(wèn)題的洞察力和他用數(shù)學(xué)方法處理物理問(wèn)題的能力，都是空前卓越的.盡管取得無(wú)數(shù)成就，他仍保持謙遜的美德. 一、人物簡(jiǎn)介 萊布尼茲（Leibniz，16461716）是德國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、自然科學(xué)家.他出身書(shū)香

2、門(mén)第，其父是萊比錫大學(xué)的哲學(xué)教授.他自幼聰明、勤奮、好學(xué)，是罕見(jiàn)的神童，15 歲（1661 年）考入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法學(xué)，并鉆研哲學(xué)與數(shù)學(xué)，18 歲（1664 年）獲得哲學(xué)碩士學(xué)位，20 歲（1666）年獲得法學(xué)博士學(xué)位，爾后從事外交事務(wù)，他是在和許多數(shù)學(xué)家的接觸中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)并開(kāi)始從事微積分研究的.二、牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分時(shí)所做的開(kāi)創(chuàng)性工作 牛頓從物理學(xué)出發(fā)，運(yùn)用集合方法研究微積分，其應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，造詣高于萊布尼茲.萊布尼茲則從幾何問(wèn)題出發(fā)，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則，其數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的. 萊布尼茲認(rèn)識(shí)到好的數(shù)學(xué)符號(hào)能節(jié)省思維勞動(dòng)，運(yùn)用符號(hào)的技

3、巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一.因此，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)（現(xiàn)在微積分通用的符號(hào)是萊布尼茲所創(chuàng)設(shè)的），這對(duì)微積分的發(fā)展有極大影響.三、微積分簡(jiǎn)介微積分學(xué)（differential andintegralcalculus）是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱.它是一種數(shù)學(xué)思想，“無(wú)限細(xì)分”就是微分，“無(wú)限求和”就是積分，無(wú)線就是極限.因此內(nèi)容主要包括函數(shù)、極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用.函數(shù)是微積分研究的基本對(duì)象，極限是微積分的基本概念，微分和積分是特定過(guò)程特定形式的極限.17世紀(jì)后半葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家艾薩克.牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家G.W.萊布尼茲，總結(jié)和發(fā)展了幾百年間前人的工作，建立了微積分，但他們的出發(fā)點(diǎn)是

4、直觀的無(wú)窮小量，因此尚缺乏嚴(yán)密的理論基礎(chǔ).19世紀(jì)A.-L.柯西和K.魏爾斯特拉斯把微積分建立在極限理論的基礎(chǔ)上；加之19世紀(jì)后半葉實(shí)數(shù)理論的建立,又使極限理論有了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ),從而使微積分的基礎(chǔ)和思想方法日臻完善.三、微積分簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分學(xué)和積分學(xué)也就立刻成為必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生，并且是由牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的.從15世紀(jì)初歐洲文藝復(fù)興時(shí)期起，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易的大規(guī)模發(fā)展，形成了一個(gè)新的經(jīng)濟(jì)時(shí)代，宗教改革與對(duì)教會(huì)思想禁錮的懷疑，東方先進(jìn)的科學(xué)技術(shù)通過(guò)阿拉伯的

5、傳入，以及拜占庭帝國(guó)復(fù)滅后希臘大量文獻(xiàn)的流入歐洲，在當(dāng)時(shí)的知識(shí)階層面前呈現(xiàn)出一個(gè)完全嶄新的面貌.三、微積分簡(jiǎn)介而十六世紀(jì)的歐洲，正處在資本主義萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展，生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展向自然科學(xué)提出了新的課題，迫切要求力學(xué)、天文學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科的發(fā)展，而這些學(xué)科都是深刻依賴于數(shù)學(xué)的，因而也推動(dòng)的數(shù)學(xué)的發(fā)展.科學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)提出的種種要求，最后匯總成多個(gè)核心問(wèn)題：（1）運(yùn)動(dòng)中速度與距離的互求問(wèn)題；（2）求曲線的切線問(wèn)題；（3）求長(zhǎng)度、面積、體積、與重心問(wèn)題等 ；（4）求最大值和最小值問(wèn)題；四、古代微積分公元前三世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積，螺旋下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的

6、體積的問(wèn)題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想.對(duì)于這方面的工作，古代中國(guó)毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國(guó)早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學(xué)不能比擬的！莊周所著的莊子一書(shū)的“天下篇”中記有“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”荀況（前313-238）的荀子大略中“盡小者大，積微者著”一語(yǔ)（使我們想起荀子的另一些名言:“不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江?！保?；三國(guó)時(shí)期劉徽的“割圓術(shù)”.五、微積分的研究對(duì)象以及基本概念研究對(duì)象：函數(shù)的微分、積分、極限以及有關(guān)概念和應(yīng)用；基本概念：極限、導(dǎo)數(shù)、積分等.1.極限是微積分中的基礎(chǔ)概念，它指的是變量在一定的變化過(guò)程中，從總的來(lái)說(shuō)逐漸穩(wěn)定的這樣一種變化趨勢(shì)以及所趨向的

7、值（極限值）.極限的概念最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴(yán)格闡述.在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)分析教科書(shū)中，幾乎所有基本概念（連續(xù)、微分、積分）都是建立在極限概念的基礎(chǔ)之上.2.導(dǎo)數(shù)（Derivative）是微積分中的重要基礎(chǔ)概念.當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量的增量與自變量的增量之商的極限.一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí)，稱這個(gè)函數(shù)可導(dǎo)或者可微分.可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù).不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo).導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)求極限的過(guò)程，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則來(lái)源于極限的四則運(yùn)算法則.五、微積分的研究對(duì)象以及基本概念五、微積分的研究對(duì)象以及基本概念 不定積分：在微積分中，一個(gè)函數(shù)f的不定積分，或原函數(shù)，或反導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)導(dǎo)數(shù)等于f 的函數(shù) F

8、，即F = f.不定積分和定積分間的關(guān)系由微積分基本定理確定.其中F是f的不定積分.這樣，許多函數(shù)的定積分的計(jì)算就可以簡(jiǎn)便地通過(guò)求不定積分來(lái)進(jìn)行. 設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù),我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+ C(C為任意常數(shù)）叫做函數(shù)f(x)的不定積分,記作f(x)dx或者f（高等微積分中常省去dx),即f(x)dx=F(x)+ C.其中叫做積分號(hào),f(x)叫做被積函數(shù),x叫做積分變量,f(x)dx叫做被積式,C叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過(guò)程叫做對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分.五、微積分的研究對(duì)象以及基本概念六、微積分的創(chuàng)立和發(fā)展 微積分的產(chǎn)生一般分為三個(gè)階段：極限概念；求積

9、的無(wú)限小方法；積分與微分的互逆關(guān)系.最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的.前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學(xué)家一直追溯到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻(xiàn).對(duì)于這方面的工作，古代中國(guó)毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國(guó)早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學(xué)不能比擬的.六、微積分的創(chuàng)立和發(fā)展 微積分的創(chuàng)立，與其說(shuō)是數(shù)學(xué)史上，不如說(shuō)是人類歷史上的一件大事.時(shí)至今日，它對(duì)工程技術(shù)的重要性就像望遠(yuǎn)鏡之于天文學(xué)，顯微鏡之于生物學(xué)一樣.它的出現(xiàn)并不偶然，它有一個(gè)漫長(zhǎng)的成長(zhǎng)過(guò)程.早在古希臘時(shí)代，阿基米德等人的著作就已含有積分學(xué)的萌芽.以后經(jīng)過(guò)一千多年的沉寂，歐洲在文藝復(fù)興以后對(duì)阿基米德的學(xué)說(shuō)重新掀起研究的熱潮，涌現(xiàn)出許多先驅(qū)者

10、.而微積分真正的確立是在17世紀(jì)，從笛卡兒的解析幾何開(kāi)始，接著是微積分的創(chuàng)建，它將數(shù)學(xué)的歷史帶入一個(gè)新的時(shí)期變量數(shù)學(xué)時(shí)期.歐氏幾何也好，上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)也好，都是一種常量數(shù)學(xué)，微積分才是真正的變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)中的大革命.六、微積分的創(chuàng)立和發(fā)展 微積分在數(shù)學(xué)發(fā)展史上可以認(rèn)為是一個(gè)偉大的成就，由于微積分的創(chuàng)立不僅解決了當(dāng)時(shí)的一些重要的科學(xué)問(wèn)題，而且由此產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的一些重要分支，如微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)、微分幾何、變分法、復(fù)變函數(shù)等. 微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支，不只是局限在解決力學(xué)中的變速問(wèn)題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績(jī).在微積分的創(chuàng)立過(guò)程中，牛頓、萊布尼茲以無(wú)窮思想

11、為據(jù)，成功地運(yùn)用無(wú)窮小、無(wú)限過(guò)程進(jìn)行運(yùn)算，他們的努力和成就為極限思想的進(jìn)一步發(fā)展和完善奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)而多方面的懷疑和批評(píng)，促使數(shù)學(xué)家們掀起了微積分乃至整個(gè)分析的嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而使極限理論得到了完善.七、微積分思想的一些代表性工作劉徽于公元263年首創(chuàng)割圓術(shù)求圓面積和方錐體積;中國(guó)古代數(shù)學(xué)家利用割圓術(shù)用圓內(nèi)接正九十六邊形的面積近似代替圓面積的方法求圓周率;古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在拋物線求積法中用究竭法求出拋物線弓形的面積;意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在1635年出版的連續(xù)不可分幾何中把曲線看成無(wú)限多條線段（不可分量）拼成的.八、微積分在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用1.設(shè)計(jì)師在設(shè)計(jì)鋼板需要用微積分計(jì)算不規(guī)則物體的表面積、體積等這樣不但節(jié)省材料還能保證質(zhì)量.2.導(dǎo)彈發(fā)射、衛(wèi)星、航天飛機(jī)、宇宙飛船、天文學(xué)中計(jì)算引力做功、軌道及運(yùn)營(yíng)情況等.3.設(shè)計(jì)拱橋、天氣預(yù)報(bào)、計(jì)算盈利情況、投資風(fēng)險(xiǎn)、期望值、回報(bào)率、保險(xiǎn)行業(yè).九、微積分的有關(guān)書(shū)籍微積分學(xué)教程 -菲赫金哥爾茨 微積分與比薩餅 -（美）克利福德 A皮科夫 微積分之屠龍寶刀(笑傲極限連續(xù)導(dǎo)數(shù)積分法) -(美國(guó))C亞當(dāng)斯等著、張菽譯高等數(shù)學(xué)（一）微積分 -高汝熹十、總結(jié)