第十講-數(shù)陣圖教案

1、第十講數(shù)陣圖數(shù)陣圖問題千變?nèi)f化,需要綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知國來解決問題，而往往小孩 子喜歡毫無順序的W瞎試二本講襄介紹一些通用的方法.所以，一般是先用公 式法分析出關(guān)鍵數(shù)字.再用嘗試法進(jìn)擰試填.本講包括犒射型數(shù)伸圖I封閉型.數(shù)陣圖，復(fù)合型數(shù)陣圖.我他類中!數(shù)陣圖.一輻射也數(shù)陣圖方法一:祟區(qū)法：在給的是一個等步數(shù)列.并且是每條線上是缶數(shù)個數(shù)時. 中間數(shù)只能填最大數(shù)，最小數(shù)或中間數(shù),閑此可以依據(jù)這個規(guī)律進(jìn)行嘗試.【這個規(guī)律需瞿用數(shù)論的知識證明，低年級牢H會用即可。也可以這樣理解:去 抻中間數(shù)時剩下的數(shù)腳該兩兩一對，捋對和相等，因此最中間數(shù)只能填最大數(shù)， 最小數(shù)或中間麴）方法二:公式法二線和x緩效=效字

2、和+重疊數(shù)x聿疊次效重登次數(shù)線數(shù)希望傳子們從現(xiàn)在起盡量練習(xí)公式法 H-：為位子順利接受方程做鋪空工 其二土有些復(fù)雜題嘗試的方法頭緒繁多.行燈能會走很多彎路.更多的時候是兩 大方法靈活的結(jié)合使用。一般是先用公式法分析出關(guān)鍵數(shù)字，在用嘗試法進(jìn)行試 填卜面通近一個簡單的例題來說明一下。例5： 1200s年第八屆*春雷杯“小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽） 將廠11填入下圖的各個圓圈內(nèi).使每條線段上的 三個圓圈內(nèi)的數(shù)的和都等F 18,分析與答；方法一：學(xué)試法）根據(jù)規(guī)律，最中間數(shù)只能填最大數(shù)1L最小數(shù)1或中間 數(shù)6.（因?yàn)槿マ又虚g數(shù)時剩卜的數(shù)應(yīng)該兩兩一時.分成5對、每對和相等.【因 此最中間數(shù)只能填最大數(shù)1L最小數(shù)1或中

3、間數(shù)6）因此本題有三種填法，再結(jié)合”使每條線段上的三個圓圈內(nèi)的數(shù)的和都等于 18”這介條件，只有中間數(shù)為6時滿足題意這是孩子們通常最尊歡用的方法.）方法二：公式法）栽和X線數(shù),數(shù)字和+重疊數(shù)X重售次數(shù)重疊次數(shù)三線數(shù)-1）對于本題，線和（已知）=18,線數(shù)=5,數(shù)字和 =1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66,重座數(shù)為中間數(shù),近度 次數(shù)（即多算次數(shù)）為5-1=4 （因?yàn)橹虚g數(shù)在數(shù)字和里算過一次.這樣就可以計(jì)算出中間數(shù)的值1等號左邊：5X18=90數(shù)字和 t 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=6690-66=24中間數(shù)為24?。?-1 =6*即“真.相只有一個”二，封閉

4、型數(shù)陣圖通用公式；線和X線數(shù)=數(shù)字和+重桎數(shù)之和例題二：把19這9個數(shù)，分別填在下圖 9個園中,使得三角形每條邊的四個圓圈之和為23.分析與答，線和X線數(shù)分?jǐn)?shù)字和十重橙數(shù)之和線和（已打）立3,線數(shù)為數(shù)字和 = l+2 + 3+4+5+G+78+9=4S . E 求 得重拄 數(shù)之和 A4-B+=69-45=24. 24=7+8+9,本題三個頂點(diǎn)處的填法唯一. a+b=23-7-8=8Jc+d=23-8-9=6,e+f=2i-7-9=76,7,8 存在以卜兩種分法,閑此本題有兩種情況.如下圖16=1+5,7=3+48=2+66=2+47=1+6,8=3+5A例3：將廠6填入左下圖的6個圓中，使三角

5、形每條邊上的三個數(shù) 之和都等于K.請指出K的取值范用.分析。答：這道題和剛才題目的不同之處在于，這道題沒有給 出線和（即K）,讓同學(xué)們自己判斷k值線和X線數(shù)=數(shù)字和+重疊數(shù)之和線和為K,線數(shù)為3條，數(shù)字和為1+2+3+4+5+6=21,重疊數(shù)之和為A+B+C,列式如下：3K=21+A+B+C數(shù)陣圖的好多題都要結(jié)合數(shù)論中余數(shù)（或整除）的知識進(jìn)行分析。3K為3的倍數(shù)，21為3的倍數(shù)，那么A+B+C只能也是3的倍數(shù)，而6=l+2+3WA+B+CW4+5+6=15,因此 A+B+S6、9、12. 15。因此這道題需要分四種情況討論：3K=21+A+B+CI 當(dāng) A+B+C=6 時，K=9:II 當(dāng) A

6、+B+J9 時,K=10:DI當(dāng) A+B+C=12 時,K=ll；N 當(dāng) A+B+C=15 I 匯 K=12附，本題至此已經(jīng)做完，如果增加一間，各給出一種填法.繼續(xù)解答如下, I當(dāng)A+B+C=6, K=9時.由于6=1十2+3因此只有一種填法工H 當(dāng) A+B+C=9, K=10 時，9=l+2+6=l+3+5=2+3M.只有 1+3+5 存在滿足題意 的填法。II 當(dāng) A+B+C=9, K=10 時.9=1+2+6=1+3+5=2+3+4,只有 1+345 存在滿足題意 的填法。III與 A+B+812. K=ll 時,12=1+5+6=2+4+6=3+4+5,只有 2+4+6 存在滿足題IV

7、當(dāng)A+B+O15. K=12時,12U+5+6因此只有一種填法:綜上，本題存在4種填法.例2：把1、2、？、4、5、6、7、8八個數(shù)字堞入下 圖中的圓內(nèi)，使正方形斑條邊上的三個數(shù)之和都等于1，分析與售：線和X線數(shù)=數(shù)字和+重卷數(shù)之和13X4= （1+2+3+4+5+6+7+8） +A+B+C+DA+B+C+D=16從1-8中選四個數(shù)和為16,將16分拆.有如下7種方法:16=l+2+5+8=l+2+6+7=l+3+4+8=l+3+5+7=lM+5+6=2+3M+7=2+3+5+6這四數(shù)之中如果有任意3數(shù)之和與線和13相等的話，就必 然會產(chǎn)生重復(fù)數(shù)字：例如1+3+4+8中1+4+8N13這7種中

8、首先可以排除掠4種：1+3+4+8=143+5+7=2+3+4+7=2+3+5+6（只要有16-13=3的就都排除就可以了）16=1+2+5+8=1+2+6+7=1+4+5+6,經(jīng)試驗(yàn)，1+246+7 找不到合適的填法小結(jié)；對于稍復(fù)雜的數(shù)陣圖，不要拿到題目就開始試填，一定要先用數(shù)學(xué)知 識分析題目，找到突破口，（本題是4個頂點(diǎn)的數(shù)字和為16）,這樣還有一個好 處就是可以按一定順序把所有情況都想到.例7, 19分別填入小三角形內(nèi)（留個小三角形內(nèi)只填 TOC o 1-5 h z 一個數(shù)），要求宛近大三角形的三條邊的每五個數(shù)相加和A相等，想一想，怎樣蟆這些數(shù)才能使五個數(shù)的和盡可能大/ 一分析與答：拿到

9、本題孩子們可能有點(diǎn)亳無頭緒仔細(xì)觀/察就會發(fā)現(xiàn)這個圖就是一個封閉型數(shù)陣圖.A A /最上方兩個、左下用兩個、右下角兩個三角形在算和 /的時候始終都作為一個整體那么就哲時先把他們當(dāng)做一 個整體，記為A、B、CA. B、C在頂點(diǎn)處,各算兩次：a,b,c在邊上，各 算一次；最終的目標(biāo)是使每條邊上的五個數(shù)的和 盡叫陡大，那么應(yīng)該讓A. B、C較大：a,b,C取最 小的數(shù)l,2,3o 用公式理解：設(shè)線和為K 線和乂線數(shù)=數(shù)字和+重疊數(shù)之和 3K= （1+2+3+4+5+6+7+8+9） +A+B+C想讓K大,A+B+C盡量大.a,b,c盡量小，即取最 小的數(shù) 1,2,3。此時 A+B+C=4+5+6+7+

10、8+9=45-6=39.即 3K= （1+2+3+4+5+6+7+8+9） +39=84K=28 （這一步很關(guān)鍵，是后面湊數(shù)的方向）此時數(shù)感較好的孩子經(jīng)過幾次嘗試調(diào)配之后已經(jīng)可以湊出結(jié)果了（可用大配小原則）還可以用以下方法解答： TOC o 1-5 h z A+B=28-2=26A+C=28-3=25B+C=28l=27里是三元一次方程州.可是輪換式的方程如可轉(zhuǎn)化 成和差問題，得B-C=l B+C=27B=14, C=13. A=1212=4+8, 13=6+7 , 14=5+912=5+7 , 13=4+9 , 14=6+8得到本題的兩個解，當(dāng)然，每組兩個數(shù)位置可交換，旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)得到的就算一

11、種?！靖剑狠啌Q式方程的通用解法: TOC o 1-5 h z A+B=28-2=26A+C=28-3=25B+C=23-l=27+十, 2（A+B+C）=25+26+27=78 ,則 A+B+C=39，C=13-，B=14- A=12三、復(fù)合型數(shù)陣圖綜合了輻射型和封閉型數(shù)陣圖的特點(diǎn)，耍具體情況具體分析例4：下圖中有三個正三角形，將1-9 填入它們頂點(diǎn)處9個圓中，要求：(1)每個正三角形頂點(diǎn)的三數(shù)之和 都相等：(2)通過四個圓的每條直線的四數(shù) 之和也相等。分析與答：本題有2點(diǎn)要求對于第1點(diǎn)要求，可求出每個正三角形 頂點(diǎn)的三數(shù)之和都為(1+2+3+4+5+6+7+8+9) 3=15,即 A+B+C

12、=15,再結(jié)合第二點(diǎn)要求.設(shè)通過四個圓的每 條直線的四數(shù)之和為K,再結(jié)合第二點(diǎn)要求,線和X線數(shù)=數(shù)字和重疊數(shù)之和重疊數(shù)之和為A+B+C=153K= (1+2+3+4+5+6+7+8+9) +15可求出K=20本題轉(zhuǎn)化為：將廣9填入它們頂點(diǎn)處9個圓中，要求：(1)每個正三角形頂點(diǎn)的三數(shù)之和都為15:(2)通過四個園的每條直線的四數(shù)之和也相等20。第一個條件相當(dāng)于將，f9這九個數(shù)分為三個一組，且每組三個數(shù)的和為1S. 只有如下兩種分法：15 =145+9=2+6+7=3+4+815 =1+6+8=2+4+9=3+5+7結(jié)合通過四個圓的每條直線的四數(shù)之和也相等20”這個條件對于第一種情況，只有A、B

13、、C分別取1、5、9時可以找到滿足題意的填法： 對于第二種情況，只有A、B、C分別取3、5、7時可以找到滿足題意的填法.II當(dāng)中間數(shù)為3時,K=14例&能否將0.123,4,5,6,7,8,9分別填入下圖的各個圓圈內(nèi),使得各陰影三角形的3個頂點(diǎn)的數(shù)之和相 等？分析與答：復(fù)雜問題，千萬不能上來就試.這樣 可能會繞很多彎路，仔細(xì)觀察就會發(fā)現(xiàn)： 全部散字之和:中間數(shù)+3個陰影三角形數(shù)字和（如下圖所示因此，設(shè)每個陰影三用形的3個頂點(diǎn) 的數(shù)字和為K,得+1+2+3+4+5 +6+7+8+9=|間數(shù)+3K即45=中間數(shù)+3K中間數(shù)為3的倍數(shù)，只能是。、3、G、9, 45=中間數(shù)+3KI當(dāng)中間數(shù)為。時，K=

14、15H當(dāng)中間數(shù)為3時，K=14川當(dāng)中間數(shù)為6時，K=13IV當(dāng)中間數(shù)為9時，K=12I當(dāng)中間數(shù)為。時,K=15A+B=C+D=E+F=15,而 lS=6+9=7+8必然會出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字,因此沒有合適填法:A+B=C+D=E+F=14.而14=2+9=4+7=5+63已經(jīng)為中間數(shù)） 經(jīng)試驗(yàn)，即可得到川中間數(shù)為6時，K=13IV當(dāng)中間數(shù)為9時，K=12A+B=C+D=E+F=12-9=3 T5 3=3+0= 1+2A+B=C+D=E+F=12.9=3,而 3=3+01+2必然會出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字,因此沒有合適填法:四、其他類型數(shù)陣圖例6： 20以內(nèi)共有10個奇數(shù)，去掠9和15還剩八個奇數(shù)，將這八個奇數(shù)填入卜.圖的 八個圈中（其中3已填好），使得圖中用箭頭 連接起來的四數(shù)之和相等.分析與答：由圖可看出，三組數(shù)都包括左 右兩端的數(shù)，所以本題相當(dāng)于要求每綱中間兩 數(shù)之和相等?，F(xiàn)在相當(dāng)于把剩下的數(shù)字兩兩分 組，每組和相等，最后剩下的數(shù)字填到最右邊.所以本題有兩種填法（右邊數(shù)字相同算作一種）超常123班學(xué)案4(北京四中小升初真題): 在下圖的7個圓內(nèi)填入7個連續(xù)自然數(shù)，使得 每兩個相鄰圓內(nèi)所填數(shù)的和都等于連線上的已 知數(shù).那么標(biāo)有的圓內(nèi)填的數(shù)是多少？分析與答：方法一