線性代數(shù)課件第五節(jié)

1、第五節(jié) 行列式按一行（列）展開一、余子式、代數(shù)余子式的概念二、行列式按行（列）展開法則2三階行列式與二階行列式的關(guān)系3其中分別稱為的余子式，分別稱為的代數(shù)余子式。數(shù)余子式的乘積之和。3階行列式等于它的第一行元素與自己的代說明：上述結(jié)論對于n階行列式的任意一行也成立。猜想：4 階行列式中, 把元素稱為而的代數(shù)余子式在所在的第行和第列劃去后, 留下來的階行列式稱的余子式, 記作如：一、余子式與代數(shù)余子式定義：為元素5式和一個代數(shù)余子式。行列式的每個元素分別對應(yīng)著一個余子注：6一個n 階行列式,如果其中第例如引理行所有元素除外都為零，那末這個行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即二、行列式按行（列）展

2、開法則7當(dāng) aij 位于第一行第一列時,又從而證明8把D的第i行依次與第i-1行,i-2行,1行對調(diào),得若aij位于第i行第j列,9把D的第j列依次與第j-1列,j-2列,1列對調(diào),得1011中的余子式在中的余子式也是在12于是有13 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即證定理1415 用行列式按行（列）展開法則可將行列式降階。 將計算1個三階行列式轉(zhuǎn)換為計算3個二階行列式。一個n 階行列式按行（列）展開后，得到 n個n-1階行列式，可以減少計算量。如說明：16計算行列式的基本方法之二 先利用行列式的性質(zhì)將行列式的某一行(列)許多元素化成0，然后再按這一行(列)展

3、開。這樣繼續(xù)下去，總可以將一個高階行列式的求值問題轉(zhuǎn)化成2階行列式的求值問題, 從而大大簡化了計算。 為了盡量避免分?jǐn)?shù)運算，盡可能選擇1或-1所在的行(或列)把該行(或列)的許多元素化成0，然后按該行(或列)展開。說明17例118例2計算行列式（書 P22例152）解19例3證明證按行列式第一行展開左端20用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：21問題： 把下述3階行列式的第1行元素與第2行相應(yīng)元素的代數(shù)余子式相乘再相加，結(jié)果如何呢？ 說明：3階行列式的第1行元素與第2行相應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0。 猜想：n階行列式也有類似結(jié)論. =0把D中的第2行元素?fù)Q成第1行元素, 得下述行列式, 按第二行展開 =22 行列式D的任一行(列)的元素與另一行(列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零， 即證定理設(shè)把D中的第j行元素?fù)Q成第i行元素，得下述行列式230由于行列式的行與列的地位對稱，因此也有將該行列式按第j行展開, 得24如上兩個定理可以寫成25例4設(shè)n 階行列式求第一行各元素的代數(shù)余子式之和解：第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成2627 證用數(shù)學(xué)歸納法例5證明范德蒙德(Vandermonde)行列式28看n 階范德蒙行列式，假設(shè)（1）對于 n-1階范德蒙行列式成立，按第1列展開，并把每列的公因子提出，就有29 n-1