圓錐曲線最值問題常見類型以及解法

1、關(guān)于圓錐曲線的最值問題常見類型及解法第一張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月類型一:兩條線段最值問題 利用圓錐曲線的定義求解 根據(jù)圓錐曲線的定義，把所求的最值轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)線之間的距離等，這是求圓錐曲線最值問題的基本方法。關(guān)鍵：用好圓錐曲線的定義第二張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例1、已知點(diǎn)F是雙曲線 的左焦點(diǎn)，定點(diǎn) A（1，4），P是雙曲線右支上動點(diǎn)，則的最小值為 . 思維導(dǎo)圖：根據(jù)雙曲線的定義，建立點(diǎn)A、P與兩焦點(diǎn)之間的關(guān)系兩點(diǎn)之間線段最短FAPyx第三張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例1、已知點(diǎn)F是雙曲線 的左焦點(diǎn)，定點(diǎn) A（1，4），P是雙曲

2、線右支上動點(diǎn)，則的最小值為 . 解析：設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為F/FAPyx第四張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例2： 如圖，由橢圓的定義：橢圓上的點(diǎn)到兩個定點(diǎn)之間的距離為定值|MF|+|MF|=10|MF|+|MA|=10- |MF|+|MA|=10+ (|MA|-|MF|)10+ |AF|因此，當(dāng)|AF|最大時， |MA|+|MF|是最大值。具體解題過程如下：已知橢圓 的右焦點(diǎn)F，且有定點(diǎn)A（1，1），又點(diǎn)M是橢圓上一動點(diǎn)。問|MA|+|MF|是否有最值，若有，求出最值并指出點(diǎn)M的坐標(biāo)分析：第五張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月則F的坐標(biāo)為(4,0)解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F由橢圓的

3、定義得：|MF|+|MF|=10|MF|+|MA|=10- |MF|+|MA|連AF，延長交橢圓于M則| |MA|-|MF| | |AF|當(dāng)且僅當(dāng)M,A,F三點(diǎn)共線時，等號成立。 |MA|-|MF|的最大值為 |AF|，這時M與M 重合 |AF|= |MF|+|MA| 的最大值為要使|MF|+|MA|最大，即要使|MA|-|MF|最大，問題：本題解題到此結(jié)束了嗎？最小值為 第六張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月變式訓(xùn)練： 已知P點(diǎn)為拋物線 上的點(diǎn)，那么P點(diǎn)到點(diǎn)Q（2，-1）的距離與P點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離之和的最小值為 _ _，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為 _.Qxy第七張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2

4、022年6月類型二：圓錐曲線上點(diǎn)到某條直線的距離 的最值切 線 法 當(dāng)所求的最值是圓錐曲線上點(diǎn)到某條直線的距離的最值時，可以通過作與這條直線平行的圓錐曲線的切線，則兩平行線間的距離就是所求的最值，切點(diǎn)就是曲線上去的最值時的點(diǎn)。第八張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例1：在圓x2+y2=4上求一點(diǎn)P，使它到直線L：3x-2y-16=0的距離最短。略解：圓心到直線L的距離d1= 所以圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為 d=d1-r思考： 例1是否還有其他解題方法？問題：直線L的方程改為 3x-2y-6=0， 其結(jié)果又如何？第九張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月圓上的點(diǎn)到直線的最短距離即為兩

5、平行直線間的距離另解：設(shè)平行于直線L且與圓相切的直線方程：3x-2y+m=013x2+6mx+m2-16=0直線與圓相切=36 m2-52(m2-16)=0 m=m2=52，代入圓x2+y2=4整理得：第十張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例2、求橢圓 上的點(diǎn)到直線 的距離的最大值和最小值，并求取得最值時橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo).思維導(dǎo)圖：求與 平行的橢圓的切線切線與直線 的距離為最值，切點(diǎn)就是所求的點(diǎn). xyo第十一張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例2、求橢圓 上的點(diǎn)到直線 的距離的最大值和最小值，并求取得最值時橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo).解：設(shè)橢圓與 平行的切線方程為 第十二張，PPT共三十三

6、頁，創(chuàng)作于2022年6月變式訓(xùn)練： 動點(diǎn)P在拋物線 上，則點(diǎn)P到直線 的距離最小時，P點(diǎn)的坐標(biāo)為_.第十三張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例3 求點(diǎn) 到橢圓 上點(diǎn)的最大距離，并求出此時橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)。本題可以根據(jù)橢圓的方程設(shè)出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式借助于二次函數(shù)求出此最大值，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：類型三：圓錐曲線上點(diǎn)到x軸（Y軸）上某 定點(diǎn)的距離的最值第十四張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月此時，所以 的最大值為即此時Q的坐標(biāo)為：設(shè)點(diǎn) Q(x,y)為橢圓 上的任意一點(diǎn)，則又因?yàn)閤2 = 4- 4y2 所以（1y1）解：例3 求點(diǎn) 到橢圓 上點(diǎn)的最大距離

7、，并求出此時橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)。第十五張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題：第十六張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月變式訓(xùn)練： 已知雙曲線C： ，P為C上任一點(diǎn)，點(diǎn)A（3，0），則|PA|的最小值為_.第十七張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例1： 已知拋物線y2=4x，以拋物線上兩點(diǎn)A(4,4)、B(1,-2)的連線為底邊的ABP，其頂點(diǎn)P在拋物線的弧AB上運(yùn)動，求： ABP的最大面積及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)。 動點(diǎn)在弧AB上運(yùn)動，可以設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，只要求出點(diǎn)P到線段AB所在直線AB的最大距離即為點(diǎn)P到線段AB的最大距離，也就求出了ABP的最大面積。 要使ABP的面積最大

8、，只要點(diǎn)P到直線AB的距離d最大。設(shè)點(diǎn)P( )解：由已知： |AB|=2x-y-4=0直線AB：*解題過程如下：*分析：類型四第十八張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月d=由已知：2y4dmax=此時，y=1, x = d =點(diǎn)的坐標(biāo)為( ，1 )Smax=第十九張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 我們可以連接AB，作平行AB的直線L與拋物線相切，求出直線L的方程，即可求出直線L與AB間的距離，從而求出ABP面積的最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo)。分析：y2-2y+2m=0設(shè)直線L與拋物線 y2=4x相切，直線AB：2x-y-4=0直線L的方程為：2x-y+m=0 （*）=4-8m=0,m=此

9、時，y=1,x= 直線L的方程為：2x-y+ =0兩直線間的距離d=另解：把（*）代入拋物線的方程得其他過程同上。第二十張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月回顧反思與能力提升：1、此法用了哪種數(shù)學(xué)思想方法？2、有沒有別的辦法？3、要注意畫出草圖，根據(jù)圖形確定何時取最大 值，何時取最小值.第二十一張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月類型五:基本不等式法 先將所求最值的量用變量表示出來，再利用基本不等式求這個表達(dá)式的最值. 這種方法是求圓錐曲線中最值問題應(yīng)用最為廣泛的一種方法.第二十二張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例4、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)A（2，0）、B（0，1）是它的兩

10、個頂點(diǎn)，直線 與橢圓交于E、F兩點(diǎn)，求四邊形AEBF面積的最大值.AFEBxy思維導(dǎo)圖：用k表示四邊形的面積根據(jù)基本不等式求最值 第二十三張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例4、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)A（2，0）、B（0，1）是它的兩個頂點(diǎn)，直線 與橢圓交于E、F兩點(diǎn)，求四邊形AEBF面積的最大值.解析：依題意設(shè)得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 直線AB、EF的方程分別為 設(shè)第二十四張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式及上式，點(diǎn)E、F到AB的距離分別為四邊形AFBE的面積為第二十五張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十六張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月變式訓(xùn)

11、練： 已知橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1的直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且ACBD，求四邊形ABCD面積的最小值.第二十七張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月方法四:函 數(shù) 法 把所求最值的目標(biāo)表示為關(guān)于某個變量的函數(shù)，通過研究這個函數(shù)求最值，是求各類最值最為普遍的方法.關(guān)鍵：建立函數(shù)關(guān)系式第二十八張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例5、點(diǎn)A、B分別是橢圓 的長軸的左右端點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，P在橢圓上，位于x軸的上方，且PAPF若M為橢圓長軸AB上一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|.求橢圓上點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值.xyABFMP思維導(dǎo)圖：把所求距離表示為橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的函數(shù)求這個函數(shù)的最小值 第二十九張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月解析：由已知可得點(diǎn)A(-6，0)、F(4,0),設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則由(1)、(2)及y0得AP的方程為第三十張，PPT共三十三頁，創(chuàng)作于2022年6月