3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例 (3)

1、3.4 生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例 生活中經(jīng)常會(huì)遇到求什么條件下可使用料最省，利潤(rùn)最大，效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題.這往往可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題.其中不少問(wèn)題可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一有力工具加以解決.復(fù)習(xí)：如何用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)的最值？ 一般地，若函數(shù)y=f (x)在a，b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則求f (x) 的最值的步驟是：（1）求y=f (x)在a，b內(nèi)的極值(極大值與極小值)；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f (a)、f (b) 比較， 其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值. 特別地，如果函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則這個(gè)極值一定是最值。例1：海報(bào)版面尺

2、寸的設(shè)計(jì) 學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖3.4-1所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm，如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空白面積最小？解:設(shè)版心的高為dm,則版心的寬為dm，此時(shí)四周空白面積為 = 令 于是寬為 =8因此, =16是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為時(shí)8dm，能使四周空白面積最小。如何解決優(yōu)化問(wèn)題?優(yōu)化問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題的答案用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題規(guī)格（L）21.250.6價(jià)格（元）5.14.52.5問(wèn)題情景二：飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響 下面是某品牌

3、飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，若它們的價(jià)格如下表所示，則（1）對(duì)消費(fèi)者而言，選擇哪一種更合算呢？（2）對(duì)制造商而言，哪一種的利潤(rùn)更大？例1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤(rùn)何時(shí)最大，何時(shí)最小呢？r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+減函數(shù)增函數(shù)-1.07p解：每個(gè)瓶的容積為:每瓶飲料的利潤(rùn)：解：設(shè)每瓶飲料的利潤(rùn)為y，則r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+減函數(shù)增函數(shù)f (r)在(2，6上只有一個(gè)極值點(diǎn)由上

4、表可知，f (2)=-1.07p為利潤(rùn)的最小值-1.07p例1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤(rùn)何時(shí)最大，何時(shí)最小呢？解：設(shè)每瓶飲料的利潤(rùn)為y，則當(dāng)r(0，2)時(shí)，而f (6)=28.8p，故f (6)是最大值答：當(dāng)瓶子半徑為6cm時(shí)，每瓶飲料的利潤(rùn)最大，當(dāng)瓶子半徑為2cm時(shí)，每瓶飲料的利潤(rùn)最小.例1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的

5、飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤(rùn)何時(shí)最大，何時(shí)最小呢？231、當(dāng)半徑為2cm時(shí),利潤(rùn)最小,這時(shí)f(2)0,2、當(dāng)半徑為6cm時(shí)，利潤(rùn)最大。從圖中可以看出:從圖中，你還能看出什么嗎？問(wèn)題3:如何使一個(gè)圓形磁盤儲(chǔ)存更多信息?例3 磁盤的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題:磁道扇區(qū)基本單元 比特解：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù)(1) 它是一個(gè)關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大。(2) 為求f(r)的最大值，先計(jì)算解得解決優(yōu)化問(wèn)題的方法之一： 通過(guò)搜集大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得到解決在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個(gè)有力的工具，其基本思路如以下流程圖所示優(yōu)化問(wèn)題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題的答案練習(xí)問(wèn)題1:汽油的使用效率何時(shí)最高? 我們知道,汽油的消耗量w(單位:L)與汽車的速度v(單位:km/h)之間有一定的關(guān)系,汽油的消耗量w是汽車的速度v的函數(shù).根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn),思考下列兩個(gè)問(wèn)題:(1)是不是汽車的速度越快,汽油的消耗量越大?(2) “汽油的使用效率最高”的含義是什么?汽油的使用效率G=汽油的消耗量w/汽車行使路程s, 即:G=w/s求G的最小值問(wèn)題斜