2021-2022學(xué)年福建省廈門市第一中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、2021-2022學(xué)年福建省廈門市第一中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，只有一項是符合題目要求的.1. 乘積展開后的項數(shù)是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】由題意可知乘積展開后的項數(shù)是.故選：C.2. 設(shè)隨機(jī)變量，若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對立事件的概率公式，先求出p，再依二項分布的期望公式求出結(jié)果【詳解】由，所以，解得所以，則故選：C3. 若，則k等于（ ）A. 3B. 6C. 6或2D. 6或3【答案】C【解析】【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)有，又，從而即可求

2、解.【詳解】解：由組合數(shù)的性質(zhì)有，即，因為，所以，又，所以或，故選：C.4. 已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）A. 1B. 0C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】當(dāng)，直接計算函數(shù)的零點，當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合零點存在性定理，即可判斷函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】當(dāng)時，得，即，成立，當(dāng)時，得，設(shè)，得或（舍），當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以時，函數(shù)取得最大值，根據(jù)零點存在性定理可知，存在1個零點，綜上可知，函數(shù)有2個零點.故選：D5. 平面內(nèi)三個單位向量，滿足，則（ ）A. ，方向相同B. ，方向相同C. ，方向相同D. ，兩兩互不共線【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，得，兩

3、邊利用單位向量平方等于1，即可求出，解得，方向相同.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以所以，所以，方向相同，故選：A.6. 全國上下團(tuán)結(jié)一致、共同抗疫，很快疫情過后，陽光燦爛，甲乙兩位游客通過某同學(xué)介紹來到鷺島廈門旅游，分別從鼓浪嶼、植物園、環(huán)島路和曾厝峖共4個著名旅游景點中隨機(jī)選擇其中一個景點游玩，記事件：甲和乙至少一人選擇鼓浪嶼，事件B:甲和乙選擇的景點不同，則條件概率（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用條件概率求解.【詳解】解：事件A的基本事件有個，事件B的基本事件有個，所以，故選：D7. 記雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與的左支交于兩點，且，以

4、線段為直徑的圓過點，則的漸近線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)，在中，結(jié)合雙曲線定義，利用勾股定理可構(gòu)造方程求得；在中，利用勾股定理和雙曲線的關(guān)系可求得，由此可得漸近線方程.【詳解】設(shè)，由得：；由雙曲線定義可知：，；線段為直徑的圓過點，；在中，即，解得：；在中，即，即，則的漸近線方程為.故選：C.8. 已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則下列不等式正確的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，由已知條件得在，上單調(diào)遞減，即可以利用函數(shù)的單調(diào)性判斷四個結(jié)論的正誤.【詳解】令，在，上單調(diào)遞減，又，結(jié)合選項可知，從而有，即，故錯誤；，從而有，由

5、可得，故正確；，,又，即故正確；，即，故正確；故選：二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 若，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】利用二項展開式的通項公式計算項的系數(shù)可得，判斷A，B；利用賦值法計算判斷C；計算出可判斷D.【詳解】二項式的展開式通項公式為，A正確，B錯誤；展開式中的奇數(shù)項系數(shù)為正，偶數(shù)項系數(shù)為負(fù)，所以，C正確；，因此，D不正確.故選：AC10. 在數(shù)列中，=1，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，設(shè)為的前項和，則（ ）A. B. C. 數(shù)

6、列為遞減數(shù)列D. 【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)等比通項公式判斷AB，根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷的單調(diào)性，由放縮法結(jié)合等比求和公式判斷D.【詳解】解：因為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，A正確，B錯誤；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及反比例函數(shù)性質(zhì)，可知遞減，C正確；因為，所以，D錯誤.故選：AC11. 甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則（ ）A. B. C. 事件與事件相互獨立D. 是兩兩互斥的事件【答案

7、】ABD【解析】【分析】根據(jù)每次取一球，易得，是兩兩互斥的事件，求得，然后由條件概率求得，再逐項判斷.【詳解】解：因為每次取一球，所以，是兩兩互斥的事件，故D正確；因為，所以，故B正確；同理，所以，故A正確；由于，故事件與事件不相互獨立，故C錯誤.故選：ABD12. 在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，且.若點，分別為棱，的中點，則（ ）A. 平面B. 直線和直線所成的角為C. 當(dāng)點在平面內(nèi)，且時，點的軌跡為一個橢圓D. 過點，的平面與四棱錐表面交線的周長為【答案】ABD【解析】【分析】將該四棱錐補(bǔ)成正方體后可判斷AB正誤，結(jié)合橢圓的定義可判斷C的正誤，結(jié)合空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可判斷D的

8、正誤.【詳解】將該四棱錐補(bǔ)成正方體，可知位于其體對角線上，則平面，即A正確；設(shè)中點為，則，且，即B正確；因為，故在空間中的軌跡為橢圓繞其長軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球，又平面與其長軸垂直，所以截面為圓，即C錯誤；設(shè)平面與，交于點，連接，因為，故，所以，而，故，同理，而，故平面，而平面，則，因為平面，平面，故，而，故平面，而平面，故，因，則平面，而平面，則，所以，同理，又，則，而，所以交線長為，即D正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：空間中動點的軌跡，一般可根據(jù)平面曲線的定義結(jié)合旋轉(zhuǎn)來處理，而截面問題則需結(jié)合位置關(guān)系的判定與性質(zhì)或平面的性質(zhì)來處理.三、填空題，本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 廈

9、門一中選修課種類豐富多彩，極大拓展了學(xué)生的視野，現(xiàn)有A類選修課4門，B類選修課3門，小張同學(xué)打算從中選擇三門，若要求兩類課程各至少選1門，則不同的選法種數(shù)為_.【答案】30【解析】【分析】由題意，可以選A類2門B類1門，也可以選A類1門B類2門，利用分類分步計數(shù)原理即可求解.【詳解】解：由題意，小張同學(xué)從中選擇三門，要求兩類課程各至少選1門，則可以選A類2門B類1門，也可以選A類1門B類2門，所以不同的選法種數(shù)共有，故答案為：30.14. 除以的余數(shù)是_.【答案】8【解析】【分析】結(jié)合二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】，展開式的通項公式為，當(dāng)時，為.所以除以的余數(shù)是.故答案為：15.

10、 已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，A，B是拋物線C上的兩個動點，且，設(shè)線段的中點M在準(zhǔn)線l上的射影為點N，則的值是_.【答案】【解析】【分析】作輔助線，設(shè)， 由題意可得，利用梯形中位線定理表示出，求得，即可求得答案.【詳解】如圖示，作 ，設(shè)，由拋物線定義，得，在梯形中，,因為且，所以 ，則 ，又 ，故，故答案為：16. 某市為表彰在抗疫中表現(xiàn)突出的個人，制作了榮譽(yù)勛章，其掛墜結(jié)構(gòu)示意圖如圖，O為圖中兩個同心圓的圓心，三角形ABC中，大圓半徑，小圓半徑，記為三角形OAB與三角形OAC的面積之和設(shè)陰影部分的面積為S，當(dāng)取得最大值時，_【答案】#【解析】【分析】過點作于點，則點位的中點，所以，三點共

11、線，設(shè)，用表示出，得到的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值，即可得到答案【詳解】解：過點O作于點D，則點D為BC的中點，又，所以A，O，D三點共線，設(shè)，則，所以，則，令，則，令，解得或（舍），令，則當(dāng)時，當(dāng)時，所以上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得最大值，此時，所以當(dāng)取得最大值時，故答案為：.四、解答題，本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知數(shù)列，且，是與的等差中項（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求的最大值【答案】（1）； （2）36【解析】【分析】(1)通過，可知，進(jìn)而得出是等比數(shù)列且求出公比，再結(jié)合是與的等差中項求出首項，進(jìn)而得到的

12、通項公式；(2)結(jié)合(1)計算出，判斷為單調(diào)遞減的等差數(shù)列，從而可得的最大值【小問1詳解】由題可知，即，則，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，是與的等差中項，即，解得，數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】由(1)知，數(shù)列是一個公差為2的遞減等差數(shù)列，且，故的最大值為.18. 已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性與極值；（2）若時，函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍【答案】（1）答案見解析 （2）a1【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就、分類討論導(dǎo)數(shù)的符號后可求函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)（1）中的單調(diào)性可得，結(jié)合及零點存在定理可判斷此時函數(shù)有兩個零點.【小問1詳解】.當(dāng)時，恒成立，在R上單調(diào)遞增，無極大值也無極

13、小值；當(dāng)，時，時，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，函數(shù)的極小值為，無極大值.【小問2詳解】若有兩個不同的零點，因為，由（1）知當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，則只有一個零點，不滿足題意；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增i：當(dāng)即時，在遞增，只有一個零點，不滿足題意；ii：當(dāng)即時，在上遞減，在遞增，且，故，而，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上為增函數(shù)，故即，故為上為增函數(shù)，故，而，故在上有一個零點，故函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，綜上所述a1【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下的零點問題，往往需要討論函數(shù)的單調(diào)性，并且需要結(jié)合零點存在定理來判斷零點的存在性.19. 如圖，在三棱錐中，平面ABC，（1）求證：平面平面MBC；（

14、2）若直線AB與平面MBC所成角為，點E為AM的中點，求二面角的正弦值【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面MBC，再根據(jù)面面垂直的判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)各點的坐標(biāo)，再求得相關(guān)向量的坐標(biāo)，繼而求得平面BCE和平面ACE的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得答案.【小問1詳解】在三棱錐中，平面ABC，平面ABC，所以,又,且平面MBC,所以平面MBC,平面MAC ,所以平面平面MBC；【小問2詳解】由（1）知平面MBC,，故即為直線AB與平面MBC所成角，則，故 ，以B為坐標(biāo)原點，在平面ABC內(nèi)過點B作AB的垂線，作為x軸，

15、BA為y軸，BM為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,則 ,故 ,設(shè)平面BCE的法向量為 ，則 ,即 ，可取 ，則得平面BCE的一個法向量為，設(shè)平面ACE的法向量為 ，則 ,即 ，可取 ，則得平面ACE的一個法向量為，故 ，由圖知二面角為鈍角，其余弦值為 ，則二面角的正弦值為 .20. 為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某電視臺舉行國寶知識大賽，先進(jìn)行預(yù)賽，規(guī)則如下：有易中難三類題，共進(jìn)行四輪比賽，每輪選手自行選擇一類題，隨機(jī)抽出該類題中的一個回答；答對得分，答錯不得分；四輪答題中，每類題最多選擇兩次.四輪答題得分總和不低于10分進(jìn)入決賽.選手甲答對各題是相互獨立的，答對每類題的概率及得分如下表：容易題中等題難題答對

16、概率0.60.50.3答對得分345（1）若甲前兩輪都選擇了中等題，并只答對了一個，你認(rèn)為他后兩輪應(yīng)該怎樣選擇答題，并說明理由；（2）甲四輪答題中，選擇了一個容易題兩個中等題一個難題，若容易題答對，記甲預(yù)賽四輪得分總和為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）選擇容易題進(jìn)行答題，理由見解析； （2）【解析】【分析】（1）依題意甲前兩輪都選擇了中等題，則后兩輪的選擇還有三種方案：即都選擇容易題，都選擇難題，選擇一個容易題、一個難題，分別求出總得分不低于10分的概率，即可判斷；（2）依題意的可能取值為、，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列，再求出數(shù)學(xué)期望即可；【小問1詳解】解：依題意甲前兩輪都選擇了中

17、等題，則后兩輪的選擇還有三種方案：方案一：都選擇容易題，則總得分不低于10分的概率為；方案二：都選擇難題，則總得分不低于10分的概率為；方案三：選擇一個容易題、一個難題，則總得分不低于10分的概率為；因為，所以后兩輪應(yīng)該選擇容易題進(jìn)行答題；【小問2詳解】解：依題意的可能取值為、，則，所以的分布列為：所以21. 已知橢圓過點，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于、兩點，過、作直線的垂線，垂足分別為、，點為線段的中點，為橢圓的左焦點求證：四邊形為梯形【答案】（1） （2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合離心率的定義和的平方關(guān)系，求得的值，進(jìn)而得到橢圓的方程.（2）分析可得四邊形為梯形的充分必要條件是，設(shè),可轉(zhuǎn)化為證明，然后聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理證得此式，即證得結(jié)論.【小問1詳解】解：由已知得,解得,橢圓的方程.【小問2詳解】證明：由（1）的結(jié)論可知，橢圓的左焦點,設(shè),則,.，.直線與橢圓交于、兩點， 由于直線與直線不平行，四邊形為梯形的充分必要條件是，即，即,即,上式又等價于，即（*）.由,得, ，（*）成立，四邊形為梯形.22. 已知是函數(shù)的一條切線，且是的導(dǎo)數(shù)（1）求的值；（2）證明：當(dāng)，時，【答案】（1） （2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)與直線的切點為，由導(dǎo)數(shù)的幾