電大《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)

1、=lnx -1x 1sin x一-,x #0 10.函數(shù) f (x) =Tx在x =k, x = 00處連續(xù)，則k =(1) .,x 011.函數(shù) f (x)=在x =1, x 2 (x 2)limx 1x- 1(x-1)(x-2)(. x 1)= limx 13.解(x - 2)(. x 1)limx )0tan(x - 1)x -1經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一部分微分學(xué)一、單項(xiàng)選擇題.函數(shù)y=的定義域是(lgx1x-1且x#0).若函數(shù)f(x)的定義域是0,1,則函數(shù)f(2x)的定義域是(*,0).下列各函數(shù)對中，(f(x)=sin2x+cos2x,g(x)=1)中的兩個函數(shù)相等.1,.設(shè)f(x)=十

2、1,貝Uf(f(x)=(x1x.下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(.下列函數(shù)中，(y=ln(x1)不是基本初等函數(shù).下列結(jié)論中，(奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱)是正確的.12x TOC o 1-5 h z .當(dāng)xT0時，下列變量中()是無窮大量.x.已知f(x)=-1,當(dāng)tanx(xt0)時，f(x)為無窮小量.x1,八一，1切線斜率為(一一)2.曲線y=sinx在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為(y=x).-1.若函數(shù)f(-)=x，則f(x)=x1(下).x.若f(x)=xcosx，貝Uf(x)=(-2sinx-xcosx).下列函數(shù)在指定區(qū)間(一力,一)上單調(diào)增加的是(ex).下列結(jié)論正確的有(x。是f(

3、x)的極值點(diǎn)).設(shè)需求量q對價格p的函數(shù)為q(p)=32小,則需求彈性為B=3-2p二、填空題.函數(shù)x+2,-5x0f(x)=2的定x2-1,0 x1x-3x2sin2xlim=x0.x1-1(x11)sin2x(.x1-1)(；x11)sin2x=lim(.x11)lim=22=4x0 x0 x.解.x2-4x3(x-3)(x-1)lim=limx)3sin(x-3)xRsin(x。3)x-3limlim(x-1)=2x)3sin(x-3)xe.解tan(x-1)tan(x-1)lim2=limx1x2x2x1(x2)(x-1)1 TOC o 1-5 h z =limlimx1x-2x：11

4、1=1= HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 336.解y =(52cosx) =52cosx ln5(2cosx) = -2yirco5儼sxeinsxeyy =。x3 - 2 ln 23xdy =(13.解 y (x)xT-2、n2)dx cos x-sin2x(2x) -cosx2(x2)y (x) =17.解：方程兩邊對52(1-2x)5(3x2x2)、lim-z-)=X(x-1)(2x-3)6(-2)5(3-芻lim43)x(1-1)(2-3)6 TOC o 1-5 h z xx_5_(-2)332一27.解:xcosx、._y(x)=(

5、2)=xx-xsinx-cosx2In2-2xCxsinxcosx=23x2 cos2: 所以In22x8.解xx1f(x)=2In2sinx2cosxx.解因?yàn)樗?TOC o 1-5 h z c冗冗冗2cosy(-)=-2sin-52In5=-2ln5一2.解因?yàn)閥=(lnx)3(lnx)322二(lnx)二一33x3xlnx.2.所以dydx3x3lnx.解因?yàn)閥=esinx(sinx)5cos4x(cosx)sinx4=ecosx-5cosxsinx所以dy=(esinxcosx-5cos4xsinx)dx.解因?yàn)?3x.y=23(x)2ln2(-x)cosx_x_x_2-2sin2I

6、n2-2xcosx.解：y(x)=3lx2x(lnx)e-x(-5x)23lnx廣_5x=-5e一x.解在方程等號兩邊對x求導(dǎo)，得yln(1x)(exy)=(e2)yln(1x)yexy(yxy)=01xln(1x)xexyy=-y-yexy1x故y(1x)yexyy-YV(1x)ln(1x)xey.解對方程兩邊同時求導(dǎo)，得(cosyxey)y:-ey-eyycosyxex求導(dǎo)，得y=eyxeyyeyy=1-xey當(dāng)x=0時，y=11dye所以，=(dxxR1-018.解在方程等號兩邊對x求導(dǎo)，得cos(xy)(ey)=(x)-sin(xy)1yeyy=1ey-sin(xy)y=1sin(xy

7、)y_1sin(xy)ey-sin(xy)故1sin(xy)dy二-dxe-sin(xy)四、應(yīng)用題1.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品x個單位時的成本函數(shù)為：C(x)=100+0.25x2+6x(萬元)，求：(1)當(dāng)x=10時的總成本、平均成本和邊際成本；(2)當(dāng)產(chǎn)量x為多少時，平均成本最??？.解(1)因?yàn)榭偝杀?、平均成本和邊際成本分別為：C(x)=1000.25x26x100C(x)=+0.25x+6,xC(x)=0.5x6所以，2C(10)=1000.25102610=185-100C(10)0.25106=18.510C(10)=0.5106=11(2)令一100C(x)=2+0.25=0,得xx=20

8、(x=20舍去)因?yàn)閤=20是其在定義域內(nèi)唯一駐點(diǎn)，且該問題確實(shí)存在最小值，所以當(dāng)x=20時，平均成本最小.某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為2000元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元，對這種產(chǎn)品的市場需求規(guī)律為q=1000-10p(q為需求量，p為價.解(1)成本函數(shù)C(q)=60q+2000.因?yàn)閝=100010p,即1p=100一q,10所以收入函數(shù)1R(q)=pq=(100-q)q= TOC o 1-5 h z 121ooq-6q-(2)因?yàn)槔麧櫤瘮?shù)L(q)=R(q)-C(q)12=100q而q-(60q+2000)1240q-q-200012.L(q)=(40q-10q-2000)=40-

9、0.2q令L(q)=0,即40-0.2q=0,得q=200,它是L(q)在其定義域內(nèi)的唯一駐玄八、C(q)=250-2500C0q)T1000所以，q=200是利潤函數(shù)L(q)的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為200噸時利潤最大.3.設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為50000元，每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，成本增加100元.又已知需求函數(shù)q=20004p,其中p為價格，q為產(chǎn)量，這種產(chǎn)品在市場上是暢銷的，試求：(1)價格為多少時利潤最大？(2)最大利潤是多少？3.解(1)C(p)=50000+100q=50000+100(2000-4p)=250000-400R(p)=pq=p(2000-4p)=2000p-4p2

10、禾U潤函數(shù)L(p)=Rp)-C(p)=2400p-4p2-250000,且令L(p)=24008p=0得p=300,該問題確實(shí)存在最大值.所以，當(dāng)價格為p=300元時，利潤最大.(2)最大利潤L(300)=2400300-43002(元).令C(q)=0,即0.59800=0,q得q1=140,q2=-140(舍去).q1=140是C(q)在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，且該問題確實(shí)存在最小值.所以q1=140是平均成本函數(shù)C(q)的最小值點(diǎn)，即為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為140件.此時的平均成本為C(140)=0.514036C (q)=(0.5q 36 )=q0 5 _9800 q2=17140

11、6(元/件).已知某廠生產(chǎn)q件產(chǎn)品的成本為2C(q)=250+20q+q0(萬元)問:要使平均成本最少，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？.解(1)因?yàn)閝2010 x(ff(x)dx=F(x)_F(a).a.下列定積分中積分值為0的是.下列無窮積分中收斂的是二1(f丁dx),1x.設(shè)R(q)=100-4q,若銷售量由10單位減少到5單位，則收入R的改變量是(350).下列微分方程中，(yy+xy2=ex)是線性微分方程.微分方程(y)2+y(y)3+xy4=0的階是(1).二、填空題22-dfedx=edx.函數(shù)f(x)=sin2x的原函數(shù)是4.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時的總成本函數(shù)為 C(q) = 20+4 q

12、+0.01 q2 (元),單位銷售價格為p= 14-0.01 q(元/件)，試求：(1)產(chǎn)量為多少時可使利潤達(dá)到最大？ (2)最大利潤是多少？4.解(1)由已知2R = qp = q(14-0.01q) =14q -0.01q利潤函數(shù)q1=50 是 C(q) 在其定義域內(nèi)的唯一二212L =RC =14q-0.01q -20 -4q -0殂1q = 10q -20 -0.02q5.6. x - xxe 十e 十c ).6.則L=100.04q,令L=100.04q=0,解出唯一駐點(diǎn)q=250.因?yàn)槔麧櫤瘮?shù)存在著最大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為250件時可使利潤達(dá)到最大，(2)最大利潤為L(250)=102

13、50-20-0.02250(元)5.某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件的成本函數(shù)為C(q)=0.5q2+36q+9800(元).為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為多少？此時，每件產(chǎn)品平均成本為多少？5.解因?yàn)?TOC o 1-5 h z C(q)_9800C(q)=0.5q36qq(q0)250qC(q)=(20)=q102501-2q10令C(q)=。，即一駕+1=0,q10得q1=50,q2=-50(舍去)，所以，q1=50是C(q)的最小值點(diǎn)，即要使平均成本最少，應(yīng)生產(chǎn)50件產(chǎn)品.第二部分積分學(xué)一、單項(xiàng)選擇題1.在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)(1,4)的曲線為(y=。+3).1=22500M2

14、x土包dx=21230k=(1).3.下列等式不成立的是1、(Inxdx=d().xx4.若ff(x)dx=-e2+c,則f(x)=x1-e2).4Jxd(e)=(1若f(x)exdx=exc,貝Uf(x)=().x7.若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是-cos2x+c(c是任意常數(shù))2.若廣(x)dx=(x+1)2+c,則f(x)=2(x1).若Jf(x)dx=F(x)+c,則ef(e)dx=-F(e/)cde2.ln(x+1)dx=0dx1xc12dx=0(x1)二1.無窮積分fojdx是收斂的(判別其斂散性).設(shè)邊際收入函數(shù)為R(q)=2+3q,3且r(0)=0,則平均

15、收入函數(shù)為2+-q.2.(y*)3+e“xy=0是2階微分方程.微分方程y=x2的通解是3y二+c3三、計(jì)算題1.解-1 TOC o 1-5 h z sin111/dx=-sind()=coscxxxx2.解22dx=2f2-d(vx)=-2+c*xIn23.解e_1eJxsinxdx=-xcosx+cosxdx=-xcoSxlnWFx=L1nudu=ulnu4.解=e-u1ee-e1二1(x1)1nxdx=10.解因?yàn)镻(x)121(x-1)(x1)Inx-22x2dx1.2_x2=-(x2x)1nx-xc245.解.1n3x/dxx2,oe(1e)dx=1n30(1ex)2d(1ex)=2

16、Q(x)=x21用公式_-dx2-dxy=ex(x21)exdxc二ex(x21)e1nxdxc1(1ex)336.解elnxdx1x1n356421rxx-x4213y(1)二4c二1elnxd(2.x)=2xln=2.e-e-1111.解將方程分離變量:月曲2特x的2dxx2dx=44爭殍始案件3y(_1)=J3代入，得e=2e-1ee141解將原方程化為：1-11u-du11yu_y=，它是一階線性微分方xlnx程，1-1P(x)=，Q(x)=xlnx用公式_P(x)dxP(x)dxy=eQ(x)edxc1dx1_1dx=exexdxclnxlnx1_lnx.=eedxclnxr1，,二

17、xdxcxlnx=x(lnlnxc)15.解在微分方程y1r=2xy中，P(x)=1,Q(x)=2x由通解公式-dxdxxy=e(2xedxc);e(2xedx7.解e21dx=x.1lnxe21d(1lnx)=1.1lnxe225+lnx1=2(J3-1)13131-3-e=-ec，c=-e2362所以，特解為：3e子=2e-e“、一，112.解：方程兩端乘以一,得xyy_lnx一2一xxx即=e*(2xex-2exdxc)：二(2x-2ce。)一一1一16.斛：因?yàn)镻(x)=,Q(x)=sinx,x由通解公式得-1dx1dxy=ex(sinxexdxc)-lnxlnx_i=e(sinxed

18、xc)1,、=(xsinxdxc)x8.解2xcos2xdx=02ji2xsin2x0心x兩邊求積分，得lnx129.JIq2sin2xdx=解法一c2cos2x0y.二xlnx,dx通解為:lnxd(lnx)二12xlnxcxln2e_1(ln(x+1)dx=xln(x+1)0-exx十1dx由yx=1e1=e-1-0(1-)dx所以，滿足初始條件的特解為:12xlnxy二x2=e-1-x-ln(x+1)0二=lne=1解法二令u=x+1,則13.解將原方程分離變量dyylny=cotxdx=-(-xcosxsinxc)x四、應(yīng)用題十c1.投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為C(

19、x)=2x+40(萬元/百臺).試求產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時，可使平均成本達(dá)到最低.解當(dāng)產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時，總成本的增量為6C=”(2x40)dx=6(x+40 x)4=100(萬元)又兩端積分得通解為lnlny=lnCsinxCsinx2x 40 x 36=x 40 36 xC(x)解得又1210L (x)dx =121 (100 -10 x)dx2=(100 x - 5x2)1210=-20解彳導(dǎo)x = 3/50當(dāng)產(chǎn)量由7百噸增加至8百噸時, 變量為(萬元).設(shè) A, 正確的是.設(shè) A,11.線性方程組x1 + x2 = 1x1 + x2 = 0解的情況=

20、4_1-1 2，B =x0C(x)dxCoC(x)36八=1一=02x=6.=6是惟一的駐點(diǎn)，而該問題確實(shí)存在使平均成本達(dá)到最小的值.所以產(chǎn)量為6百臺時可使平均成本達(dá)到最小.已知某產(chǎn)品的邊際成本CH(x)=2(元/件)，固定成本為0,邊際收益R1r(x)=12-0.02x,問產(chǎn)量為多少時利潤最大？在最大利潤產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件，利潤將會發(fā)生什么變化？.解因?yàn)檫呺H利潤L(x)=R(x)C(x)=12-0.02x2=10-0.02x令L(x)=0,得x=500 x=500是惟一駐點(diǎn)，而該問題確實(shí)存在最大值.所以，當(dāng)產(chǎn)量為500件時，利潤最大.當(dāng)產(chǎn)量由500件增加至550件時，利潤改變量為550

21、.L=so。(10-0.02x)dx=(10 x-0.01x=500-525=-25(元)即利潤將減少25元.生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為C(x)=8x(萬元/百臺)，邊際收入為R(x)=100-2x(萬元/百臺)，其中x為產(chǎn)量，問產(chǎn)量為多少時，利潤最大？從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤有什么變化？.解L(x)=R(x)-C(x)=(1002x)8x=10010 x令L(x)=0,得x=10(百臺)又x=10是L(x)的唯一駐點(diǎn)，該問題確實(shí)存在最大值，故x=10是L(x)的最大值點(diǎn),即當(dāng)產(chǎn)量為10(百臺)時，利潤最大.即從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤將減少20萬元.已知某產(chǎn)品的邊際成本為C

22、(x)=4x3(萬元/百臺),x為產(chǎn)量(百臺)，固定成本為18(萬元)，求最低平均成本.解：因?yàn)榭偝杀竞瘮?shù)為C(x)=(4x-3)dx=2x2-3xc當(dāng)x=0時，C(0)=18,得c=18ax)=2x2-3x18又平均成本函數(shù)為C(x)18A(x)=2x3x令A(yù)(x)=2一18=0 x(百臺)該題確實(shí)存在使平均成本最低的產(chǎn)量.所以當(dāng)x=3時，平均成本最低.最底平均成本為18c一一A(3)=2黑33+=9(萬元/百3臺).設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為C(x)=3+x(萬元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸.銷售x百噸時的邊際收入為R(x)=15-2x(萬元/百噸)，求：(1)利潤最大時的產(chǎn)量；(2)在利

23、潤最大時的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)1百噸，利潤會發(fā)生什么變化？5.解：(1)因?yàn)檫呺H成本為C(x)=1,邊際利潤L(x)=R(x)-C(x)=142x令L(x)=0,得x=7由該題實(shí)際意義可知，x=7為利潤函數(shù)L(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).因此，當(dāng)產(chǎn)量為7百噸時利潤最大.82AL=j(14-2x)dx=(14x-x2)=1126498+49=-1即利潤將減少1萬元.第三部分線性代數(shù)一、單項(xiàng)選擇題.設(shè)A為3父2矩陣，8為2父3矩陣，則下列運(yùn)算中(AB)可以進(jìn)行.設(shè)A,B為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是(ABT)二A(B)TB為同階可逆方陣，則下列說法(秩(A+B)=秩(慶)+秩).B均為n階方陣

24、，在下列情況下能推出A是單位矩陣的是(A-=I.設(shè)A是可逆矩陣，且A.AB三則A，=(I+B).設(shè)A=(12),B=(13)是單位矩陣，則ATB-I=.設(shè)下面矩陣AB,C能進(jìn)行乘法運(yùn)算，那么(AB=ACA可逆，則B=C)成立.設(shè)A是n階可逆矩陣，k是不為0的414常數(shù)，則(kA)口=(A”).k120-3.設(shè)A=00-13,則r(A)24-1-3=(2).10.設(shè)線性方程組AX=b的增廣矩陣通過初等行變換化為一1312610-1314,則此線性方0002-1-00000-程組的一般解中自由未知量的個數(shù)為(1)是(無解)12.若線性方程組的增廣矩陣為-121A=|，則當(dāng)九=(一)時121012線

25、性方養(yǎng)組無解.線性方程組AX=0只有零解，則AX=b(b#0)(可能無解).設(shè)線性方程組AX=b中，若r(A,b)=4,r(A)=3,則該線性方程組(無解).設(shè)線性方程組AX=b有唯一解，則相應(yīng)的齊次方程組AX=O(只有零解).二、填空題.兩個矩陣A,B既可相加又可相乘的充分必要條件是_A亙_B是同階矩陣.計(jì)算矩陣乘亂一 TOC o 1-5 h z 302J|(011,則3-1-624.設(shè)A為mn矩陣，B為sMt矩陣，若ab與B&TB可進(jìn)行運(yùn)算，則m,n,s,t有關(guān)系式m=t,n=s TOC o 1-5 h z 102.設(shè)A=a03，當(dāng)a=&時，23-1_A是對稱矩陣.013.當(dāng)a#3時，矩陣

26、A=|可_-1a逆.設(shè)A,B為兩個已知矩陣，且IB可逆，則方程A+BX=X的解X-(I-B)A.設(shè)A為n階可逆矩陣，則r(A)=n2-12.若矩陣A=402,則r(A)=20-33.若r(Ab)=4,r(A)=3,則線性方程組AX=b無解11.若線性方程組解，則 =-1x1 一 x2 = 0 x1 + ?x2 = 0有非零12設(shè)齊次線性方程組Am幻Xnx=0,且秩（A）=rn,則其一般解中的自由未知量的個數(shù)等于nr.齊次線性方程組AX=0的系數(shù)矩陣-1-123-為A=010-2則此方程組：0000_的-般解為=一2X3一人（其中x2=2x4x3,x4是自由未知量）.線性方程組AX=b的增廣矩陣

27、A化成階梯形矩陣后為 TOC o 1-5 h z 12010-|At042-110000d1則當(dāng)d1時，方程組AX=b有無窮多解.若線性方程組AX=b（b00）有唯一解，則AX=0只有0解 TOC o 1-5 h z 三、計(jì)算題1021.設(shè)矩陣A=124,-311 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 21B=-13,求(2I-AT)B.：.03102.設(shè)矩陣A=I汽-20一212：1-61B=010,C=22,計(jì)：002_142_算BAT+C.-13-6-3I.設(shè)矩陣A=421).211一求A。012.設(shè)矩陣A=114,求逆2-10矩陣A.10-

28、2.設(shè)矩陣A=I,B3-20一3一=12,計(jì)算(AB-1.1一 TOC o 1-5 h z -116.設(shè)矩陣A=02,B：202-31計(jì)算(BA，-12_.解矩陣方建1-0- 7 一 。x3 制 J9.設(shè)線性方程組X1X3=2X2x2X3=02x1x2-ax3二b討論當(dāng)a,b為何值時，方程組無解，有唯一解，有無窮多解.設(shè)線性方程組J.x12x3-1一x1+x2-3x3=2,求其系數(shù)矩陣2x1f25x3=0和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況.求下列線性方程組的一般解：x1+2x3x4=0-x1+x2-3x3+2x4=02x1-x2+5x3-3x4=012.求下列線性方程組的一般解：22x1-5x2

29、,2x3-3，x1+2x2-x3=32x1+14x2-6x3=12.設(shè)齊次線性方程組x1-3x22x3=02x1-5x23x3=03x1-8x2x3=0問，取何值時方程組有非零解，并求一般解.14.當(dāng)取何值時，線性方程組x1+x2+x3=10-10-271001012100-130t0102-71-001012_-130所以A1=2-7-1610一2111-20-4-214-1-(ABI)1|-2110-214-101,01-20-111“!。121g1所以(AB-1=2工6.解因?yàn)?12-31BA=|00-12-2-5-31!42.(BA1|一2-3143即=|t34|-3-2所以，8.解:

30、251010-1PL-1PLo11-2212o1X=一431一11=一21L3H211因?yàn)?31一O11.-5325X11似102-0113-所12-解12-910112-121-a神0124=A為因rj1oO-1-211為3因一111O1413-所以A-1=4-21-3/21-1/25.解因?yàn)锳B1111T：01-3-2_1043T01-3-2210120T02-2-b_01-a-2b-11101201-T01-1-100-a1b3所以當(dāng)a=1且b#3時，方程組無解;當(dāng)a#1時，方程組有唯一解；當(dāng)a=1且b=3時，方程組有無窮多解.10.解因?yàn)?2-1102132T01-150_J11102-1-*01-110003j所以r(A)=2,r(A)=3