彈塑性力學(xué)的基本理論及在工程上的應(yīng)用綜述

1、彈塑性力學(xué)的基本理論及在工程上的應(yīng)用綜述大連海洋大學(xué)學(xué)院：海洋與土木工程學(xué)院專業(yè)：港口海岸及近海工程姓名：李瑞振學(xué)號(hào)：20132199論文題目：彈塑性力學(xué)的基本理論及在工程上的應(yīng)用指導(dǎo)教師：高潮摘要：工程技術(shù)人才必須具有堅(jiān)實(shí)的力學(xué)基礎(chǔ)，而彈塑性力學(xué)是力學(xué) 基礎(chǔ)的重要環(huán)節(jié)，是高等工程類人才知識(shí)結(jié)構(gòu)中必不可少的部分。對(duì)研究 生而言，彈塑性力學(xué)是工程工程技術(shù)基礎(chǔ)學(xué)科，是工科院校工程力學(xué)土木 工程等專業(yè)必須的一門課程，大土木工程專業(yè)，特別是港口，海岸及近海 工程專業(yè)的碩士研究方向一般是是港工結(jié)構(gòu)、海洋結(jié)構(gòu)、巖土、巖土與結(jié) 構(gòu)相互作用等方面，這些方向都是以彈塑性力學(xué)的知識(shí)為基礎(chǔ)，彈塑性理 論在工程上具有

2、廣泛的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：彈塑性理論；工程；應(yīng)用Abstract: Engineering and technical personnel must have the solidfoundation and mechanics, elastic-plastic mechanics is an important link inmechanics, is essential for higher engineering talents knowledge structure in the part. For graduate students, elastic and plastic mechanic

3、s is afoundation engineering, is a coursein Engineering Colleges of engineering mechanics, civil engineering and otherprofessional must, in civil engineering, especially in port, coastal and offshore engineering research direction is generally is harbor engineering structure, marine structures,rock,

4、 rock the interaction between soil andstructure and so on, the direction is based on elastic-plastic mechanics knowledge as the foundation, elastic and plastic theory is widely used in engineering.Keywords: elastic-plastic theory; engineering application引言：彈性力學(xué)和塑性力學(xué)是固體力學(xué)的兩個(gè)重要部分，固體力學(xué)是研究材 料及其構(gòu)成的物體結(jié)構(gòu)在外

5、部干擾下的力學(xué)響應(yīng)的科學(xué)對(duì)按其研究對(duì)象 而區(qū)分為不同的學(xué)科分支。彈性力學(xué)乂稱彈性理論，它是固體力學(xué)最基本也是最主要的內(nèi)容，從 宏觀現(xiàn)象規(guī)律的角度，利用連續(xù)數(shù)學(xué)的工具研究任意形狀的彈性物體受力 后的變形、各點(diǎn)的位移、內(nèi)部的應(yīng)變與應(yīng)力的一門科學(xué)，它的研究對(duì)象是“完全彈性體”。塑性力學(xué)乂稱塑性理論，是研究物體塑性的形成及其 應(yīng)力和變形規(guī)律的一門科學(xué)，它是繼彈性力學(xué)之后，對(duì)變形體承載能力認(rèn) 識(shí)的發(fā)展深化。一、彈塑性力學(xué)的基本理論1、1應(yīng)力理論1、11應(yīng)力和應(yīng)力張量在外力作用下，物體將產(chǎn)生應(yīng)力和變形，即物體中諸元素之間的相對(duì) 位置發(fā)生變化，由于這種變化，便產(chǎn)生了企圖恢復(fù)其初始狀態(tài)的附加相互 作用力。用以

6、描述物體在受力后任何部位的內(nèi)力和變形的力學(xué)量是應(yīng)力和 應(yīng)變。本章將討論應(yīng)力矢量和某一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。為了說明應(yīng)力的概念，假想把受一組平衡力系作用的物體用一平面A 分成A和B兩部分（圖2.1）。如將B部分移去，則B對(duì)A的作用應(yīng)代之以B部分對(duì)A部分的作用力。這種力在B移去以前是物體內(nèi)A與B之間在截面C的內(nèi)力，且為分布力。如從C面上點(diǎn)P處取出一包括P點(diǎn)在內(nèi)的微小面積元素?S，而?S上的內(nèi)力矢量為?F，則內(nèi)力的平均集度為?F / ?S，如令?S無限縮小而趨于點(diǎn)P，則在內(nèi)力連續(xù)分布的條件下?F/?S趨于一定的極限?。，即?Flim? ?S?0?S1.12二維應(yīng)力狀態(tài)與平面問題的平衡微分方程式上節(jié)中討論應(yīng)

7、力概念時(shí)，是從三維受力物體出發(fā)的，其中點(diǎn)P是從一 個(gè)三維空間中取出來約點(diǎn)。為簡(jiǎn)單起見，首先討論平面問題。掌提了平面 問題以后.再討論空間問題就比較容易了。當(dāng)受載物體所受的面力和體力以及其應(yīng)力都與某一個(gè)坐標(biāo)軸(例如z 軸)無關(guān)。平面問題乂分為平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題。平面應(yīng)力問題如果考慮如圖所示物體是一個(gè)很薄的平板，荷載只作用在板邊，且平行于板面，即xy平面，z方向的體力分量Z及面力分量Fz均為零，則板面上(z?/2處)應(yīng)力分量為(?z)?0 z?2(?zx)z?2?(?zy)z?2?0因板的厚度很小，外荷載乂沿厚度均勻分布，平面應(yīng)力問題所以可以近似地認(rèn)為應(yīng)力沿厚度均勻分布。由此，在垂直于z軸

8、的任一微小面積上均有?z?0， ?zx?zy?0根據(jù)切應(yīng)力互等定理，即應(yīng)力張量的對(duì)稱性，必然有? yx?xz?0。因而 對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力張量為?x?ij?yx?0?xy?y00?0?zx?zy?0, ?y 如果z方向的尺寸為有限量，仍假設(shè)?z?0，且認(rèn) 為?x，和? xy(?yx)為沿厚度的平均值，則這類問題稱為廣義平面應(yīng)力問題。平面應(yīng)變問題如果物體縱軸方向(oz坐標(biāo)方向)的尺寸很長(zhǎng)，外荷載及體力為沿z軸 均勻分布地作用在垂直于oz方向，如圖2.4所示的水壩是這類問題的典型 例子。忽略端部效應(yīng)，則因外載沿z軸方向?yàn)橐怀?shù)，因而可以認(rèn)為，沿 縱軸方向各點(diǎn)的位移與所在z方向的位置無關(guān)，即z方

9、向各點(diǎn)的位移均相同。令u、v、w分別表示一點(diǎn)在x、y、z坐標(biāo)方向的位移分量，則有w為常數(shù)。等于常數(shù)的位移w并不伴隨產(chǎn)生任一 xy平面的翹曲變形，故研究應(yīng)力、應(yīng)變問題時(shí)，可取w?0。此外，由于物體的變形只在xy平面內(nèi)產(chǎn)生，因此w與z無關(guān)。故對(duì)于平面應(yīng)變狀態(tài)有u?u(x,y)?v?v(x,y)?w?0?圖2.4平面應(yīng)變問題由對(duì)稱條件可知，在xy平面內(nèi)?xz(?zx)和?yz(?zy)恒等于零，但因z方向?qū)ψ冃蔚募s束，故?z 一般并不為零，所以其應(yīng)力張量為?x?ij?yx?0?z?xy?y00?0?實(shí)際上?z并不是獨(dú)立變量，它可通過?x和?y求得，因此不管是平面應(yīng) 變問題還是平面應(yīng)力問題，獨(dú)立的應(yīng)力

10、分量?jī)H有3個(gè)，即?x、?y和?xy(=?yx)， 對(duì)于平面應(yīng)變問題的求解，可不考慮?z。平衡微分方程物體在外力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，由各點(diǎn)應(yīng)力分量與體力分量之間 的關(guān)系所導(dǎo)出的方程稱為平衡微分方程。如圖所示的平面應(yīng)力問題，除面 力外，在這個(gè)微單元體上還有體力的作用.單位體積的體力在二個(gè)坐標(biāo)軸 上的投影為X,Y.而固體的質(zhì)量密度為？。自彈性體內(nèi)任一點(diǎn)P處附近截取 一單元體，ab平面應(yīng)力狀態(tài)微元體的應(yīng)力它在x，y方向的尺寸分別為dx和dy。為了計(jì)算方便，在z方向取單 位長(zhǎng)度，如圖b所示。該單元體受有其相鄰部分對(duì)它作用的應(yīng)力和單元體 的體力。由于在一般情況下應(yīng)力分量是位置坐標(biāo)的函數(shù)，因此在單元體左、

11、 右或上、下兩對(duì)面上的應(yīng)力不相等，而具有一微小的增量。若作用于ab 上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為?x，則作用于cd面上的正應(yīng)力應(yīng)隨之變化。該 變化可根據(jù)Taylor級(jí)數(shù)展開，即?xcd?xab?x?xdx?ab?x?ydy?0(dx2,dy2) ab由于ab,cd線元上的應(yīng)力分量均可用相應(yīng)線元中點(diǎn)處的應(yīng)力分量表示， 以及略去二階以上的微量后，由上式得cd邊上的正應(yīng)力?x?xdx?x同理，如ab邊上的切應(yīng)力為?xy, ad邊上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別 為?y，?yx可得cd邊上的切應(yīng)力及bc邊的應(yīng)力分量可類推分別得？xy?xy?xdx?y?y?y?yx?ydy dy?yx?微單元體在面力及體力作用下處于

12、平衡，必須滿足靜力平衡的三個(gè)方 程式。如果考慮到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，而按照牛頓第二定律，方程式的右邊還應(yīng)包 括這個(gè)微單元體的質(zhì)量與加速度在該坐標(biāo)軸上的投影的乘積（即慣性力的 投影）。（4）一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)所謂一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是指受力變形物體內(nèi)一點(diǎn)的不同截面上的應(yīng)力 變化的狀況?，F(xiàn)以平面問題為例說明一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)。在受力物體中取一 個(gè)如圖2.6所示的微小三角形單元，其中AC，AB與坐標(biāo)軸x,y重合，而 BC的外法線與zz軸成?角。取坐標(biāo)x,y，使BC的外法線方向與 x方向重合（如圖2.6）。如果?x,?y,?xy已知，則BC面上的正應(yīng)力?x，和 切應(yīng)力?xy可用已知量表示。因？角的任意性，若BC面趨于點(diǎn)A時(shí)，

13、則可認(rèn)為求得了描繪過點(diǎn)4處的應(yīng)力狀態(tài)的表達(dá)式。實(shí)際上，這里所討論的問題是一點(diǎn)處不同方向的面上的應(yīng)力的轉(zhuǎn)換，即BC面無限趨于點(diǎn)A時(shí)，該面上的應(yīng)力如何用與原坐標(biāo)相平行的面上的應(yīng)力來表示。在這種問題的分析中，可不必引入應(yīng)力增量和體力，因?yàn)樗鼈兣c應(yīng)力相比屬于小量。邊界條件當(dāng)物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，除物體內(nèi)部各點(diǎn)要滿足平衡微分方程式(2.2-4) 外，還應(yīng)滿走解條件。定解條件一般包括初始條件、邊界條件或其它能確 定唯一解答的補(bǔ)充條件。對(duì)于彈塑性靜力學(xué)問題，定解條件主要是邊界條 件，所以彈塑性力學(xué)問題也就是數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題。其它如約束 條件、位移單值條件等也是常遇到的定解條件。在彈塑性力學(xué)中，給定面力

14、的邊界，用S?表示，結(jié)定位移的過界，用 Su表示，如圖所示。本節(jié)主要討論彈塑性力學(xué)平面問題的邊界條件。位移邊界條件所謂位移邊界條件，就是在給定位移的邊界上，物體的位移分量必須 等于邊界上的已知位移。設(shè)平面彈塑性體在Su邊界上給定x、y方向上的位移分別為u和v；， 它們是邊界坐標(biāo)的已知函數(shù)；而位移分量u、v則是坐標(biāo)的待求函數(shù)。當(dāng)把 它們代入Su邊界的坐標(biāo)時(shí)，則必等于該點(diǎn)所給定的位移，即u?u,v?v在Su對(duì)于三維問題，在Su邊界的位移邊界條件為ui?ui此處i?（x,y,z），且對(duì)應(yīng)于u、v、Wo應(yīng)力邊界條件彈塑性體在外力作用下，處于平衡狀態(tài)的條件，除物體內(nèi)部各點(diǎn)的應(yīng) 力分量應(yīng)滿足平衡方程式外，

15、物體邊界上各點(diǎn)也必須都是平衡的。由后者 將導(dǎo)出應(yīng)力邊界條件。所謂應(yīng)力邊界條件就是在給定面力S?的邊界上應(yīng)力 分量與面力分量之間的關(guān)系。實(shí)質(zhì)上，它是彈塑性體內(nèi)部各點(diǎn)的平衡條件 在其邊界上的延續(xù)。因此，應(yīng)力邊界條件就是物體邊界上點(diǎn)的平衡條件。設(shè)平面彈性體在S?上給定面力X、Y，它們是邊界坐標(biāo)的已知函數(shù)；而 應(yīng)力分量?x、？y、？z則是坐標(biāo)的待求函數(shù)。它們之間的關(guān)系可由邊界上微 元體的平衡條件求出。不失一般性，在物體的邊界上取一微元體（一般取為 三角形微元，因?yàn)樗梢悦枋鋈我馇€邊界）.如圖b所示，它在平面問題 中顯然是三角板（平面應(yīng)力）或三棱柱（平面應(yīng)變）。當(dāng)物體的邊界線與某一坐標(biāo)軸平行（或垂直）

16、時(shí)，應(yīng)力邊界條件變得十 分簡(jiǎn)單，即應(yīng)力分量的邊界值就等于對(duì)應(yīng)的面力分量，應(yīng)力分量的符號(hào)取 決于邊界面的外法線方向。當(dāng)邊界面的外法線方向與坐標(biāo)正向一致時(shí)，等 式右邊取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。但應(yīng)注意，面力本身還有正負(fù)號(hào)。其規(guī)定與 應(yīng)力符號(hào)法則相同。對(duì)于三維問題，由力的平衡條件可得 ?xl?xym?xzn?X?_?xyl?ym?yzn?Y?xzl?yzm?zn?Z?_?需要指出的是：在垂直x軸的邊界面上，應(yīng)力邊界條件中不出現(xiàn)?y, 而在垂直y軸的邊界上不出現(xiàn)?x。當(dāng)作用在邊界面上的面力不連續(xù)時(shí)，應(yīng) 分段或展開成級(jí)數(shù)寫出其邊界條件；沒有給定位移的自由邊界，實(shí)際上是 給定面力為零的應(yīng)力邊界，不能遺漏?；旌线?/p>

17、界條件在一般情況下，若用S表示整個(gè)物體的表面積，則往往在其中一部分面積S?上給出了面力，而在另一部分面積Su上給定的是位移。如圖所示懸臂梁，固定端部分屬于Su部分，它給定位移而末給定外力；其余邊界均屬S?部分，它的外力已給定（包括外力受均布載荷懸臂梁等于零的部分）。顯然，在Su上各點(diǎn)應(yīng)滿足位移邊界條 件式，在S?上各點(diǎn)應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件式。對(duì)于混合邊界條件，可以分別給在邊界面的不同區(qū)域上，也可以給在 同一區(qū)域的不同方向上。也即，對(duì)于邊界上的一個(gè)點(diǎn)，在某一確定方向上， 必須且只能給出Su和S?中的一種，既不能同時(shí)給定，也不能同時(shí)不給 定；而同一點(diǎn)在兩個(gè)互相垂直方向止，可以是其中一個(gè)為S?，另一個(gè)

18、為Su.1.2應(yīng)變狀態(tài)理論在外力、溫度變化或其他因素作用下，物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)將產(chǎn)生位置的 變化，即發(fā)生位移。如果物體內(nèi)各點(diǎn)發(fā)生位移后仍保持各質(zhì)點(diǎn)間初始狀態(tài) 的相對(duì)位置，則物體實(shí)際上只發(fā)生了剛體平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，這種位移稱為剛體 位移。如果物體各質(zhì)點(diǎn)發(fā)生位移后改變了各點(diǎn)間初始狀態(tài)的相對(duì)位置，則 物體同時(shí)也產(chǎn)生了形狀的變化，其中包括體積改變和形狀畸變，物體的這 種變化稱為物體的變形運(yùn)動(dòng)或簡(jiǎn)稱為變形，它包括微元體的純變形和整體 運(yùn)動(dòng)。應(yīng)變狀態(tài)理論就是研究物變形后的幾何特性。即給定物體內(nèi)各點(diǎn)變 形前后的位置，確定無限接近的任意兩點(diǎn)之間所連矢量因物體變形所引起 劇烈變化。這是一個(gè)單純的幾何問題，并不涉及物體變形

19、的原因，也就是 說并不涉及物體抵抗變形的物理規(guī)律。本章主要從物體變形前后的幾何變 化論述物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。1.21坐標(biāo)與位移設(shè)變形前物體上各點(diǎn)的位置在笛卡爾坐標(biāo)(Descarter coordinate)系的 軸(X、Y、Z)上的投影為(x,y,z)，乂設(shè)物體上各點(diǎn)得到一位移，并在同一 坐標(biāo)軸上的投影為(u、v、w)，這些位移分量可看作是坐標(biāo)(x,y,z)的函數(shù)。 于是物體上任點(diǎn)的最終位置由下述坐標(biāo)值決定。即?x?u(x,y,z)?y?v(x,y,z)?z?w(x,y,z)?上式中函數(shù)u、v、w以及它們對(duì)坐標(biāo)(x,y,z)的偏導(dǎo)數(shù)假設(shè)是連續(xù)的， 確定了變量()與之間的關(guān)系。因?yàn)槲矬w中變形前

20、各點(diǎn)對(duì)應(yīng)看變形后的各點(diǎn)，可得如下三個(gè)方程因此式(3.1-1 )是單值的，可看成是坐標(biāo)的一個(gè)變換。如果在上式中，假設(shè)決定了一條曲線，曲線上各點(diǎn)(，在物體變形前為平行于軸的直線）上（圖3.1）。由此可見，變形前物體上與坐標(biāo)軸平行的坐標(biāo)線，在變形后的物體上一般將成為曲線。換句話說，如果用沒有變形狀態(tài)的 坐標(biāo)（末表征物體上各點(diǎn)的位置，到變形終了狀態(tài)將是曲線坐標(biāo)；反之，如 果用表示各點(diǎn)的坐標(biāo)，則對(duì)巳變形物體是笛卡爾坐標(biāo)，而對(duì)于變形前的物 體將是曲線坐標(biāo)。由以上可見，描述連續(xù)介質(zhì)變形的方法有上述兩種，分別稱為L(zhǎng)agrange法 Euler法。Lagrange描述法是用變形前的坐標(biāo)（后的坐標(biāo)）做自變做自變量

21、。量，而Euler法則是用變形在固體力學(xué)中，通常物 體的初始形狀、固定情況以及載荷是一定的，需要確定 的是物體各點(diǎn)的位移u、v、w和應(yīng)力。對(duì)于小變形一般采用Lagrange坐標(biāo)法；而 對(duì)于大變形有時(shí)用Euler法。在數(shù)值計(jì) 算中，通常采用矢量 來表示，因?yàn)橐?jì)算變形前后兩次應(yīng)變的變化，所 以用Euler法比較方便。在以后的討論中，我們采用Lagrange坐標(biāo)法。圖3.1變形表示法1.22變形體的應(yīng)變?cè)O(shè)物體中變形前相距十分近的兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為別變形后由矢量表示線元。那么，,。那么，矢量和，變形后移位至，變形后的平方為(a)(b)根據(jù)(3.1-1 )式，點(diǎn)此處。變形前的坐標(biāo)分所表示的線元在物體在方

22、向有(c)處展開為Taylor級(jí)數(shù)，即兩點(diǎn)所產(chǎn)生的增量，將其在(是因略去(d)式中的高階微量(由(3.1-1)式知，同理可得，所以，？，并將(d)式代入(c)式，則可得(d)(3.1-3a)(3.1-3b)(3.1-3)式表示用物體的任意線元在變形前的投影表出它在變形后的投影。我們的目的是為了計(jì)算(f)式中與之差，于是由(a)式和(e)式可得(3.1-4)式(3.1-4)實(shí)際上就是應(yīng)變?cè)诟髯鴺?biāo)方向的分量，它是非線性的。 如果知道了變形體各點(diǎn)的位移u、w，則可由該式求得各點(diǎn)的應(yīng)變分量， 式(3.1-4)可米用張量表示為(3.1-5)1.3線元的長(zhǎng)度變化引入符號(hào)是點(diǎn)(3.1-6)和N間由變形引起的

23、距離的增加量對(duì)二者間變形前的距離的在點(diǎn)N方向的相對(duì)伸長(zhǎng)度。的表達(dá)式為比.我們把這個(gè)量稱作點(diǎn)根據(jù)式(a)和式(f)，并注意(3.1-2)式，則可得 伸長(zhǎng)度式中，是矢量(3.1-7)的方向余弦。如果在(g)式中令，那么有(3.1-8a)此處伸長(zhǎng)度為因此，應(yīng)變分量1.4線元方向的變化變形物體中的線段，在變形時(shí)不僅長(zhǎng)度要改變，而且方向也會(huì)發(fā)生變 化。矢量與坐標(biāo)軸(X，Y，Z)形成的方向余弦分別為、；而矢量與坐標(biāo)軸夾 角的方向余弦分別為利用(3.1-6)式解得二(3.1-9)、度，它們稱為正應(yīng)變。、(3.1-8b)描述了變形前平行于坐標(biāo)軸的那些線元的伸長(zhǎng)表示點(diǎn)在x方向的相對(duì)伸長(zhǎng)度。類似有點(diǎn)在y、z方向的

24、相對(duì)， 并注意到(3.1-3)式可得(3.1-10)式(3.1-10)表示任意線元在變形后的方向，即變形后形前弦為的方向余弦表示。如果變形前線元，的方向余弦可以用變與X軸 平行，則該線元的方向余，那么由(3.1-10)式知，該線元變形后的方向余弦 為此處(3.1-11)是變形前與X軸平行線元的伸長(zhǎng)度。由上式可以看出，對(duì)于任意線元，因各個(gè)方向的位移、因?yàn)榫€元上給出了點(diǎn)w不相同，因此方向要改變(圖3.2)；同時(shí)各個(gè)方向的伸長(zhǎng) 度也不相同，方向也要改變。在變形后成為已變形物體 上坐標(biāo)曲線的切 線方向的上坐標(biāo)曲線上的線元，所以式(3.1-11)實(shí)際方向余弦。類似地可以由(3.1-11)式得出已變形物體

25、上坐標(biāo)曲線和的切線的方向余弦。如果用、表示點(diǎn)在坐標(biāo)切線方向的三個(gè)單位矢量，那么該三個(gè)單位矢圖3.2線元的方向余弦量相對(duì)于笛卡爾坐標(biāo)的方向余弦可由(3.1-11 )式如同線元那樣得到類似的(3.1-11 )式。具體列于表3.1。的方向余弦表示變形前的方向余類似于(3.1-9)的方法也導(dǎo)出用弦，讀者可自行推導(dǎo)。1.5剪切度與切應(yīng)變?nèi)鐖D所示，設(shè)變形前物體中經(jīng)過點(diǎn)的兩條任意纖維和、，此兩纖維在、點(diǎn)移動(dòng)到和、和、的切線的方向余弦分別為、；變形后，物體中的變成纖維和、纖維和和、 ，。點(diǎn)，纖維的方向余弦也變?yōu)?、由前面可知，變形后兩纖維的方向余弦可用變形前的方向余弦表示，同時(shí)由解析幾何知剪切變形則可求得變形后

26、纖維和注意(3.1-5)式，則可得注意，式中纖維和纖維和的伸長(zhǎng)度和(3.1-13)由(3.1-7)確定，但必須用變形前物體的、O之間夾角的方向余弦。將(3.1-10)式代入上式，并(3.1-12)的方向余弦、和、3.2應(yīng)變張量與轉(zhuǎn)動(dòng)張量一般來說，物體中各點(diǎn)的變形由(3.1-5)式中的6個(gè)分量可完全確定，因?yàn)橹懒诉@6個(gè)分量就等于知道了伸長(zhǎng)度和剪切度。在變形理論分析中，通常還需引入9個(gè)參數(shù)，即2.1微元體的轉(zhuǎn)動(dòng)變形物體在變形過程中，由前節(jié)已經(jīng)知道，線元不僅產(chǎn)生尺度變化，而且線元的方向也發(fā)生變化。但是在變形時(shí)起變化的不僅線元的相對(duì)方向，而且還有它的絕對(duì)方向，因?yàn)閺某跏紶顟B(tài)的物體中割離出來的無限小微

27、元體，到終了狀態(tài)時(shí)，除了產(chǎn)生形變外，還有一些轉(zhuǎn)動(dòng)。把這術(shù)語應(yīng)用到微元體上(它在產(chǎn)生位移過程中不僅位置要發(fā)生改變，線元繞軸而且還改變了大小和形狀)，角度變 意指所有屬于微元體的許多個(gè)線元轉(zhuǎn)動(dòng)的平均值。同時(shí)，約定動(dòng)角，此處軸是變形前和線元位置)和它在變形后垂直的軸，是線元在垂直軸平面上投影之間的夾角。作為繞軸的轉(zhuǎn) (在變形前的3.3主應(yīng)變和應(yīng)變不變量3.1應(yīng)變張量的坐標(biāo)變換同一個(gè)變形可在不同的坐標(biāo)系中研討。在所有各種情況下，可以用前 面所確定的六個(gè)應(yīng)變分量把變形的特征充分地表示出來，但這六個(gè)應(yīng)變分 量的值卻隨坐標(biāo)軸方向的選擇而變更。3.2主應(yīng)變和應(yīng)變不變量現(xiàn)在討論在那一個(gè)方向伸長(zhǎng)度由上式可見，求存

28、在如下關(guān)系會(huì)具有極值。設(shè)取軸平行這個(gè)方向的極值，也即要確定的值，之間或的極值歸結(jié)為求使得在該方向上使(3.3-5)式中的第一式 有極值。由(3.3-1b )式于知，3. 4應(yīng)變率張量和應(yīng)變?cè)隽繌埩?.1應(yīng)變率張量在小變形條件下，應(yīng)變張量可簡(jiǎn)寫為(3.4-1)而當(dāng)介質(zhì)處在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，以很小，表示質(zhì)點(diǎn)的速度，表示速度的三個(gè)分，由于量，以時(shí)間作為 起點(diǎn)，則經(jīng)過無限小時(shí)間段以后，位移為及其對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)也很小，因此 可以應(yīng)用小變形公式，即(3.4-2)4.2應(yīng)變?cè)隽繌埩繎?yīng)當(dāng)指出，對(duì)于固體材料，當(dāng)溫度不變時(shí)或變形是緩慢的，則其力學(xué) 行為與應(yīng)變率關(guān)系不大，只有在受到動(dòng)載荷時(shí)，因變形速率很快，材料的 力學(xué)性質(zhì)

29、才會(huì)與應(yīng)變速率有關(guān)，這類材料通常稱為應(yīng)變率敏感材料。因此， 根據(jù)第一章中的基本假設(shè)，時(shí)間因素對(duì)物體的彈塑性力學(xué)行為不發(fā)生影響 (即不考慮粘性效應(yīng))，而且這里的并不代表真實(shí)的時(shí)間，僅僅代表加載變 形的過程。于是，對(duì)于這里。于是采用應(yīng)變?cè)隽扛鼙硎静皇軙r(shí)間參數(shù)選擇的特點(diǎn)。所討論的問題主要關(guān)心的不是 應(yīng)變速率.而是應(yīng)變?cè)隽看鎽?yīng)變率二、彈塑性力學(xué)在工程上的應(yīng)用彈性和塑性理論是現(xiàn)代固體力學(xué)的分支，彈性和塑性理論的任務(wù)，一 般就是在實(shí)驗(yàn)所建立的關(guān)于材料變形的力學(xué)基礎(chǔ)上，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方法來 研究各種形狀的變形固體在外荷載作用下的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。彈塑性理 論研究的對(duì)象是彈性體，指的是一種物體在每一種給定的

30、溫度下，存在著 應(yīng)力和應(yīng)變的單值關(guān)系，與時(shí)間無關(guān)。通需這一關(guān)系是線性的，當(dāng)外力取 消后，應(yīng)變即行消失，物體能夠恢復(fù)原來的狀態(tài)。同時(shí)物體內(nèi)的應(yīng)力也完 全消失。彈塑性理論在工程上有著廣泛的應(yīng)用，經(jīng)常結(jié)合有限元軟件分析結(jié)構(gòu) 及桿件產(chǎn)生的內(nèi)力、位移、變形等判斷結(jié)構(gòu)是否滿足安全性，耐久性等其 他方面的要求。2.1彈塑性力學(xué)在材料上的應(yīng)用2.11三軸圍壓下砂漿彈塑性損傷變形的研究水泥砂漿可以視為無粗骨料的混凝土，在工程上有著廣泛的應(yīng)用，其 力學(xué)性能的研究也得到廣泛的關(guān)注。砂漿材料作為一種類巖石材料，其三軸圍壓作用下的力學(xué)行為作為表 征其材料性質(zhì)的一個(gè)重要方面。大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，應(yīng)力狀態(tài)對(duì)脆性材 料的力學(xué)

31、性能有著重要影響。一般情況下，對(duì)于許多脆性材料，在單軸加 載或低圍壓下，表現(xiàn)出明顯的脆性特性；而隨著圍壓的增大，試件的強(qiáng)度 和韌性都有著顯著地提高。然而，據(jù)目前的研究現(xiàn)狀而言，對(duì)于砂漿材料 三軸壓縮狀態(tài)下的力學(xué)響應(yīng)的研究成果較少，在模擬方面大多數(shù)是基于唯 象模型，缺乏結(jié)構(gòu)的信息，模型結(jié)構(gòu)沒有材料內(nèi)部的結(jié)構(gòu)變化相聯(lián)系。因 此，利用基于微觀物理機(jī)制的本構(gòu)模型研究三軸壓縮狀態(tài)下的砂漿材料的 力學(xué)響應(yīng)有著非常重要的科學(xué)意義。砂漿的彈塑性損傷變形的研究是基于對(duì)泛函數(shù)和Cauchy-born準(zhǔn)則， 抽象出彈簧束構(gòu)元和體積構(gòu)元，組集兩種構(gòu)元的力學(xué)響應(yīng)，給出了材料的 彈性損傷的本構(gòu)關(guān)系；考慮滑移作為主要的彈塑性變形機(jī)制，提出了滑移構(gòu)元，給 出了材料的塑性本構(gòu)關(guān)系利用變形分解機(jī)制，得到了三種構(gòu)元共同描述的 彈塑性損傷的本構(gòu)關(guān)系。闡述了給定應(yīng)變條件下彈塑性損傷本構(gòu)關(guān)系的迭代流程。從材料細(xì)觀變形角度解釋了隨著圍壓增加，材料的承載能力增加 的現(xiàn)象，初步驗(yàn)證了彈塑性理論處理非比例加載的問題。2.12基于彈塑性理論計(jì)算鋼筋銹脹力以彈塑性為基礎(chǔ)，視鋼筋混凝土為半脆性材料，取外半徑為（R+r）、 內(nèi)徑為R