小波分析應(yīng)用實(shí)例讀文報(bào)告

1、小波分析應(yīng)用實(shí)例讀文報(bào)告一、小波分析的基本理論小波分析(WaveletAnalysis)或多分辨分析(MultiresolutionAnalysis)是傅里葉分析儀發(fā)展史上里程碑式的進(jìn)展，也是調(diào)和分析這一數(shù)學(xué)領(lǐng)域半個(gè)世紀(jì)以來工作的結(jié)晶。其基礎(chǔ)理論知識(shí)涉及到泛函分析、數(shù)值分析、統(tǒng)計(jì)分析，涉及到電子工程、電氣工程、通信工程和計(jì)算機(jī)工程等，其同時(shí)具有理論深刻和工程應(yīng)用十分廣泛的雙重意義。小波(wavelet),即小區(qū)域的波，是一種特殊的長(zhǎng)度有限(緊支集)或快速衰減，且均值為0的波形。小波函數(shù)小波函數(shù)的確切定義為：設(shè)屮(t)為一平方可積函數(shù)，即屮(t)eL2(R)，若其傅里葉變換屮()滿足條件：C二J

2、片(弓dV00(1-3)R貝I稱屮(t)為一個(gè)基本小波或小波母函數(shù)。稱式(1-3)為小波函數(shù)的可容許條件。把小波和構(gòu)成傅里葉分析基礎(chǔ)的正弦波做一個(gè)對(duì)比，傅里葉分析所用的正弦波在實(shí)踐上沒有限制，從負(fù)無窮到正無窮，但小波傾向于不規(guī)貝和不對(duì)稱。傅里葉分析是將信號(hào)分解成一系列的不同頻率的正弦波德疊加，同樣小波分析是將信號(hào)分解成一系列小波函數(shù)的疊加，而這些函數(shù)都是有一個(gè)母函數(shù)經(jīng)過平移與尺度伸縮得來的。信號(hào)局部的特性用小波函數(shù)來逼近尖銳變化的信號(hào)顯然要比光滑的正弦曲線要好。將小波母函數(shù)屮(t)進(jìn)行伸縮和平移，就可以得到函數(shù)屮(t):a,T1tT屮(t)=.屮()a,teR；a0(1-4)a,Taa式中，a

3、為伸縮因子，T為平移因子，屮(t)為依賴于參數(shù)a和T的小波基函數(shù)，由a,T于尺度因子a和平移因子t是連續(xù)變化的值，因此稱屮(t)為連續(xù)小波基函數(shù)。它們是由a,T同一組母函數(shù)屮(t)經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)序列。小波奇函數(shù)的窗口隨尺度因子的不同而伸縮，當(dāng)a逐漸增大時(shí)，基函數(shù)屮(t)的時(shí)間a,T窗口也逐漸變大，而其對(duì)應(yīng)的頻域窗口也相應(yīng)減小，中心頻率逐漸變低。相反，當(dāng)I逐漸減小時(shí)，基函數(shù)屮(t)的時(shí)間窗口逐漸減小，而其頻域窗口相應(yīng)增大，中心頻率逐漸升高。a,T小波分析方法是一種窗口大小(即窗口面積)固定但其形狀可改變，時(shí)間窗和頻率窗都可改變的時(shí)頻局域化分析方法，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和

4、較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低頻率分辨率，所以被稱之為數(shù)學(xué)顯微鏡。小波變換J+8小波變換的含義：把一稱為基本小波的函數(shù)屮(t)做位移工后，再在不同尺度a下與待分析信號(hào)x(t)做內(nèi)積：tXx(t)*()dta0a等效頻域表示是：WTxJ+8-8式中，X(w)屮()分別是x(t)，屮(t)的傅里葉變換。小波變換具有以下特點(diǎn)和作用：具有多分辨率(也叫多尺度)的特點(diǎn)，可以由粗到細(xì)地逐步觀察信號(hào)。我們也可以把小波變換看成用基本頻率特性為屮()的帶通濾波器在不同尺度a下對(duì)信號(hào)做濾波。適當(dāng)?shù)剡x擇基本小波，使屮(t)在時(shí)域上為有限支撐，屮()在頻域上也比較集中，便可以使小波變換在時(shí)、頻

5、兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，這樣就有利于檢測(cè)信號(hào)得瞬態(tài)或奇異點(diǎn)。多分辨率分析多分辨分析是整個(gè)小波分析的精髓所在。在工程應(yīng)用中利用小波變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理應(yīng)用最廣泛的是二進(jìn)小波變換，它對(duì)尺度參數(shù)進(jìn)行離散化，而對(duì)時(shí)間域上的平移參量保持連續(xù)變換，不破壞信號(hào)在時(shí)間域上的平移參量。1988年，Mallat在構(gòu)造正交小波基時(shí)，提出了多分辨率分析的概念，從空間的概念上形象地說明了小波的多分辨率性，對(duì)正交小波基的構(gòu)造方法進(jìn)行了統(tǒng)一，提出了正交小波變換的快速算法，即Mallat算法采用正交小波變換時(shí)，任意信號(hào)X(t)eL2(R)可采用多分辨率分解公式表示為:J-1Kd(k)V(t)jj,kx(t)=工a(k

6、)p(t)+jj,kj,kk尺度空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基；j(t)為小波空間W的標(biāo)準(zhǔn)正交基。V=VW，其中Wj,kjj-1jjj式中件k=2-哄2-k)為尺度函數(shù)；屮從=2-為小波函數(shù);為V在V空間的正交補(bǔ)空間，J為尺度j的某個(gè)特定值，分解系數(shù)Q(k)和d(k)分別稱jj-1jj為離散平滑近似信號(hào)和離散細(xì)節(jié)信號(hào)。其遞推公式如下：a(k)=j+i工h(m2k)a(k)0jd(k)=j+1工h(m2k)a(k)1j式中，h和h分別是低通數(shù)字濾波器和高通數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)。取01h=(-1)kh(k)，構(gòu)成正交鏡像對(duì)稱濾波器組。d(k)和a(k)分別是h(k)和h(k)00j+1j+101卷積后再抽

7、取得到的信號(hào)序列。多分辨率分解只是對(duì)低頻部分進(jìn)一步分解，而高頻部分則不予以考慮。所以小波多分辨率信號(hào)分解可用多抽樣率子帶濾波器組來實(shí)現(xiàn)，在小波分解中，設(shè)采樣頻率為f，則x(n)占據(jù)的頻帶為0f/2，經(jīng)過j級(jí)分解，得到d(k)，ss1d(k)d(k)，a(k)這J+1個(gè)序號(hào)列，所占據(jù)的頻帶依次為：f/4f/8，2jjssf/8f/16，.f/2j-1f/2j，0f/2j+1，由此可以將所需的頻段提取出來，這sssss就是用濾波器實(shí)現(xiàn)小波多分辨分析的原理。二、糧食產(chǎn)量變化的實(shí)例分析1資料的來源與處理我們選擇以成都市糧食年際變化量來進(jìn)行實(shí)例的小波分析運(yùn)用數(shù)據(jù)來源于文，分析的時(shí)間是19502005年.

8、共計(jì)56年.成都市各年年際糧食變化量見圖1。圖1成都市各年年際糧食產(chǎn)量變化圖2年際糧食變化量的小波變換我們把現(xiàn)有的數(shù)據(jù)按照以下方式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：其中：Z為標(biāo)準(zhǔn)化后得到的值；X均為算術(shù)平均值，s為標(biāo)準(zhǔn)差（樣本方差）。S=匸土然后進(jìn)行了Morlet小波變換（其中取8=6）.得到了一個(gè)56X56的小波系數(shù)矩陣將矩陣各數(shù)取實(shí)部后通過插值的方法。我們將矩陣以圖象的形式表達(dá)出來,這樣很直觀的表達(dá)出來了矩陣內(nèi)部的變化,我們把最為主要的區(qū)域已列出見圖2。197519651990199520002005圖2morlet小波變換系數(shù)實(shí)部圖3年際糧食變化量的小波方差通過計(jì)算，我們得到了小波方差值，我們繪制了exc

9、el圖，見圖3能夠很直觀地看出。在14a尺度上，小波方差達(dá)到了最大，說明14a是成都市糧食年際變化的主要周期。000005O5O&22IL3圖3小波方差圖4實(shí)例結(jié)論通過小波分析之后，我們得出了成都市糧食年際變化的主要存在著以周期為14a的振蕩。通過對(duì)14a尺度上的小波系數(shù)（小波系數(shù)實(shí)部圖見圖4）分析，我們很清楚地看出，目前,成都市的年際糧食產(chǎn)量還是屬于減少與增長(zhǎng)的過渡突變期，在未來的時(shí)間將會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)樵鲩L(zhǎng)期。對(duì)于區(qū)域糧食的不同變化趨勢(shì)。應(yīng)該啟動(dòng)不同的糧食政策。政府糧食工作的重點(diǎn)也應(yīng)該不同，而通過這個(gè)小波分析的結(jié)果可以為區(qū)域糧食政策的改變。提供一個(gè)有用的參考。圖4時(shí)間尺度為14a的Morlet小波變換系數(shù)實(shí)部圖三、結(jié)論通過實(shí)例分析，我們能夠發(fā)現(xiàn)小波分析能夠很好地分析出糧食年際變化所反映的時(shí)頻信息。利用小波理