空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系專題

1、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系專題A組基礎(chǔ)題組 TOC o 1-5 h z .已知異面直線a,b分別在平面a , 3內(nèi)，且a n 3 =c,那么直線c 一定（）A.與a,b都相交B.只能與a,b中的一條相交C.至少與a,b中的一條相交D.與a,b都平行.已知空間中有三條線段AB,BC和CD,且/ ABC4 BCD那么直線 AB與CD的位置關(guān)系是（）A.AB / CDB.AB與 CM面C.AB與CD相交D.AB/ CD或AB與CD異面或AB與CD相交.已知P是 ABC所在平面外一點，M,N分別是AB,PC的中點，若MN=BC=4,PA=43,則異面直線 PA與MN 所成角的大小是（）A.30

2、B.45C.60D.90.如圖所示，平面a A平面3 =l,A C a ,B C a ,AB A l=D,C 6 , ,C?l,則平面 ABC平面3白交線是（）A.直線ACB.直線ABC.直線CDD.直線BC5.直三棱柱 ABC-AB1G中，/ BCA=90 ,M,N分別是AiB,AiCi的中點，BC=CA=CC則BM與AN所成角的余弦B.C.V3010D. 6.如圖，平行六面體ABCD-ABiCD中，既與AB共面又與 CC共面的棱有條.如圖為正方體表面展開圖的一種，則圖中的四條線段 AB,CD,EF,GH在原正方體中互為異面直線的有.已知三棱錐 A-BCD中,AB=CD,且異面直線AB與CD

3、所成的角為60 ,點M,N分別是BC,AD的中點，則異面直線AB和MN/f成的角為.已知空間四邊形 ABCM ,E、H分別是邊AB，AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC CD的中點.(1)求證:BC與AD是異面直線；(2)求證:EG與FH相交.在正方體 ABCD-ABGD中：(1)求AC與A1D所成角的大?。?2)若E,F分別為AB,AD的中點，求AC與EF所成角的大小B組提升題組1.在棱長為1的正方體 ABCD-ABQDi中,E、F分別是DD、AB的中點，平面BEF交棱AD于點P,則PE=( )B.C.dT2ab為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜

4、邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： 當(dāng)直線 AB與a成60角時，AB與b成30角;當(dāng)直線 AB與a成60角時，AB與b成60角;直線AB與a所成角的最小值為45 ;直線AB與a所成角的最大值為60。.其中正確的是.(填寫所有正確結(jié)論的編號).如圖，在二棱錐 P-ABC中,PA，底面 ABC,D是 PC的中點.已知 / BAC=,AB=2,AC=2 v3,PA=2.(1)求三棱錐P-ABC的體積；(2)求異面直線BC與AD所成角的余弦值.如圖所示，平面四邊形ADEF所在的平面與梯形 ABCM在的平面垂直，AD，CD,ADL ED,AF/ DE,AB/CD,CD=2AB=2AD=2ED=x

5、AF.若四點F、B C、E共面,AB=a,求x的值;(2)求證：平面CBEL平面 EDB.答案精解精析A組基礎(chǔ)題組.C 若c與a,b者B不相交，則c與a,b都平行，此時a / b,與a,b異面矛盾.D 若三條線段共面，則直線AB與CD相交或平行；若三條線段不共面，則直線AB與CD是異面直線.1_ _1.A 取AC的中點 O,連接OM,ON則ON APQNAPQM/ BC,OM=BC,所以異面直線 PA與MNI成的角為 / ONM或其補角），在 ONMfr ,OM=2,ON=2v3,MN=4,由勾股定理的逆定理得 OML ON,則/ ONM=30 .故選 A.C 由題意知，D C l,l ? 3

6、 ,所以DC 3 ,又DC AB,所以DC平面ABC,所以點D在平面ABC與平面3的交線上.又 CC 平面 ABC,CC 3 ,所以點C在平面ABC與平面3的交線上，所以平面AB6平面3 =CD.C 取BC的中點Q,連接QN,AQ,易知BM/ QN,則/ ANQ域其補角）即為所求，設(shè) BC=CA=CC2,貝U AQ=/5,AN=v5,QN= v6,/ .？?？+N?2-A?2 cos/ ANQ=? 2? ?5+6-56v302V5-xv6 2v3q 10 ,故選C.答案 5嚷解析 與AB和CC都相交的棱有 BC;與AB相交且與CC平行的棱有 AA,BBi；與AB平行且與CC相交的棱有CD,CD

7、.故符合條件的有 5條.。答案 3嚷解析 將展開圖還原為正方體，如圖所示，顯然,AB與CD,EF與GH,AB與GH都是異面直線,而AB與EF相交,CD與GHffi交,CD與EF平行,故互為異 面直線的有3 X.。答案 60或30。解析如圖，取AC的中點P,連接PM,PN,11 .則PM/ AB,且PM=1AB,PN/ CD,且PNCD,所以/ MPN或其補角）為異面直線 AB與CD所成的角，則/ MPN=60 或/ MPN=120 .因為PM/ AB,所以/ PMN或其補角）是異面直線AB與MN所成白角.若/ MPN=60 ,因為AB=CD所以PM=PN,則 PMN等邊三角形，所以/ PMN=

8、60 ,即AB與MN所成的角為60 .若/ MPN=120，則易知 PMN等腰三角形，所以/ PMN=30，即AB與MN所成的角為30 .綜上，異面直線AB和MN/f成的角為60或30 .9.。證明（1）假設(shè)BC與AD共面，不妨設(shè)它們所共平面為a ,則B,C,A,D a , 所以四邊形 ABC陰平面圖形，這與四邊形ABCM空間四邊形相矛盾，所以BC與AD是異面直線.（2）如圖，連接 AC,BD,EF,FG,GH,EH,則 EF/ AC,HG/ AC,因此 EF/ HG,同理,EH II FG,則四邊形 EFGHW行 四邊形.又EG FH是平行四邊形 EFGH勺對角線，則EG與FH相交.10.2

9、解析（1）如圖所示，連接BC,AB1,由ABCD-AB1C1Di是正方體，易知AD/ B1C,從而/ B1CA（或其補角）就是AC與A1D所成的角. AB=AC=EBC,/ BCA=60 .即AD與AC所成的角為60(2)如圖所示，連接BD,在正方體 ABCD-ABiCD中,AC，BD,AC/ AC,BD AG, E,F分別為AB,AD的中點,EF/ BD,EF AC,EF AG,即AC與EF所成的角為90 .B組提升題組.D 過點C作CiG/ BF,交直線CD于點G,過點E作HQ/ CG,分別交CD的延長線、CD于點H、Q,連接1，故選D. 6BiQ,HF,交AD于點P,易知HQ/ BiF,

10、所以Q H F、Bi四點共面，易求得HD=DQ=1,由 PDH PAF可得 4? ?1,兩=兩=2,則 PD=3, 在 RtPED中，PE=. *答案爆解析 過點C作直線ai / a,b i / b,則直線AG ai、bi兩兩垂直.不妨分別以ai、bi、AC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，取ni=(i,0,0)為ai的方向向量，n2=(0,i,0)為bi的方向向量，令A(yù)(0,0,i).可設(shè)1B(cos 0 ,sin 0 ,0),則？?？?(cos 0 ,sin 0 ,-1).當(dāng)直線 ABj a成 60 角時，|cos|=空 /. |cos 0|= t，|sln0 |=2,|cosn

11、2, ?|=2,即 AB與 b 所成角也是 60 . / |cosn 1, ?=覃，咚?1w,直線AB與a所成角的最小值為 45。.綜上，和是正確的，和是錯誤的.故填.。解析 （1）因為PA1底面ABC,所以PA是三錐P-ABC的高.又Saab=2x 2X 2v3=2v3,所以三棱錐P-ABC的體積為 V獷ABC- P*X23X Z中.（2）如圖，取PB的中點E,連接DE,AE,則ED/ BC,所以/ ADE（或其補角）是異面直線BC與AD所成的角易知 PB=2v2,PC=4,BC=4,貝在 ADE中,DE=2,AE=揚,AD=2,所以 cos / AdJ/yM2= 32X2X2 4故異面直線BC與AD所成角的余弦值為3. 士角軍析 （1） AF/ DE,AB/ DC,AFA AB=A,DEH DC=D,平面 ABF/平面 DCE.又四點F,B,C,E共面，F(xiàn)B/ CE,可知 ABF DCE. AB=a, ED=a,CD=2a,AF寫?2? ?由相似三角形對應(yīng)邊之比相等得晟市?即盛加所以x=4.（2）證明：不妨設(shè)AB=1,則AD=AB=1,CD=2在BAD中,BD=S,取CD中點M,則MDW