斜率公式在解題中的妙用

1、斜率公式在解題中的妙用在高中數(shù)學(xué)中已知兩點(diǎn)A(x , j ),B(x , j )求直線AB的斜率可以用斜率公式k = 1 2來(lái)計(jì)1122AB x X算，在數(shù)學(xué)的解答過(guò)程中，如果能夠恰當(dāng)?shù)厥褂眠@個(gè)公式，把它轉(zhuǎn)化為一個(gè)幾何圖形，1化為一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)和一個(gè)定點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的變化來(lái)形象、具體地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行描述，從而可以直觀地看到問(wèn)題的本質(zhì)， 對(duì)我們的解題起到事半功倍的效果。一般來(lái)說(shuō)，斜率在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面：【題型1】應(yīng)用斜率進(jìn)行求值域及最值【例1】函數(shù)J =2slnx的最值。+ cos x【分析】這是一個(gè)比較常規(guī)的問(wèn)題，通常在教學(xué)過(guò)程中就會(huì)指導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合的方式，把問(wèn)題 =2 slnx變

2、化成 = _s。x看成動(dòng)點(diǎn)(cosx,sln x)與定點(diǎn)(2,2)之間的直線的斜率問(wèn)題，通2 + cos x2 ( cos x)過(guò)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的單位圓，轉(zhuǎn)化為圓上一點(diǎn)與定點(diǎn)(2,2)之間的斜率的變化趨勢(shì)j 2 = k (x 2)x 2 + j 2 = 1來(lái)說(shuō)明問(wèn)題。通過(guò)對(duì)形的分析可以馬上得到相切時(shí)達(dá)到最值。【解析】由題設(shè)直線j 2 = k (x 2)與圓x 2 + 2 =1相切，則聯(lián)立方程. = 4k2(2 2k)2 4(1+ k2)(4k2 8k + 3) = 0,3k2 8k + 3 = 0,二 k = 4士,二函數(shù) j = 2 皿x 的2+cosx日 m- st 4 +

3、 v 7 日.，、口 4 、7 最大值為 c ，最小值為33_. _ .x 5【例2】求函數(shù)j =x時(shí)，有 TOC o 1-5 h z 1212f (X ) ( ”,” = 1或 1或=1即可，讓b無(wú)限接近于a時(shí)， a - b則 K = | f (x)| = = 1| f (a) - f (b)| |a -b|。1 + x 2 2 x【例5】 已知函數(shù)y = f (x)與j =的圖象關(guān)于直線x = 1對(duì)稱，g(x) = f (x) + ax(x - 2)2 +1求函數(shù)y = f (x)的解析式；若g(x)在-1,1上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若 x ,x e-1,d,x 豐 x，求證 |g

4、(x ) g(x ) 0 在-1,1上x(chóng) 2 + 1x 2 + 1(x 2 + 1)2成立，求出a 0 ；由于x。x，若能證明g-gI%) 2 + |a|即可，即相當(dāng)于g(x)在-1,1上的|g，(x)| 2 + |a|。1 2*-可【略解】在-1,1上，|g (x)|= 2x + a |2 + a| b c 0，試判斷地,勝,也的大小關(guān)系。2a b c【分析】本題在明確函數(shù)關(guān)系式的情況下確是對(duì)未知量的大小關(guān)系的比較，實(shí)質(zhì)反應(yīng)的是對(duì)結(jié)論成 立的一般化說(shuō)明。這就要求我們對(duì)問(wèn)題要有個(gè)比較清醒的認(rèn)識(shí)：函數(shù)明確，圖象易得，要能在圖象 上發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的關(guān)鍵，同時(shí)會(huì)對(duì)未知的結(jié)論進(jìn)行處理，如業(yè) =f (a) -

5、0，這就成了 f (x)上點(diǎn)a a 一 0(x, f (x)與定點(diǎn)(0,0)的斜率問(wèn)題，圖象上一添輔助線就一目了然。【略解】4 些 an(n e N*)，則該函數(shù)的圖象是下列哪個(gè)圖象？【分析】由a = f (a )及a a可以得到f (a ) a，而(a , f (a )在y = f (x)圖像上，則由n+1nn+1nn nn na a可以得到氣) 1 n ,隊(duì))- 1，于是轉(zhuǎn)化為函數(shù)y = f (x)上任一點(diǎn)(x, f (x)與定點(diǎn)n+1 naa 一 0(0,0)連線的斜率大于1，從而選第一個(gè)圖象。從以上幾種類型的探究可以看到，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，我們要學(xué)會(huì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深層次的挖掘，去 探討給出問(wèn)題的背景，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題給出的幾何原形，利用數(shù)形結(jié)合的方式，比較簡(jiǎn)單，更加深刻地解 決和理解問(wèn)題，這