復變函數(shù)課件5-習題課

1、7/26/20221課件 一、重點與難點重點：難點：留數(shù)的計算與留數(shù)定理留數(shù)定理在定積分計算上的應用7/26/20222課件二、內容提要留數(shù)計算方法可去奇點孤立奇點極點本性奇點函數(shù)的零點與極點的關系對數(shù)留數(shù)留數(shù)定理留數(shù)在定積分上的應用輻角原理路西原理7/26/20223課件1）定義 如果函數(shù)在 不解析, 但在的某一去心鄰域內處處解析, 則稱為的孤立奇點.1. 孤立奇點的概念與分類孤立奇點奇點2）孤立奇點的分類依據(jù)在其孤立奇點的去心鄰域內的洛朗級數(shù)的情況分為三類:i) 可去奇點; ii) 極點; iii) 本性奇點.7/26/20224課件定義 如果洛朗級數(shù)中不含 的負冪項, 那末孤立奇點 稱為

2、 的可去奇點. i) 可去奇點7/26/20225課件ii) 極點 定義 如果洛朗級數(shù)中只有有限多個的負冪項, 其中關于的最高冪為即級極點.那末孤立奇點稱為函數(shù)的或寫成7/26/20226課件極點的判定方法在點 的某去心鄰域內其中 在 的鄰域內解析, 且 的負冪項為有的洛朗展開式中含有限項.(a) 由定義判別(b) 由定義的等價形式判別(c) 利用極限判斷 .7/26/20227課件如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個那末孤立奇點稱為的本性奇點.的負冪項,注意: 在本性奇點的鄰域內不存在且不為iii)本性奇點7/26/20228課件i) 零點的定義不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成其中在解析且m為某一正整

3、數(shù),那末稱為的 m 級零點. 3)函數(shù)的零點與極點的關系ii)零點與極點的關系如果是的 m 級極點, 那末就是的 m 級零點. 反過來也成立.7/26/20229課件 2. 留數(shù)記作定義 如果的一個孤立奇點, 則沿內包含的任意一條簡單閉曲線 C 的積分的值除后所得的數(shù)稱為以7/26/202210課件1)留數(shù)定理 設函數(shù)在區(qū)域 D內除有限個孤外處處解析, C 是 D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線, 那末立奇點留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉化為求被積函數(shù)在C內各孤立奇點處的留數(shù).7/26/202211課件(1) 如果為的可去奇點, 則如果 為 的一級極點, 那末 a) (2) 如果為的本性奇點,

4、則需將成洛朗級數(shù)求展開(3) 如果為的極點, 則有如下計算規(guī)則2)留數(shù)的計算方法7/26/202212課件 c)設及在如果那末為一級極點, 且有都解析，如果 為 的 級極點, 那末b)7/26/202213課件也可定義為記作1.定義設函數(shù)在圓環(huán)域內解析C為圓環(huán)域內繞原點的任何一條正向簡單閉曲線那末積分值為在的留數(shù).的值與C無關 , 則稱此定 3)無窮遠點的留數(shù)7/26/202214課件如果函數(shù)在擴充復平面內只有有限個孤立奇點, 那末在所有各奇點 (包括 點)的留數(shù)的總和必等于零. 定理7/26/202215課件3. 留數(shù)在定積分計算上的應用1）三角函數(shù)有理式的積分當歷經變程時, z 沿單位圓周

5、的正方向繞行一周.7/26/202216課件7/26/202217課件 2）無窮積分7/26/202218課件3）混合型無窮積分7/26/202219課件 特別地7/26/202220課件 4.對數(shù)留數(shù)定義具有下列形式的積分:內零點的總個數(shù), P為 f(z)在C內極點的總個數(shù).其中, N為 f(z)在C且C取正向. 7/26/202221課件如果 f(z)在簡單閉曲線C上與C內解析, 且在C上不等于零, 那么 f(z)在C內零點的個數(shù)等于乘以當z沿C的正向繞行一周 f(z)的輻角的改變量. 輻角原理 路西定理7/26/202222課件三、典型例題解7/26/202223課件解7/26/2022

6、24課件7/26/202225課件例2 求函數(shù) 的奇點，并確定類型.解是奇點.是二級極點;是三級極點.7/26/202226課件例3 證明 是 的六級極點.證7/26/202227課件例4 求下列各函數(shù)在有限奇點處的留數(shù).解(1)在 內,7/26/202228課件解7/26/202229課件解為奇點,當 時 為一級極點，7/26/202230課件7/26/202231課件解的一級極點為7/26/202232課件例5 計算積分 為一級極點， 為七級極點.解7/26/202233課件由留數(shù)定理得7/26/202234課件例6 解在 內,7/26/202235課件7/26/202236課件解例7 計算 7/26/202237課件7/26/202238課件例8 計算解令7/26/202239課件極點為：7/26/202240課件例9 計算積