高等數學(上冊)第七章課件

1、微分方程 第七章 積分問題 微分方程問題 推廣 第一節(jié) 微分方程的概念第二節(jié) 可分離變量的微分方程 齊次方程第三節(jié) 一階線性微分方程第四節(jié) 可降階的二階微分方程第五節(jié) 二階線性微分方程解的結構第六節(jié) 常系數齊次線性微分方程第七節(jié) 常系數非齊次線性微分方程第八節(jié) 歐拉方程第九節(jié) 常系數線性微分方程組第十節(jié) 微分方程的應用舉例第七章 微分方程微分方程的預備知識微分方程階：最高階導數的階數解：使方程成為恒等式的函數通解：特解：滿足初始條件的解初始條件：第一節(jié) 微分方程的概念 第二節(jié) 可分離變量的微分方程 齊次方程 一階微分方程如何求解一階微分方程 可分離變量例 求 的通解. 解 將原方程變形為原方程

2、的通解為第二節(jié) 可分離變量的微分方程 齊次方程 可化為變量分離方程的類型如何求解滿足上述條件的齊此方程 形如 的方程，稱為齊次方程令化為一個變量可分離的方程第二節(jié) 可分離變量的微分方程 齊次方程 第二節(jié) 可分離變量的微分方程 齊次方程 第二節(jié) 可分離變量的微分方程 齊次方程 第三節(jié) 一階線性微分方程 形如 方程， 稱為一階線性非齊次方程.一階線性非齊次方程的解法：先求解齊次方程常數變易法例 求 的通解.解 原方程通解為第三節(jié) 一階線性微分方程 伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的標準形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法 (線性方程)第

3、三節(jié) 一階線性微分方程 例 求方程的通解.解 令則方程變形為其通解為將代入, 得原方程通解: 第三節(jié) 一階線性微分方程 令因此即同理可得依次通過 n 次積分, 可得含 n 個任意常數的通解 .型的微分方程 第四節(jié) 可降階的二階微分方程 例 解 第四節(jié) 可降階的二階微分方程 型的微分方程 設原方程化為一階方程設其通解為則得再一次積分, 得原方程的通解第四節(jié) 可降階的二階微分方程 例 求解解 代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為第四節(jié) 可降階的二階微分方程 型的微分方程 令故方程化為設其通解為即得分離變量后積分, 得原方程的通解第四節(jié) 可降階的二階微分方程 例 求解代入

4、方程得兩端積分得(一階線性齊次方程)故所求通解為解 第四節(jié) 可降階的二階微分方程 例 解初值問題解 令代入方程得積分得利用初始條件,根據積分得故所求特解為得第四節(jié) 可降階的二階微分方程 為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與 x 軸圍成的三角形面例 二階可導, 且上任一點 P(x, y) 作該曲線的切線及 x 軸的垂線,區(qū)間 0, x 上以解 于是在點 P(x, y) 處的切線傾角為 ,滿足的方程 .積記為( 99 考研 )第四節(jié) 可降階的二階微分方程 再利用 y (0) = 1 得利用得兩邊對 x 求導, 得定解條件為方程化為利用定解條件得得故所求曲線方程為第四節(jié) 可降階的二階微分方程 可降階微分

5、方程的解法 降階法逐次積分令令第四節(jié) 可降階的二階微分方程 小結n 階線性微分方程的一般形式為為二階線性微分方程. 時, 稱為非齊次方程 ; 時, 稱為齊次方程.復習: 一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y第五節(jié) 二階線性微分方程解的結構 證畢線性齊次方程解的結構是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證 代入方程左邊, 得(疊加原理) 定理 第五節(jié) 二階線性微分方程解的結構 說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解 并不是通解但是則為解決通解的判別問題, 下面引入函數的線性相關與 線性無關概念. 第五節(jié) 二階線性微分方程解的結構 定義是定義

6、在區(qū)間 I 上的 n 個函數,使得則稱這 n個函數在 I 上線性相關, 否則稱為線性無關.例如， 在( , )上都有故它們在任何區(qū)間 I 上都線性相關;又如，若在某區(qū)間 I 上必需全為 0 ,在I 上都 線性無關.若存在不全為 0 的常數第五節(jié) 二階線性微分方程解的結構 兩個函數在區(qū)間 I 上線性無關的充要條件:線性無關常數思考:中有一個恒為 0, 則必線性相關(證明略)線性無關第五節(jié) 二階線性微分方程解的結構 定理 是二階線性齊次方程的兩個線性無關特解, 則數) 是該方程的通解.例如, 方程有特解且常數,故方程的通解為(自證) 第五節(jié) 二階線性微分方程解的結構 線性非齊次方程解的結構 是二階

7、非齊次方程的一個特解, Y (x) 是相應齊次方程的通解,定理 則是非齊次方程的通解 .證 將代入方程左端, 得第五節(jié) 二階線性微分方程解的結構 是非齊次方程的解,又Y 中含有兩個獨立任意常數,例如, 方程有特解對應齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而 也是通解 .第五節(jié) 二階線性微分方程解的結構 二階常系數齊次線性微分方程:和它的導數只差常數因子,代入得稱為微分方程的特征方程,(1) 當時, 有兩個相異實根方程有兩個線性無關的特解:因此方程的通解為( r 為待定常數 ),所以令的解為 則微分其根稱為特征根.第六節(jié) 常系數齊次線性微分方程 因為r為常數時，函數 (2) 當時, 特征方程有兩

8、個相等實根則微分方程有一個特解設另一特解( u (x) 待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u = x , 則得因此原方程的通解為第六節(jié) 常系數齊次線性微分方程 (3) 當時, 特征方程有一對共軛復根這時原方程有兩個復數解:因此原方程的通解為 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關特解:第六節(jié) 常系數齊次線性微分方程 若特征方程含 k 重復根若特征方程含 k 重實根 r , 則其通解中必含對應項則其通解中必含對應項特征方程: 推廣:第六節(jié) 常系數齊次線性微分方程 例 的通解.解 特征方程特征根:通解為例 求解初值問題解 特征方程有重根因此通解為， 利用初始條件得于是特解為第六節(jié) 常系數齊次

9、線性微分方程 例 解 特征方程特征根:例 解 特征方程:特征根 :原方程通解:(不難看出, 原方程有特解第六節(jié) 常系數齊次線性微分方程 的通解.特征根:(1) 當時, 通解為(2) 當時, 通解為(3) 當時, 通解為可推廣到高階常系數線性齊次方程求通解 .第六節(jié) 常系數齊次線性微分方程 小結二階常系數線性非齊次微分方程 :根據解的結構定理 , 其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數 . 待定系數法第七節(jié) 常系數非齊次線性微分方程 為實數 ,設特解為其中 為待定多項式 , 代入原方程 , 得 (1) 若

10、不是特征方程的根, 從而得到特解形式為為 m 次多項式 .Q (x) 為 m 次待定系數多項式第七節(jié) 常系數非齊次線性微分方程 (2) 若 是特征方程的單根 , 為m 次多項式,故特解形式為(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多項式,故特解形式為小結對方程,此結論可推廣到高階常系數線性微分方程 .即即當 是特征方程的 k 重根 時,可設特解第七節(jié) 常系數非齊次線性微分方程 例的一個特解.解 本題而特征方程為不是特征方程的根 .設所求特解為代入方程 :比較系數, 得于是所求特解為第七節(jié) 常系數非齊次線性微分方程 例 的通解. 解 本題特征方程為其根為對應齊次方程的通解為設非齊次方程特解為

11、比較系數, 得因此特解為代入方程得所求通解為第七節(jié) 常系數非齊次線性微分方程 例 求解定解問題解: 本題特征方程為其根為設非齊次方程特解為代入方程得故故對應齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得第七節(jié) 常系數非齊次線性微分方程 于是所求解為解得第七節(jié) 常系數非齊次線性微分方程 第二步 求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步 將 f (x) 轉化為第三步 利用疊加原理求出原方程的特解第四步 分析原方程特解的特點第七節(jié) 常系數非齊次線性微分方程 第一步利用歐拉公式將 f (x) 變形第七節(jié) 常系數非齊次線性微分方程 第二步 求如下兩方程的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故等

12、式兩邊取共軛 :為方程 的特解 .設則 有特解:第七節(jié) 常系數非齊次線性微分方程 利用第二步的結果, 根據疊加原理, 原方程有特解 : 第三步 求原方程的特解 原方程均為 m 次多項式 .第七節(jié) 常系數非齊次線性微分方程 第四步 分析因均為 m 次實多項式 .本質上為實函數 ,第七節(jié) 常系數非齊次線性微分方程 對非齊次方程則可設特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述結論也可推廣到高階方程的情形.第七節(jié) 常系數非齊次線性微分方程 例 的一個特解 .解 本題 特征方程故設特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數 , 得于是求得一個特解第七節(jié) 常系數非齊次線性微分方程

13、例 的通解. 解 特征方程為其根為對應齊次方程的通解為比較系數, 得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根 ,因此設非齊次方程特解為第七節(jié) 常系數非齊次線性微分方程 小結 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,則設特解為為特征方程的 k (0, 1 )重根, 則設特解為3. 上述結論也可推廣到高階方程的情形.第七節(jié) 常系數非齊次線性微分方程 第八節(jié) 歐拉方程 形如的方程稱為歐拉方程，其中為常數.如果來用記號表示對自變量求導的運算有 由幾個微分方程聯(lián)立起來共同確定幾個具有同一變量的函數的情形.這些聯(lián)立的微分方程稱為微分方程組. 如果微分方程組中的每一個方程都是常系數線性微分方程，則

14、稱這種微分方程組為常系數線性微分方程組.第九節(jié) 常系數線性微分方程組第九節(jié) 常系數線性微分方程組第九節(jié) 常系數線性微分方程組衰變問題 鐳、鈾等放射性元素因不斷放射出各種射線而逐漸減少其質量,這種現(xiàn)象稱為放射性物質的衰變.根據實驗得知,衰變速度與現(xiàn)存物質的質量成正比,求放射性元素在時刻的質量.第十節(jié) 微分方程組的應用舉例用 表示該放射性物質在時刻 的質量,則 表示 在時刻 的衰變速度,于是“衰變速度與現(xiàn)存的質量成正比”可表示為這是一個以 為未知函數的一階方程,它就是放射性元素衰變的數學模型,其中是比例常數,稱為衰變常數.第九節(jié) 常系數線性微分方程組第十節(jié) 微分方程組的應用舉例新產品的推廣模型第十節(jié) 微分方程組的應用舉例第十節(jié) 微分方程組的應用舉例價格調整模型第十節(jié) 微分方程