試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理：第9章 配方(混料)試驗(yàn)設(shè)計(jì)

1、第9章 配方(混料)試驗(yàn)設(shè)計(jì)(Formula Experimental Design) 第9章 配方(混料)試驗(yàn)設(shè)計(jì)(Formula Experimental Design)9.0 簡(jiǎn)述(Overview)9.1 配方試驗(yàn)設(shè)計(jì)約束條件(Constraint conditions of formula experimental design) 9.2 單純形配方設(shè)計(jì)(Simplex formula design) 9.3 配方均勻設(shè)計(jì)(Uniform mixture design) 9.0 概述(Overview)所謂混料，是指若干種不同成分按百分比混在一起。如飲料、巧克力等。配方試驗(yàn)設(shè)計(jì)(Fo

2、rmula Experimental Design)，又稱混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)(Mixture Experimental Design)：其目的是合理地選擇少量的試驗(yàn)點(diǎn)，通過(guò)一些不同配比的試驗(yàn)，得到試驗(yàn)指標(biāo)與成分百分比之間的回歸方程，并進(jìn)一步探討組成與試驗(yàn)指標(biāo)之間的內(nèi)在規(guī)律。 混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)在工業(yè)、農(nóng)業(yè)和科學(xué)試驗(yàn)中都得到廣泛的應(yīng)用。新產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)和老產(chǎn)品的技術(shù)改造都需要工藝參數(shù)優(yōu)化。搞好工藝參數(shù)優(yōu)化可促進(jìn)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樯a(chǎn)力，對(duì)企業(yè)提高技術(shù)管理水平和經(jīng)濟(jì)效益大有益處。9.1 配方試驗(yàn)設(shè)計(jì)約束條件(Constraint conditions of formula experimental design) 9

3、.1.1 約束條件(Constraint conditions)若y表示試驗(yàn)指標(biāo)，x1，x2，xm表示配方中m種組分各占的百分比，則混料約束條件 ：xj 0 （j1，2，m） x1x2xm1 說(shuō)明：在混料設(shè)計(jì)中，每個(gè)混料成分的含量都必須表示成分的百分比。顯然每個(gè)成分的含量百分比應(yīng)該是非負(fù)的并且它們的總和必須等于1。這也是混料設(shè)計(jì)與獨(dú)立變量設(shè)計(jì)最主要的區(qū)別。 9.1.2 混料配方設(shè)計(jì)中的數(shù)學(xué)模型(The mathematical models of formula experimental design) 例：試驗(yàn)指標(biāo)y與x1，x2，x3之間的三元二次回歸方程經(jīng)變換無(wú)常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)，只有一次項(xiàng)與

4、交互項(xiàng) ：可變?yōu)槿缦碌亩畏匠蹋?最常用的模型可用數(shù)據(jù)分析求解回歸方程9.2 單純形配方設(shè)計(jì)(Simplex formula design) 9.2.1單純形的概念(The concepts of simplex) 單純形是指頂點(diǎn)數(shù)與坐標(biāo)空間維數(shù)相等的凸圖形。在單純形混料設(shè)計(jì)中，一般都是用正單形，如正三角形，正四面體等。 平面上的正規(guī)單純形是等邊三角形，三維空間的正規(guī)單純形是正四面體，當(dāng)維數(shù)3時(shí)，正規(guī)單純形不能用圖畫出。高為1的正規(guī)單純形可表示混料組成頂點(diǎn)代表單一成分組成的混料 棱上的點(diǎn)代表兩種成分組成的混料 面上的點(diǎn)代表多于兩種而m 種成分組成的混料 內(nèi)部的點(diǎn)則是代表全部m種成分組成的混

5、料： 正規(guī)單純形內(nèi)任一點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和是19.2.2 單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì) （Simplex-lattice design ）單純形格子設(shè)計(jì)又叫單形點(diǎn)陣設(shè)計(jì)。它是混料設(shè)計(jì)中最先出現(xiàn)的、最基本的一種設(shè)計(jì)方案。單純形格子設(shè)計(jì)的特點(diǎn)是，試驗(yàn)點(diǎn)可以取在正規(guī)單純形的格子點(diǎn)上，它可以保證試驗(yàn)點(diǎn)分布均勻，而且計(jì)算簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確，回歸系數(shù)只是相應(yīng)格子點(diǎn)的響應(yīng)值的簡(jiǎn)單函數(shù)。9.2.2 單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì) （Simplex-lattice design ） 9.2.2.1 設(shè)計(jì)原理(Design principle)9.2.2.1 設(shè)計(jì)原理(Design principle)將圖a中高為1的等邊三角形三條邊各二等分，如

6、圖b。則此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)與三個(gè)邊中點(diǎn)的總體稱為二階格子點(diǎn)集，記為3，2單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)，其中3表示正規(guī)單純形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，即組分?jǐn)?shù)m3，2表示每邊的等分?jǐn)?shù)，即階數(shù)d2。將等邊三角形各邊三等分，如圖c。為三階格子點(diǎn)集，記為3，3單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)，前面的3表示了正規(guī)單純形頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，即組分?jǐn)?shù)m，后面的3表示了每邊的等分?jǐn)?shù)，即階數(shù)d。用類似的方法，可得到其它各種格子點(diǎn)集。三頂點(diǎn)正規(guī)單純形的四階格子點(diǎn)集記為3，4，總共有15個(gè)點(diǎn)。 四頂點(diǎn)正規(guī)單純形的二階和三階格子點(diǎn)集分別用4，2和4，3表示，如圖e和f所示。9.2.2.1 設(shè)計(jì)原理(Design principle) 小結(jié)：正三角形格子點(diǎn)集：3，d 3

7、單純形的3個(gè)頂點(diǎn)，表示3種組分d每邊等分?jǐn)?shù)，稱為階數(shù)四頂點(diǎn)單純形格子點(diǎn)集：4，d配方試驗(yàn)點(diǎn)在單純形格子點(diǎn)上表9-19.2.2.2 單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案的確定(Determining the experimental layout of simple-lattice design 無(wú)約束單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì) 無(wú)約束的配方設(shè)計(jì)：是指除了配方設(shè)計(jì)的約束條件，不再有對(duì)各組分含量加以限制的其它條件 各組分含量xj的變化范圍可用高為1的正單純形表示 每種組分的百分比xj的取值與階數(shù)d有關(guān)，為1/d的倍數(shù)： xj0，1/d，2/d，d/d1 xj 編碼：xjzj 對(duì)于無(wú)約束單純形格子設(shè)計(jì)，不必區(qū)分規(guī)范變量與

8、自然變量。例：當(dāng)m3，d1時(shí) 3個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)： （1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）例：當(dāng)m3，d2時(shí) 6個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)：圖示表： 3，2 單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)表表9-2 3,2單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)試驗(yàn)號(hào)z1z2z311002010300141/21/2051/201/2601/21/2例：當(dāng)m3，d3時(shí) 10個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)：圖示表： 3，3 單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)表表9-3 3,3單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)試驗(yàn)號(hào)z1z2z311002010300142/31/3051/32/3062/301/371/302/3802/31/3901/32/3有約束單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì) 除配方設(shè)計(jì)的約束條件，還要受其它約束條

9、件限制，如： aj xjbj， j1，2，m 有約束單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì) 有下界約束的單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì) ： aj xj試驗(yàn)范圍為原正規(guī)單純形內(nèi)的一個(gè)規(guī)則單純形單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)表的選用先將自然變量xj（j1，2，m）進(jìn)行編碼編碼公式： 或0zj1若自然變量xj無(wú)約束，則xjzj 根據(jù)組分?jǐn)?shù)m選擇合適大小的設(shè)計(jì)表9.2.2.3 單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)基本步驟(The basicstep of Simplex-lattice design )(1)明確試驗(yàn)指標(biāo)，確定混料組分(2)選擇單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)，進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)(3)回歸方程的建立(4)最優(yōu)配方的確定(5)回歸方程的回代 有下界約束時(shí)： 將zj 轉(zhuǎn)換成xj無(wú)

10、約束時(shí)：不用回代 (1)明確試驗(yàn)指標(biāo)，確定混料組分 根據(jù)配方試驗(yàn)?zāi)康?，明確試驗(yàn)指標(biāo)，結(jié)合專業(yè)知識(shí)選擇配方組成以及各成分的百分比范圍。各配方的實(shí)際百分比用x1，x2，x3，xm表示。(2)選擇單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)，進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì) 根據(jù)配方試驗(yàn)中的組分m和所確定的階數(shù)d，選擇相應(yīng)的m,d單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)表。設(shè)計(jì)表中的數(shù)值為規(guī)范變量zj(j=1,2,3, ,m)，根據(jù)編碼公式(9-3)或式(9-4)計(jì)算出自然變量xj的取值，并列出試驗(yàn)方案。（3）回歸方程的建立 例：m，2單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)回歸模型 ：回歸系數(shù)的計(jì)算：(4)最優(yōu)配方的確定 根據(jù)規(guī)范變量zj與試驗(yàn)指標(biāo)y之間的回歸方程以及有關(guān)約束條件，可以預(yù)測(cè)最

11、佳的試驗(yàn)指標(biāo)值，及其對(duì)應(yīng)規(guī)范變量zj的最佳取值。如果將最佳規(guī)范變量zj轉(zhuǎn)換成自然變量，就可得到最優(yōu)配方。最優(yōu)配方的確定可以借助有關(guān)統(tǒng)計(jì)，如第十章中“規(guī)劃求解”。例9-1：p.207208 某種葡萄汁飲料主要是由純凈水（x1）、白砂糖（x2）和紅葡萄濃縮汁（x3）三種成分組成，其中要求紅葡萄濃縮汁（x3）的含量不得低于10%，試通過(guò)配方試驗(yàn)確定使試驗(yàn)指標(biāo)y最大的最優(yōu)配方。試驗(yàn)指標(biāo)為綜合評(píng)分，越高越好。 解題過(guò)程：(1)編碼依題意， x10，x20，x30.1，即 ， ， ， (2)試驗(yàn)方案 由于m=3，故可以選擇3,2單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)，試驗(yàn)方案和試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表9-4。 試驗(yàn)號(hào)z1z2z3純凈水x1

12、白砂糖x2紅葡萄濃縮汁x3評(píng)分y11000.900.16.5(y1)201000.90.15.5(y2)30010017.5(y3)41/21/200.450.450.18.5(y12)51/201/20.4500.556.8(y13)601/21/200.450.555.4(y23)(3)回歸方程的建立本例3,2單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)的回歸方程為三元二次方程，即：將每號(hào)試驗(yàn)代入上述三元二次方程，得：(3)回歸方程的建立也可能引用公式(9-10)。得：所以，試驗(yàn)指標(biāo)y與規(guī)范變量之間的三元二次回歸方程為： (4)確定最優(yōu)配方利用“Excel”中的“規(guī)劃求解”工具，得到該方程在 時(shí)指標(biāo)值y取得最大值8.

13、525。(5)方程的回代 由于z1=x1/0.9， z2=x2/0.9，z3=(x3-0.1)/0.9，所以當(dāng)x1=0.495, x2=0.495, x3=0.1時(shí),該飲料的評(píng)分最高。將上述編碼計(jì)算式代入試驗(yàn)指標(biāo)y與規(guī)范變量之間的三元二次回歸方程，得到y(tǒng)=-0.833+7.32x1+6.65x2+8.33x3+12.35x1x2-0.99x1x3-5.43x2x3 9.2.2.4 EXCEL在單純形配方設(shè)計(jì)中的應(yīng)用(The applications of EXCEL in simplex formula design )單純形配方設(shè)計(jì)的回歸模型是已知的，例9-1是利用回歸模型直接求出回歸系數(shù)，

14、求出的回歸方程項(xiàng)數(shù)（包括常數(shù)項(xiàng)）與試驗(yàn)次數(shù)相等，這樣就不能利用Excel的回歸分析工具來(lái)求回歸系數(shù)。9.2.2.4 EXCEL在單純形配方設(shè)計(jì)中的應(yīng)用(The applications of EXCEL in simmplex formula design )但是，由于，可將上述例子中回歸方程的項(xiàng)數(shù)減少，于是就可應(yīng)用Excel中回歸分析工具了。 試驗(yàn)號(hào)z1z2z3純凈水x1白砂糖x2紅葡萄濃縮汁x3評(píng)分y11000.900.16.5(y1)201000.90.15.5(y2)30010017.5(y3)41/21/200.450.450.18.5(y12)51/201/20.4500.556.

15、8(y13)601/21/200.450.555.4(y23)例1用EXCEL數(shù)據(jù)分析來(lái)解試驗(yàn)號(hào)z1z2z1z2z1z1z2z2評(píng)分y1100106.52010015.53000007.541/21/20.250.250.258.551/2000.2506.8601/2000.255.4 9.2.3 單純形重心設(shè)計(jì)(Simplex-core design 9.2.3.1 單純形重心設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案的確定 將試驗(yàn)點(diǎn)安排在單純形的重心上 重心：?jiǎn)渭冃蔚捻旤c(diǎn)棱的中點(diǎn) 三角形的中心 四個(gè)頂點(diǎn)的重心 m個(gè)頂點(diǎn)的重心 9.2.3.1 單純形重心設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案的確定(Determining the experim

16、ental layout of simple-core design 單純形重心設(shè)計(jì)就是將試驗(yàn)點(diǎn)安排在單純形的重心上。對(duì)于一個(gè)(m-1)維的單純形，單個(gè)頂點(diǎn)的重心就是頂點(diǎn)本身，共有m個(gè)；任意兩個(gè)頂點(diǎn)組成一條棱邊，棱的中點(diǎn)即為兩頂點(diǎn)的重心，共有(m(m-1)/2)個(gè)；任意三個(gè)頂點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，該三角形的中心稱為三頂點(diǎn)的重心，共有 (m(m-1)(m-2)/3!)個(gè)；四個(gè)頂點(diǎn)的重心有(m(m-1)(m-2)(m-3)/4!)。m維的單純形重心設(shè)計(jì)共有2m-1個(gè)重心。單純形(m個(gè)頂點(diǎn))重心設(shè)計(jì)試驗(yàn)點(diǎn)包括：m個(gè)單一成分的點(diǎn)二種成分相等的試驗(yàn)點(diǎn)三種成分相等的試驗(yàn)點(diǎn) 1個(gè)m種成分相等的試驗(yàn)點(diǎn)例:當(dāng)m=

17、3時(shí) 共有7個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)圖示重心設(shè)計(jì)表 9.2.3.2 單純形重心設(shè)計(jì)結(jié)果分析(The results analysis of simple-core design 將自然變量xj轉(zhuǎn)換成規(guī)范變量zj若m3，規(guī)范變量zj與試驗(yàn)指標(biāo)y之間的回歸方程為：回歸系數(shù)的計(jì)算公式 ： 9.2.3.2 單純形重心設(shè)計(jì)結(jié)果分析(The results analysis of simple-core design 若m4，規(guī)范變量zj與試驗(yàn)指標(biāo)y之間的回歸方程為：回歸系數(shù)的計(jì)算公式 ： 例9-2：p.210 為控制草莓蟲害，可向草莓株體上噴灑化學(xué)殺蟲劑?，F(xiàn)有4種化學(xué)殺蟲劑可供噴灑。可以單獨(dú)使用某一種，也可以幾種混合在

18、一起使用，為得到最好的殺蟲效果，要進(jìn)行混料試驗(yàn)。設(shè)x1，x2，x3，x4分別表示A，B，C，D四種殺蟲劑在混合殺蟲劑配方中所占的比例。采用了單純形重心設(shè)計(jì)(m=4)，共有15種配方。在四塊地上分別實(shí)施這15種配方，在每塊地上將每個(gè)配方的農(nóng)藥分別在三株草莓體上噴灑。殺蟲效果的指標(biāo)是7天后害蟲的殘存率。 解題過(guò)程：(1)編碼 依題意， 除了約束條件外，各種組分無(wú)上下界約束，所以各實(shí)際百分比與規(guī)范變量在數(shù)值上是相等的，即單純形重心設(shè)計(jì)表中的數(shù)值即為各組分的實(shí)際百分比。 (2)試驗(yàn)方案試驗(yàn)方案和試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表9-5。 試驗(yàn)號(hào)x1x2x3x4害蟲殘存含量/%試驗(yàn)號(hào)x1x2x3x4害蟲殘存含量/%11000

19、1.8(y1)900.500.537.4(y24)2010025.4(y2)10000.50.510.7(y34)3001028.6(y3)110.330.330.33022.0(y123)4000138.5(y4)120.330.3300.332.4(y124)50.50.5004.9(y12)130.330.330.332.5(y134)60.500.503.1(y13)1400.330.330.3311.1(y234)70.5000.523.7(y14)150.250.250.250.250.8(y1234)800.50.503.4(y23)(3)回歸方程的建立本例m=4，回歸方程的形式

20、如下：將表9-5中的數(shù)據(jù)代入上式，可得15個(gè)方程，聯(lián)立這15個(gè)方程就可計(jì)算出回歸方程的15個(gè)回歸系數(shù)。解方程組 1.8=b1 25.4=b2 28.6=b3 38.5=b4 4.9=0.5b1+0.5b2+0.25b12 3.1=0.5b1+0.5b3+0.25b13 23.7=0.5b1+0.5b4+0.25b14 3.4=0.5b2+0.5b3+0.25b23 37.4=0.5b2+0.5b4+0.25b24 10.7=0.5b3+0.5b4+0.25b34 22.0=0.33b1+0.33b2+0.33b3+0.109b12+0.109b13+0.109b23+0.0359b123 2.

21、4=0.33b1+0.33b2+0.33b4+0.109b12+0.109b14+0.109b24+0.0359b124 2.5=0.33b1+0.33b3+0.33b4+0.109b13+0.109b14+0.109b34+0.0359b134 11.1=0.33b2+0.33b3+0.33b4+0.109b23+0.109b24+0.109b34+0.0359b234 0.8=0.25b1+0.25b2+0.25b3+0.25b4+0.0625b12+0.0625b13+0.0625b14+0.0625b23+0.0625b24+0.0625b34+0.0156b123+0.0156b124+0.0156b134+0.0156b234+0.0039b1234答案：b1=1.8 b2=25.4 b3=28.6b4=38.5 b12=-34.8 b13=-48.4b14=14.2 b23=-94.4 b24=21.8 b34=-91.4 b123=624.6 b124=-530.1 b134=-175.8 b234=-40.8b1234=-1614.0(3)回歸方程的建立也可以套用公式所以，試驗(yàn)指標(biāo)y與規(guī)范變量之間的多項(xiàng)式回歸方程為： (4)確定最