物理第三章靜態(tài)場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解課件

1、第3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解1本章內(nèi)容 3.1 靜電場(chǎng)分析 3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析 3.3 恒定磁場(chǎng)分析 3.4 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法 3.6 分離變量法 靜態(tài)電磁場(chǎng)：場(chǎng)量不隨時(shí)間變化，包括： 靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng) 時(shí)變情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng) 靜態(tài)情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立 23.1 靜電場(chǎng)分析 本節(jié)內(nèi)容 3.1.1 靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù) 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場(chǎng)的能量 3.1.5 靜電力32. 邊界條件微分形式：本構(gòu)關(guān)系：1. 基本方程積分形式

2、：或或3.1.1 靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即 ，則4介質(zhì)2介質(zhì)1 在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場(chǎng)為0，則導(dǎo)體表面的邊界條件為 或 場(chǎng)矢量的折射關(guān)系 導(dǎo)體表面的邊界條件5由即靜電場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來(lái)表示，標(biāo)量函數(shù) 稱(chēng)為靜電場(chǎng)的標(biāo)量電位或簡(jiǎn)稱(chēng)電位。1. 電位函數(shù)的定義3.1.2 電位函數(shù)62. 電位的表達(dá)式對(duì)于連續(xù)的體分布電荷，由同理得，面電荷的電位： 故得點(diǎn)電荷的電位：線電荷的電位：73. 電位差兩端點(diǎn)乘 ，則有將上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說(shuō)明 P、Q 兩點(diǎn)間的電位差等于電場(chǎng)力將單位正電荷從P點(diǎn)移至Q 點(diǎn) 所做的功，電場(chǎng)力使單位正

3、電荷由高電位處移到低電位處。 電位差也稱(chēng)為電壓，可用U 表示。 電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無(wú)關(guān)。P、Q 兩點(diǎn)間的電位差電場(chǎng)力做的功8 靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即選參考點(diǎn)令參考點(diǎn)電位為零電位確定值(電位差)兩點(diǎn)間電位差有定值 選擇電位參考點(diǎn)的原則 應(yīng)使電位表達(dá)式有意義。 應(yīng)使電位表達(dá)式最簡(jiǎn)單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無(wú) 限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)。 同一個(gè)問(wèn)題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。4. 電位參考點(diǎn) 為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即9 例 3.1.1 求電偶極子

4、的電位. 解 在球坐標(biāo)系中用二項(xiàng)式展開(kāi)，由于，得代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。+q電偶極子zodq10 例3.1.2 位于xoy平面上的半徑為a、圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的帶電圓盤(pán)，面電荷密度為S，如圖 所示，求z軸上的電位。 解：由面電荷產(chǎn)生的電位公式： 11以上結(jié)果是z0 的結(jié)論。 對(duì)任意軸上的任意點(diǎn)， 電位為 12例 3-1.3 求均勻帶電球體產(chǎn)生的電位。 解： (ra) (ra時(shí)， 當(dāng)r 1、且290，則10， 即電場(chǎng)線近似垂直于良導(dǎo)體表面。 此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為 等位面； 若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，即10，則 J1=0，故J2n= 0 且 E2n= 0，即導(dǎo)體 中的電

5、流和電場(chǎng)與分界面平行。383.2.2 恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬 如果兩種場(chǎng)，在一定條件下，場(chǎng)方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場(chǎng)分布必然是同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。只需求出一種場(chǎng)的解，就可以用對(duì)應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場(chǎng)的解。這種求解場(chǎng)的方法稱(chēng)為比擬法。靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)39恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬基本方程靜電場(chǎng)（ 區(qū)域） 本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場(chǎng)（電源外）對(duì)應(yīng)物理量靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)40 例3.2.1一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、1 和 2、2 ，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。 解：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿z 方向。41 例3

6、.2.2 填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為1 和2 、電導(dǎo)率為 1 和 2 。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0 ，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì)2介質(zhì)142 （1）設(shè)同軸電纜中單位長(zhǎng)度的徑向電流為I ,則由 可得電流密度介質(zhì)中的電場(chǎng) 解 電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對(duì)稱(chēng)分布?？上燃僭O(shè)電流為I，由此求電流密度 的表達(dá)式，然后求出 和 ，再由 確定出電流 I。43故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分別為由于于是得到44 （2）由

7、可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)2外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為45 工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓U 時(shí)，必定會(huì)有微小的漏電流 J 存在。 漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即其倒數(shù)稱(chēng)為絕緣電阻，即3.2.3 漏電導(dǎo)46(1) 假定兩電極間的電流為I ； 計(jì)算兩電極間的電流密度 矢量J ； 由J = E 得到 E ; 由 ，求出兩導(dǎo) 體間的電位差；(5) 求比值 ，即得出 所求電導(dǎo)。 計(jì)算電導(dǎo)的方法一： 計(jì)算電導(dǎo)的方法二： (1) 假定兩電極間

8、的電位差為U； (2) 計(jì)算兩電極間的電位分布 ； (3) 由 得到E ; (4) 由 J = E 得到J ; (5) 由 ，求出兩導(dǎo)體間 電流； (6) 求比值 ，即得出所 求電導(dǎo)。 計(jì)算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：47 例3.2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a 、b，長(zhǎng)度為l ，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為、介電常數(shù)為。解：直接用恒定電場(chǎng)的計(jì)算方法電導(dǎo)絕緣電阻則設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I 。48基本物理量 J 歐姆定律J 的散度E 的旋度 基本方程 電位 邊界條件邊值問(wèn)題一般解法特殊解（靜電比擬）電導(dǎo)與接地電阻 恒定電場(chǎng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖基本概念： 電介質(zhì)中的靜電場(chǎng) 通有直流電流的導(dǎo)電

9、媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)與電流場(chǎng) 通有直流電流的導(dǎo)電媒質(zhì)周?chē)娊橘|(zhì)中的靜態(tài)電場(chǎng)49本節(jié)內(nèi)容 3.3.1 恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件 3.3.2 恒定磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量磁位 3.3.3 電感 3.3.4 恒定磁場(chǎng)的能量 3.3.5 磁場(chǎng)力3.3 恒定磁場(chǎng)分析50微分形式:1. 基本方程2. 邊界條件本構(gòu)關(guān)系：或若分界面上不存在面電流，即JS0，則積分形式:或3.3.1 恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件51 矢量磁位的定義 磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量 的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場(chǎng)，即由即恒定磁場(chǎng)可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來(lái)表示。 磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的

10、旋度，沒(méi)有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的A，可以對(duì)A的散度加以限制，在恒定磁場(chǎng)中通常規(guī)定，并稱(chēng)為庫(kù)侖規(guī)范。1. 恒定磁場(chǎng)的矢量磁位矢量磁位或稱(chēng)磁矢位 3.3.2 恒定磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量磁位52 磁矢位的微分方程在無(wú)源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程 磁矢位的表達(dá)式53 磁矢位的邊界條件對(duì)于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為 利用磁矢位計(jì)算磁通量：細(xì)線電流：面電流：54 例 3.3.1 求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場(chǎng)。小圓形回路的半徑為a ，回路中的電流為I 。 解 如圖所示，由于具有軸對(duì)稱(chēng)性，矢量磁位和磁場(chǎng)均與 無(wú)關(guān)，計(jì)算 xO z 平面上的矢量磁位與磁場(chǎng)將不失一般性。小圓環(huán)電流a

11、IxzyrRIPO55對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)，有r a ，所以由于在 = 0 面上 ，所以上式可寫(xiě)成于是得到56式中S =a 2是小圓環(huán)的面積。 57 解：先求長(zhǎng)度為2L 的直線電流的磁矢位。電流元 到點(diǎn) 的距離 。則 例 3.3.2 求無(wú)限長(zhǎng)線電流 I 的磁矢位，設(shè)電流沿+z 方向流動(dòng)。與計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)線電荷的電位一樣，令 可得到無(wú)限長(zhǎng)線電流的磁矢位 xyzL-L582. 恒定磁場(chǎng)的標(biāo)量磁位 一般情況下，恒定磁場(chǎng)只能引入磁矢位來(lái)描述，但在無(wú)傳導(dǎo)電流（J0）的空間 中，則有即在無(wú)傳導(dǎo)電流（J0）的空間中，可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)來(lái)描述磁場(chǎng)。 標(biāo)量磁位的引入標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位 磁標(biāo)位的微分方程將 代入等效磁荷體密度5

12、9 與靜電位相比較，有 標(biāo)量磁位的邊界條件在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中 標(biāo)量磁位的表達(dá)式和和式中： 等效磁荷面密度或601. 磁通與磁鏈 3.3.3 電感 單匝線圈形成的回路的磁鏈定 義為穿過(guò)該回路的磁通量 多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁 鏈定義為所有線圈的磁通總和 CI細(xì)回路 粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為 兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍 的、磁力線不穿過(guò)導(dǎo)體的外磁通量o ；另一部分是磁力線穿過(guò) 導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量i。iCIo粗回路61 設(shè)回路 C 中的電流為I ，所產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路 C 交鏈的磁鏈為，則磁鏈 與回路 C 中的電流 I 有正比關(guān)系，其比值稱(chēng)為回路 C 的自感系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)

13、自感。 外自感2. 自感 內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：L = Li + Lo 自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周?chē)拇沤橘|(zhì)有關(guān)，與電流無(wú)關(guān)。 自感的特點(diǎn)：62 解：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為I ，由安培環(huán)路定理穿過(guò)沿軸線單位長(zhǎng)度的矩形面積元dS = d的磁通為 例3.3.3求同軸線單位長(zhǎng)度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì)，其半徑為b，空氣填充。得與di 交鏈的電流為則與di 相應(yīng)的磁鏈為63因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為故單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。則故單位長(zhǎng)度的外自感為單位長(zhǎng)度的總自感為64 對(duì)兩個(gè)彼此鄰近的閉合回路C1 和回路 C2 ，當(dāng)回路 C1 中通過(guò)

14、電流 I1 時(shí)， I1產(chǎn)生的磁場(chǎng)不僅與回路 C1 本身相交鏈，而且與回路 C2 交鏈，交鏈的磁鏈21 也與 I1 成正比，其比例系數(shù)稱(chēng)為回路 C1 對(duì)回路 C2 的互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)互感。 3. 互感同理，回路 C2 對(duì)回路 C1 的互感為C1C2I1I2Ro65 互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對(duì)位置以及周?chē)?磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無(wú)關(guān)。 滿足互易關(guān)系，即M12 = M21 當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號(hào)時(shí)，互 感系數(shù) M 為正值；反之，則互感系數(shù) M 為負(fù)值。 互感的特點(diǎn)：66由圖中可知長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形回路穿過(guò)三角形回路面積的磁通為 解 設(shè)長(zhǎng)直導(dǎo)線中的電流為I ，根據(jù)安培

15、環(huán)路定理，得到 例3.3.4 如圖所示，長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。67因此故長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為683.3.4 恒定磁場(chǎng)的能量1. 磁場(chǎng)能量 在恒定磁場(chǎng)建立過(guò)程中，電源克服感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)做功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場(chǎng)能量。 電流回路在恒定磁場(chǎng)中受到磁場(chǎng)力的作用而運(yùn)動(dòng)，表明恒定 磁場(chǎng)具有能量。 磁場(chǎng)能量是在建立電流的過(guò)程中，由電源供給的。當(dāng)電流從 零開(kāi)始增加時(shí)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)要阻止電流的增加，因 而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。 假定建立并維持恒定電流時(shí)，沒(méi)有熱損耗。 假定在恒定電流建立過(guò)程中，電流的變化足夠緩慢，沒(méi)有輻 射損耗。69 設(shè)回路從零開(kāi)始

16、充電，最終的電流為 I 、交鏈的磁鏈為 。 在時(shí)刻 t 的電流為i =I 、磁鏈為 = 。 (01) 根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流為 I 的載流回路具有的磁場(chǎng)能量Wm ，即對(duì)從0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為外加電壓應(yīng)為所做的功當(dāng)增加為(+ d)時(shí)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì):702. 磁場(chǎng)能量密度 從場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，磁場(chǎng)能量分布于磁場(chǎng)所在的整個(gè)空間。磁場(chǎng)能量密度：磁場(chǎng)的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶?chǎng)所在的整個(gè)空間對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有71 例3.3.8 同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a ，外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為 b 和 c ，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流 I ，試求同軸電纜中單位長(zhǎng)度儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量。

17、 解：由安培環(huán)路定理，得72三個(gè)區(qū)域單位長(zhǎng)度內(nèi)的磁場(chǎng)能量分別為73單位長(zhǎng)度內(nèi)總的磁場(chǎng)能量為74磁感應(yīng)強(qiáng)度（B）（畢奧沙伐定律）H 的旋度B 的散度基本方程磁位( )（J=0）分界面上銜接條件磁矢位（A）邊值問(wèn)題數(shù)值法解析法分離變量法鏡像法有限元法有限差分法電感的計(jì)算磁場(chǎng)能量及力磁路及其計(jì)算 恒定磁場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖基本實(shí)驗(yàn)定律 (安培力定律）753.4 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題及解的惟一性定理 本節(jié)內(nèi)容 3.4.1 邊值問(wèn)題的類(lèi)型 3.4.2 惟一性定理邊值問(wèn)題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或 拉普拉斯方程763.4.1 邊值問(wèn)題的類(lèi)型已知場(chǎng)域邊界面S 上的位函數(shù)值，即第一類(lèi)邊值問(wèn)題（或狄里赫

18、利問(wèn)題）已知場(chǎng)域邊界面S 上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即 已知場(chǎng)域一部分邊界面S1 上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面S2 上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即第三類(lèi)邊值問(wèn)題（或混合邊值問(wèn)題）第二類(lèi)邊值問(wèn)題（或紐曼問(wèn)題）77 自然邊界條件 （無(wú)界空間） 周期邊界條件 銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如78例：（第一類(lèi)邊值問(wèn)題）（第三類(lèi)邊值問(wèn)題）例：79 在場(chǎng)域V 的邊界面S上給定 或 的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場(chǎng)域V 具有惟一值。 3.4.2 惟一性定理惟一性定理的重要意義給出了靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題具有惟一解的條件為靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)惟一性定理的表述8

19、0惟一性定理的證明反證法：假設(shè)解不惟一，則有兩個(gè)位函數(shù)和 在場(chǎng)域V內(nèi)滿足同樣的方程，即且在邊界面S 上有令 ，則在場(chǎng)域V內(nèi)且在邊界面S 上滿足同樣的邊界條件?；蚧?1由格林第一恒等式可得到對(duì)于第一類(lèi)邊界條件：對(duì)于第二類(lèi)邊界條件：若 和 取同一點(diǎn)Q為參考點(diǎn) ，則對(duì)于第三類(lèi)邊界條件：82 本節(jié)內(nèi)容 3.5.1 鏡像法的基本原理 3.5.2 接地導(dǎo)體平面的鏡像 3.5.3 導(dǎo)體球面的鏡像 3.5.4 導(dǎo)體圓柱面的鏡像 3.5.5 點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)平面的鏡像 3.5.6 線電流與無(wú)限大磁介質(zhì)平面的鏡像 3.5 鏡像法83 當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，

20、而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場(chǎng)的分布。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代1. 問(wèn)題的提出幾個(gè)實(shí)例q3.5.1 鏡像法的基本原理接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所示。q非均勻感應(yīng)電荷等效電荷84 接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代 接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類(lèi)似，但等效電 荷為線電荷。q非均勻感應(yīng)電荷q等效電荷結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷 或線電荷的作用。問(wèn)題：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？852. 鏡像法的原理 用位于場(chǎng)域邊界外虛設(shè)的較簡(jiǎn)單的鏡像電荷分布來(lái)等效替代該邊

21、界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無(wú)限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過(guò)程得以明顯簡(jiǎn)化的一種間接求解法。 在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問(wèn)題所給定的邊界條件，那就是該問(wèn)題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場(chǎng)問(wèn)題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法。3. 鏡像法的理論基礎(chǔ) 解的惟一性定理86 像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小“三要素” 。4. 鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)5. 確定鏡像電荷的兩條原則等效求解的“有效場(chǎng)域”。鏡像電荷的確定像電荷

22、必須位于所求解的場(chǎng)區(qū)域以外的空間中。像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場(chǎng) 區(qū)域 的邊界條件來(lái)確定。871. 點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。3.5.2 接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷電位函數(shù)因 z = 0 時(shí)，有效區(qū)域qq88上半空間( z0 ）的電位函數(shù)q導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為892. 線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像線電荷：滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得的解是正確的。電位函數(shù)原問(wèn)題當(dāng)z = 0 時(shí)，有效區(qū)域903. 點(diǎn)電荷對(duì)相交半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無(wú)限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷q

23、 位于(d1, d2 )處。 顯然，q1 對(duì)平面 2 以及 q2 對(duì)平面 1 均不能滿足邊界條件。對(duì)于平面1，有鏡像電荷q1=q，位于(d1, d2 )對(duì)于平面2，有鏡像電荷q2=q，位于( d1, d2 ) 只有在(d1, d2 )處再設(shè)置一鏡像電荷q3 = q，所有邊界條件才能得到滿足。電位函數(shù)d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d191 例3.5.1 一個(gè)點(diǎn)電荷q與無(wú)限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？ 解：移動(dòng)電荷q時(shí)，外力需要克服電場(chǎng)力做功，而電荷q受的電場(chǎng)力來(lái)源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷?？梢韵惹箅姾蓂 移至無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。qqx =

24、0d-d 由鏡像法，感應(yīng)電荷可以用像電荷 替代。當(dāng)電荷q 移至x時(shí)，像電荷 應(yīng)位于x，則像電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度923.5.3 導(dǎo)體球面的鏡像1. 點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像 球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q來(lái)等效。 q 應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），且在點(diǎn)電荷q與球心的連線上，距球心為d。則有 如圖所示，點(diǎn)電荷q 位于半徑為a 的接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定 和 q。問(wèn)題： PqarRdqPaqrRRdd93 令ra，由球面上電位為零，即 0，得此式應(yīng)在整個(gè)球面上都成立。條件：若像電荷的位置像電荷的電量常數(shù)qPqaRRddO由于94可見(jiàn)，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷

25、也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。球外的電位函數(shù)為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為球面上的感應(yīng)電荷面密度為95點(diǎn)電荷對(duì)接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像 如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為a 、外半徑為b，點(diǎn)電荷q 位于球殼內(nèi)，與球心相距為d ( d |q|，可見(jiàn)鏡像電荷的電荷量大于點(diǎn)電荷的電荷量像電荷的位置和電量與外半徑 b 無(wú)關(guān)（為什么？）aqdobqrRRaqdOd 與點(diǎn)荷位于接地導(dǎo)體球外同樣的分析，可得到96球殼內(nèi)的電位感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上，電荷面密度為導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上的總感應(yīng)電荷為可見(jiàn)，在這種情況下，鏡像電荷與感應(yīng)電荷的電荷量不相等。 972 . 點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像 先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，

26、則球面上只有總電荷量為q的感應(yīng)電荷分布，則 導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)： 導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面； 球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng) 電荷為零。采用疊加原理來(lái)確定鏡像電荷 點(diǎn)電荷q 位于一個(gè)半徑為a 的不接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。PqarRdO98 然后斷開(kāi)接地線，并將電荷q加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷q 可用一個(gè)位于球心的鏡像電荷q來(lái)替代，即球外任意點(diǎn)的電位為qPaqrRRddqO993.5.4 導(dǎo)體圓柱面的鏡像問(wèn)題：如圖 1 所示，一根電荷線密度為 的無(wú)限長(zhǎng)線電荷位于半徑為a 的無(wú)限長(zhǎng)接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的

27、距離為d 。圖1 線電荷與導(dǎo)體圓柱圖2 線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像特點(diǎn)：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線平行的無(wú)限長(zhǎng)線電荷，如圖2所示。1. 線電荷對(duì)接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像100由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng) 時(shí)，電位應(yīng)為零，即 所以有 設(shè)鏡像電荷的線密度為 ，且距圓柱的軸線為 ，則由 和 共同產(chǎn)生的電位函數(shù)由于上式對(duì)任意的 都成立，因此，將上式對(duì) 求導(dǎo)，可以得到101導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：由 時(shí)，故導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷為導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。1022. 兩平行圓

28、柱導(dǎo)體的電軸圖1 兩平行圓柱導(dǎo)體圖2 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸特點(diǎn)：由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場(chǎng)互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對(duì)的一側(cè)電荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為 、且相距為2b 的兩根無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)線來(lái)等效替代，如圖 2所示。問(wèn)題：如圖1所示，兩平行導(dǎo)體圓柱的半徑均為a，兩導(dǎo)體軸線間距為2h，單位長(zhǎng)度分別帶電荷 和 。103圖2 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸 通常將帶電細(xì)線所在的位置稱(chēng)為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱(chēng)為電軸法。由 利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像確定b 。思考：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導(dǎo)體問(wèn)題？1043.5.5 點(diǎn)電荷

29、與無(wú)限大電介質(zhì)平面的鏡像 圖1 點(diǎn)電荷與電介質(zhì)分界平面特點(diǎn)：在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時(shí)，空間中任一點(diǎn)的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。圖2 介質(zhì)1的鏡像電荷問(wèn)題：如圖 1 所示，介電常數(shù)分別為 和 的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無(wú)限大平面，在電介質(zhì) 1 中有一個(gè)點(diǎn)電荷q ，距分界平面為h 。分析方法：計(jì)算電介質(zhì) 1 中的電位時(shí)，用位于介質(zhì) 2 中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖2所示。105介質(zhì)1中的電位為 計(jì)算電介質(zhì) 2 中的電位時(shí)，用位于介質(zhì) 1 中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空

30、間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖 3 所示。介質(zhì)2中的電位為圖3 介質(zhì)2的鏡像電荷106可得到說(shuō)明：對(duì)位于無(wú)限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無(wú)限長(zhǎng)線電荷（單位長(zhǎng)度帶），其鏡像電荷為利用電位滿足的邊界條件107圖1 線電流與磁介質(zhì)分界平面圖2 磁介質(zhì)1的鏡像線電流特點(diǎn)：在直線電流I 產(chǎn)生的磁場(chǎng)作用下，磁介質(zhì)被磁化，在分界面上有磁化電流分布，空間中的磁場(chǎng)由線電流和磁化電流共同產(chǎn)生。問(wèn)題：如圖1所示，磁導(dǎo)率分別為 和 的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無(wú)限大平面，在磁介質(zhì)1中有一根無(wú)限長(zhǎng)直線電流平行于分界平面，且與分界平面相距為h。分析方法：在計(jì)算磁介質(zhì)1中的磁場(chǎng)時(shí)，用置于介質(zhì)2中的鏡像線電

31、流來(lái)代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為 的均勻介質(zhì)，如圖2所示。3.5.6 線電流與無(wú)限大磁介質(zhì)平面的鏡像 108 因?yàn)殡娏餮?y 軸方向流動(dòng)，所以矢量磁位只有y 分量，則磁介質(zhì)1和磁介質(zhì)2中任一點(diǎn)的矢量磁位分別為圖3 磁介質(zhì)2的鏡像線電流 在計(jì)算磁介質(zhì)2中的磁場(chǎng)時(shí)，用置于介質(zhì)1中的鏡像線電流來(lái)代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為 的均勻介質(zhì)，如圖3所示。109相應(yīng)的磁場(chǎng)可由 求得?？傻玫焦世檬噶看盼粷M足的邊界條件1103.6 分離變量法 本節(jié)內(nèi)容 3.6.1 分離變量法解題的基本原理 3.6.2 直角坐標(biāo)系中的分離變量法 3.6.3 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量

32、法 3.6.4 球坐標(biāo)系中的分離變量法111 將偏微分方程中含有n個(gè)自變量的待求函數(shù)表示成n個(gè)各自只含一個(gè)變量的函數(shù)的乘積，把偏微分方程分解成n個(gè)常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來(lái)，得到級(jí)數(shù)形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)。分離變量法是求解邊值問(wèn)題的一種經(jīng)典方法分離變量法的理論依據(jù)是惟一性定理分離變量法解題的基本思路：3.6.1 分離變量法解題的基本原理112在直角坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z 無(wú)關(guān)，則拉普拉斯方程為3.6.2 直角坐標(biāo)系中的分離變量法將 (x, y) 表示為兩個(gè)一維函數(shù) X( x )和Y( y )的乘積，即將其代入拉普拉斯方程，得再除以 X( x )

33、Y( y ) ，有分離常數(shù)113 若取k2 ，則有當(dāng)當(dāng)114將所有可能的 (x, y)線性疊加起來(lái)，則得到位函數(shù)的通解，即 若取k2 ，同理可得到通解中的分離常數(shù)和待定系數(shù)由給定的邊界條件確定。115 例3.6.1 無(wú)限長(zhǎng)的矩形金屬導(dǎo)體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計(jì)算此導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。 解：位函數(shù)滿足的方程和邊界條件為因 (0 , y)0、 (a , y)0，故位函數(shù)的通解應(yīng)取為116確定待定系數(shù)117將U0 在（0, a）上按 展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，即其中118由故得到1193.6.3 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法 令其解為 代入方程，可得到由此

34、可將拉普拉斯方程分離為兩個(gè)常微分方程 在圓柱坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z 無(wú)關(guān)，則拉普拉斯方程為 通常 (, )隨變量 的變化是以 2 為周期的周期函數(shù)。因此，分離常數(shù) k 應(yīng)為整數(shù)，即k n ( n0, 1, 2, ) 。120當(dāng)n = 0時(shí) 考慮到以上各種情況，電位微分方程的解可取下列一般形式 當(dāng)n 0時(shí) 121 解 選取圓柱坐標(biāo)系，令 z 軸為圓柱軸線，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與x 軸一致，即 當(dāng)導(dǎo)體圓柱處于靜電平衡時(shí)，圓柱內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，圓柱為等位體，圓柱表面電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量為零，且柱外的電位分布函數(shù)應(yīng)與z 無(wú)關(guān)。解的形式可取前述一般形式，但應(yīng)滿足下列兩個(gè)邊界條件： 例 3.6.2 均勻外電場(chǎng) 中，有一半徑為 a、介電常數(shù)為的無(wú)限長(zhǎng)均勻介質(zhì)圓柱