物理第三章靜態(tài)場及其邊值問題的解課件

1、第3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解1本章內(nèi)容 3.1 靜電場分析 3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析 3.3 恒定磁場分析 3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法 3.6 分離變量法 靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場 時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立 23.1 靜電場分析 本節(jié)內(nèi)容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù) 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量 3.1.5 靜電力32. 邊界條件微分形式：本構(gòu)關(guān)系：1. 基本方程積分形式

2、：或或3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即 ，則4介質(zhì)2介質(zhì)1 在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為0，則導(dǎo)體表面的邊界條件為 或 場矢量的折射關(guān)系 導(dǎo)體表面的邊界條件5由即靜電場可以用一個標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，標(biāo)量函數(shù) 稱為靜電場的標(biāo)量電位或簡稱電位。1. 電位函數(shù)的定義3.1.2 電位函數(shù)62. 電位的表達(dá)式對于連續(xù)的體分布電荷，由同理得，面電荷的電位： 故得點(diǎn)電荷的電位：線電荷的電位：73. 電位差兩端點(diǎn)乘 ，則有將上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說明 P、Q 兩點(diǎn)間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點(diǎn)移至Q 點(diǎn) 所做的功，電場力使單位正

3、電荷由高電位處移到低電位處。 電位差也稱為電壓，可用U 表示。 電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。P、Q 兩點(diǎn)間的電位差電場力做的功8 靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即選參考點(diǎn)令參考點(diǎn)電位為零電位確定值(電位差)兩點(diǎn)間電位差有定值 選擇電位參考點(diǎn)的原則 應(yīng)使電位表達(dá)式有意義。 應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無 限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)。 同一個問題只能有一個參考點(diǎn)。4. 電位參考點(diǎn) 為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即9 例 3.1.1 求電偶極子

4、的電位. 解 在球坐標(biāo)系中用二項(xiàng)式展開，由于，得代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。+q電偶極子zodq10 例3.1.2 位于xoy平面上的半徑為a、圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的帶電圓盤，面電荷密度為S，如圖 所示，求z軸上的電位。 解：由面電荷產(chǎn)生的電位公式： 11以上結(jié)果是z0 的結(jié)論。 對任意軸上的任意點(diǎn)， 電位為 12例 3-1.3 求均勻帶電球體產(chǎn)生的電位。 解： (ra) (ra時， 當(dāng)r 1、且290，則10， 即電場線近似垂直于良導(dǎo)體表面。 此時，良導(dǎo)體表面可近似地看作為 等位面； 若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，即10，則 J1=0，故J2n= 0 且 E2n= 0，即導(dǎo)體 中的電

5、流和電場與分界面平行。383.2.2 恒定電場與靜電場的比擬 如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。靜電場恒定電場39恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（ 區(qū)域） 本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）對應(yīng)物理量靜電場恒定電場40 例3.2.1一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、1 和 2、2 ，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。 解：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿z 方向。41 例3

6、.2.2 填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為1 和2 、電導(dǎo)率為 1 和 2 。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0 ，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì)2介質(zhì)142 （1）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為I ,則由 可得電流密度介質(zhì)中的電場 解 電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布?？上燃僭O(shè)電流為I，由此求電流密度 的表達(dá)式，然后求出 和 ，再由 確定出電流 I。43故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為由于于是得到44 （2）由

7、可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)2外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為45 工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓U 時，必定會有微小的漏電流 J 存在。 漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即3.2.3 漏電導(dǎo)46(1) 假定兩電極間的電流為I ； 計算兩電極間的電流密度 矢量J ； 由J = E 得到 E ; 由 ，求出兩導(dǎo) 體間的電位差；(5) 求比值 ，即得出 所求電導(dǎo)。 計算電導(dǎo)的方法一： 計算電導(dǎo)的方法二： (1) 假定兩電極間

8、的電位差為U； (2) 計算兩電極間的電位分布 ； (3) 由 得到E ; (4) 由 J = E 得到J ; (5) 由 ，求出兩導(dǎo)體間 電流； (6) 求比值 ，即得出所 求電導(dǎo)。 計算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：47 例3.2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a 、b，長度為l ，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為、介電常數(shù)為。解：直接用恒定電場的計算方法電導(dǎo)絕緣電阻則設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I 。48基本物理量 J 歐姆定律J 的散度E 的旋度 基本方程 電位 邊界條件邊值問題一般解法特殊解（靜電比擬）電導(dǎo)與接地電阻 恒定電場的知識結(jié)構(gòu)框圖基本概念： 電介質(zhì)中的靜電場 通有直流電流的導(dǎo)電

9、媒質(zhì)中的恒定電場與電流場 通有直流電流的導(dǎo)電媒質(zhì)周圍電介質(zhì)中的靜態(tài)電場49本節(jié)內(nèi)容 3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位 3.3.3 電感 3.3.4 恒定磁場的能量 3.3.5 磁場力3.3 恒定磁場分析50微分形式:1. 基本方程2. 邊界條件本構(gòu)關(guān)系：或若分界面上不存在面電流，即JS0，則積分形式:或3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件51 矢量磁位的定義 磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標(biāo)量 的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即由即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。 磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的

10、旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的A，可以對A的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。1. 恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位52 磁矢位的微分方程在無源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程 磁矢位的表達(dá)式53 磁矢位的邊界條件對于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為 利用磁矢位計算磁通量：細(xì)線電流：面電流：54 例 3.3.1 求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為a ，回路中的電流為I 。 解 如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均與 無關(guān)，計算 xO z 平面上的矢量磁位與磁場將不失一般性。小圓環(huán)電流a

11、IxzyrRIPO55對于遠(yuǎn)區(qū)，有r a ，所以由于在 = 0 面上 ，所以上式可寫成于是得到56式中S =a 2是小圓環(huán)的面積。 57 解：先求長度為2L 的直線電流的磁矢位。電流元 到點(diǎn) 的距離 。則 例 3.3.2 求無限長線電流 I 的磁矢位，設(shè)電流沿+z 方向流動。與計算無限長線電荷的電位一樣，令 可得到無限長線電流的磁矢位 xyzL-L582. 恒定磁場的標(biāo)量磁位 一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導(dǎo)電流（J0）的空間 中，則有即在無傳導(dǎo)電流（J0）的空間中，可以引入一個標(biāo)量位函數(shù)來描述磁場。 標(biāo)量磁位的引入標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位 磁標(biāo)位的微分方程將 代入等效磁荷體密度5

12、9 與靜電位相比較，有 標(biāo)量磁位的邊界條件在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中 標(biāo)量磁位的表達(dá)式和和式中： 等效磁荷面密度或601. 磁通與磁鏈 3.3.3 電感 單匝線圈形成的回路的磁鏈定 義為穿過該回路的磁通量 多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁 鏈定義為所有線圈的磁通總和 CI細(xì)回路 粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為 兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍 的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量o ；另一部分是磁力線穿過 導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量i。iCIo粗回路61 設(shè)回路 C 中的電流為I ，所產(chǎn)生的磁場與回路 C 交鏈的磁鏈為，則磁鏈 與回路 C 中的電流 I 有正比關(guān)系，其比值稱為回路 C 的自感系數(shù)，簡稱

13、自感。 外自感2. 自感 內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：L = Li + Lo 自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。 自感的特點(diǎn)：62 解：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為I ，由安培環(huán)路定理穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS = d的磁通為 例3.3.3求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計，其半徑為b，空氣填充。得與di 交鏈的電流為則與di 相應(yīng)的磁鏈為63因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為故單位長度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。則故單位長度的外自感為單位長度的總自感為64 對兩個彼此鄰近的閉合回路C1 和回路 C2 ，當(dāng)回路 C1 中通過

14、電流 I1 時， I1產(chǎn)生的磁場不僅與回路 C1 本身相交鏈，而且與回路 C2 交鏈，交鏈的磁鏈21 也與 I1 成正比，其比例系數(shù)稱為回路 C1 對回路 C2 的互感系數(shù)，簡稱互感。 3. 互感同理，回路 C2 對回路 C1 的互感為C1C2I1I2Ro65 互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍 磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。 滿足互易關(guān)系，即M12 = M21 當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時，互 感系數(shù) M 為正值；反之，則互感系數(shù) M 為負(fù)值。 互感的特點(diǎn)：66由圖中可知長直導(dǎo)線與三角形回路穿過三角形回路面積的磁通為 解 設(shè)長直導(dǎo)線中的電流為I ，根據(jù)安培

15、環(huán)路定理，得到 例3.3.4 如圖所示，長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。67因此故長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為683.3.4 恒定磁場的能量1. 磁場能量 在恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動勢做功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場能量。 電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運(yùn)動，表明恒定 磁場具有能量。 磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當(dāng)電流從 零開始增加時，回路中的感應(yīng)電動勢要阻止電流的增加，因 而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動勢。 假定建立并維持恒定電流時，沒有熱損耗。 假定在恒定電流建立過程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻 射損耗。69 設(shè)回路從零開始

16、充電，最終的電流為 I 、交鏈的磁鏈為 。 在時刻 t 的電流為i =I 、磁鏈為 = 。 (01) 根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流為 I 的載流回路具有的磁場能量Wm ，即對從0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為外加電壓應(yīng)為所做的功當(dāng)增加為(+ d)時，回路中的感應(yīng)電動勢:702. 磁場能量密度 從場的觀點(diǎn)來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。磁場能量密度：磁場的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶鏊诘恼麄€空間對于線性、各向同性介質(zhì)，則有71 例3.3.8 同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a ，外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為 b 和 c ，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流 I ，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量。

17、 解：由安培環(huán)路定理，得72三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為73單位長度內(nèi)總的磁場能量為74磁感應(yīng)強(qiáng)度（B）（畢奧沙伐定律）H 的旋度B 的散度基本方程磁位( )（J=0）分界面上銜接條件磁矢位（A）邊值問題數(shù)值法解析法分離變量法鏡像法有限元法有限差分法電感的計算磁場能量及力磁路及其計算 恒定磁場知識結(jié)構(gòu)框圖基本實(shí)驗(yàn)定律 (安培力定律）753.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 本節(jié)內(nèi)容 3.4.1 邊值問題的類型 3.4.2 惟一性定理邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或 拉普拉斯方程763.4.1 邊值問題的類型已知場域邊界面S 上的位函數(shù)值，即第一類邊值問題（或狄里赫

18、利問題）已知場域邊界面S 上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即 已知場域一部分邊界面S1 上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面S2 上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即第三類邊值問題（或混合邊值問題）第二類邊值問題（或紐曼問題）77 自然邊界條件 （無界空間） 周期邊界條件 銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如78例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）例：79 在場域V 的邊界面S上給定 或 的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V 具有惟一值。 3.4.2 惟一性定理惟一性定理的重要意義給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)惟一性定理的表述8

19、0惟一性定理的證明反證法：假設(shè)解不惟一，則有兩個位函數(shù)和 在場域V內(nèi)滿足同樣的方程，即且在邊界面S 上有令 ，則在場域V內(nèi)且在邊界面S 上滿足同樣的邊界條件?；蚧?1由格林第一恒等式可得到對于第一類邊界條件：對于第二類邊界條件：若 和 取同一點(diǎn)Q為參考點(diǎn) ，則對于第三類邊界條件：82 本節(jié)內(nèi)容 3.5.1 鏡像法的基本原理 3.5.2 接地導(dǎo)體平面的鏡像 3.5.3 導(dǎo)體球面的鏡像 3.5.4 導(dǎo)體圓柱面的鏡像 3.5.5 點(diǎn)電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像 3.5.6 線電流與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像 3.5 鏡像法83 當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，

20、而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場的分布。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代1. 問題的提出幾個實(shí)例q3.5.1 鏡像法的基本原理接地導(dǎo)體板附近有一個點(diǎn)電荷，如圖所示。q非均勻感應(yīng)電荷等效電荷84 接地導(dǎo)體球附近有一個點(diǎn)電荷，如圖。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代 接地導(dǎo)體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電 荷為線電荷。q非均勻感應(yīng)電荷q等效電荷結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷 或線電荷的作用。問題：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？852. 鏡像法的原理 用位于場域邊界外虛設(shè)的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊

21、界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。 在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法。3. 鏡像法的理論基礎(chǔ) 解的惟一性定理86 像電荷的個數(shù)、位置及其電量大小“三要素” 。4. 鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)5. 確定鏡像電荷的兩條原則等效求解的“有效場域”。鏡像電荷的確定像電荷

22、必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中。像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場 區(qū)域 的邊界條件來確定。871. 點(diǎn)電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。3.5.2 接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷電位函數(shù)因 z = 0 時，有效區(qū)域qq88上半空間( z0 ）的電位函數(shù)q導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為892. 線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像線電荷：滿足原問題的邊界條件，所得的解是正確的。電位函數(shù)原問題當(dāng)z = 0 時，有效區(qū)域903. 點(diǎn)電荷對相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 如圖所示，兩個相互垂直相連的半無限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷q

23、 位于(d1, d2 )處。 顯然，q1 對平面 2 以及 q2 對平面 1 均不能滿足邊界條件。對于平面1，有鏡像電荷q1=q，位于(d1, d2 )對于平面2，有鏡像電荷q2=q，位于( d1, d2 ) 只有在(d1, d2 )處再設(shè)置一鏡像電荷q3 = q，所有邊界條件才能得到滿足。電位函數(shù)d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d191 例3.5.1 一個點(diǎn)電荷q與無限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？ 解：移動電荷q時，外力需要克服電場力做功，而電荷q受的電場力來源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷?？梢韵惹箅姾蓂 移至無窮遠(yuǎn)時電場力所做的功。qqx =

24、0d-d 由鏡像法，感應(yīng)電荷可以用像電荷 替代。當(dāng)電荷q 移至x時，像電荷 應(yīng)位于x，則像電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度923.5.3 導(dǎo)體球面的鏡像1. 點(diǎn)電荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像 球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q來等效。 q 應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），且在點(diǎn)電荷q與球心的連線上，距球心為d。則有 如圖所示，點(diǎn)電荷q 位于半徑為a 的接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定 和 q。問題： PqarRdqPaqrRRdd93 令ra，由球面上電位為零，即 0，得此式應(yīng)在整個球面上都成立。條件：若像電荷的位置像電荷的電量常數(shù)qPqaRRddO由于94可見，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷

25、也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。球外的電位函數(shù)為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為球面上的感應(yīng)電荷面密度為95點(diǎn)電荷對接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像 如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為a 、外半徑為b，點(diǎn)電荷q 位于球殼內(nèi)，與球心相距為d ( d |q|，可見鏡像電荷的電荷量大于點(diǎn)電荷的電荷量像電荷的位置和電量與外半徑 b 無關(guān)（為什么？）aqdobqrRRaqdOd 與點(diǎn)荷位于接地導(dǎo)體球外同樣的分析，可得到96球殼內(nèi)的電位感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上，電荷面密度為導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上的總感應(yīng)電荷為可見，在這種情況下，鏡像電荷與感應(yīng)電荷的電荷量不相等。 972 . 點(diǎn)電荷對不接地導(dǎo)體球的鏡像 先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，

26、則球面上只有總電荷量為q的感應(yīng)電荷分布，則 導(dǎo)體球不接地時的特點(diǎn)： 導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面； 球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng) 電荷為零。采用疊加原理來確定鏡像電荷 點(diǎn)電荷q 位于一個半徑為a 的不接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。PqarRdO98 然后斷開接地線，并將電荷q加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷q 可用一個位于球心的鏡像電荷q來替代，即球外任意點(diǎn)的電位為qPaqrRRddqO993.5.4 導(dǎo)體圓柱面的鏡像問題：如圖 1 所示，一根電荷線密度為 的無限長線電荷位于半徑為a 的無限長接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的

27、距離為d 。圖1 線電荷與導(dǎo)體圓柱圖2 線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像特點(diǎn)：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線平行的無限長線電荷，如圖2所示。1. 線電荷對接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像100由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng) 時，電位應(yīng)為零，即 所以有 設(shè)鏡像電荷的線密度為 ，且距圓柱的軸線為 ，則由 和 共同產(chǎn)生的電位函數(shù)由于上式對任意的 都成立，因此，將上式對 求導(dǎo)，可以得到101導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：由 時，故導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷為導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。1022. 兩平行圓

28、柱導(dǎo)體的電軸圖1 兩平行圓柱導(dǎo)體圖2 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸特點(diǎn)：由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對的一側(cè)電荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為 、且相距為2b 的兩根無限長帶電細(xì)線來等效替代，如圖 2所示。問題：如圖1所示，兩平行導(dǎo)體圓柱的半徑均為a，兩導(dǎo)體軸線間距為2h，單位長度分別帶電荷 和 。103圖2 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸 通常將帶電細(xì)線所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。由 利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像確定b 。思考：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導(dǎo)體問題？1043.5.5 點(diǎn)電荷

29、與無限大電介質(zhì)平面的鏡像 圖1 點(diǎn)電荷與電介質(zhì)分界平面特點(diǎn)：在點(diǎn)電荷的電場作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時，空間中任一點(diǎn)的電場由點(diǎn)電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。圖2 介質(zhì)1的鏡像電荷問題：如圖 1 所示，介電常數(shù)分別為 和 的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無限大平面，在電介質(zhì) 1 中有一個點(diǎn)電荷q ，距分界平面為h 。分析方法：計算電介質(zhì) 1 中的電位時，用位于介質(zhì) 2 中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖2所示。105介質(zhì)1中的電位為 計算電介質(zhì) 2 中的電位時，用位于介質(zhì) 1 中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空

30、間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖 3 所示。介質(zhì)2中的電位為圖3 介質(zhì)2的鏡像電荷106可得到說明：對位于無限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無限長線電荷（單位長度帶），其鏡像電荷為利用電位滿足的邊界條件107圖1 線電流與磁介質(zhì)分界平面圖2 磁介質(zhì)1的鏡像線電流特點(diǎn)：在直線電流I 產(chǎn)生的磁場作用下，磁介質(zhì)被磁化，在分界面上有磁化電流分布，空間中的磁場由線電流和磁化電流共同產(chǎn)生。問題：如圖1所示，磁導(dǎo)率分別為 和 的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無限大平面，在磁介質(zhì)1中有一根無限長直線電流平行于分界平面，且與分界平面相距為h。分析方法：在計算磁介質(zhì)1中的磁場時，用置于介質(zhì)2中的鏡像線電

31、流來代替分界面上的磁化電流，并把整個空間看作充滿磁導(dǎo)率為 的均勻介質(zhì)，如圖2所示。3.5.6 線電流與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像 108 因?yàn)殡娏餮?y 軸方向流動，所以矢量磁位只有y 分量，則磁介質(zhì)1和磁介質(zhì)2中任一點(diǎn)的矢量磁位分別為圖3 磁介質(zhì)2的鏡像線電流 在計算磁介質(zhì)2中的磁場時，用置于介質(zhì)1中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個空間看作充滿磁導(dǎo)率為 的均勻介質(zhì)，如圖3所示。109相應(yīng)的磁場可由 求得?？傻玫焦世檬噶看盼粷M足的邊界條件1103.6 分離變量法 本節(jié)內(nèi)容 3.6.1 分離變量法解題的基本原理 3.6.2 直角坐標(biāo)系中的分離變量法 3.6.3 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量

32、法 3.6.4 球坐標(biāo)系中的分離變量法111 將偏微分方程中含有n個自變量的待求函數(shù)表示成n個各自只含一個變量的函數(shù)的乘積，把偏微分方程分解成n個常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來，得到級數(shù)形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)。分離變量法是求解邊值問題的一種經(jīng)典方法分離變量法的理論依據(jù)是惟一性定理分離變量法解題的基本思路：3.6.1 分離變量法解題的基本原理112在直角坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z 無關(guān)，則拉普拉斯方程為3.6.2 直角坐標(biāo)系中的分離變量法將 (x, y) 表示為兩個一維函數(shù) X( x )和Y( y )的乘積，即將其代入拉普拉斯方程，得再除以 X( x )

33、Y( y ) ，有分離常數(shù)113 若取k2 ，則有當(dāng)當(dāng)114將所有可能的 (x, y)線性疊加起來，則得到位函數(shù)的通解，即 若取k2 ，同理可得到通解中的分離常數(shù)和待定系數(shù)由給定的邊界條件確定。115 例3.6.1 無限長的矩形金屬導(dǎo)體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計算此導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。 解：位函數(shù)滿足的方程和邊界條件為因 (0 , y)0、 (a , y)0，故位函數(shù)的通解應(yīng)取為116確定待定系數(shù)117將U0 在（0, a）上按 展開為傅里葉級數(shù)，即其中118由故得到1193.6.3 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法 令其解為 代入方程，可得到由此

34、可將拉普拉斯方程分離為兩個常微分方程 在圓柱坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z 無關(guān)，則拉普拉斯方程為 通常 (, )隨變量 的變化是以 2 為周期的周期函數(shù)。因此，分離常數(shù) k 應(yīng)為整數(shù)，即k n ( n0, 1, 2, ) 。120當(dāng)n = 0時 考慮到以上各種情況，電位微分方程的解可取下列一般形式 當(dāng)n 0時 121 解 選取圓柱坐標(biāo)系，令 z 軸為圓柱軸線，電場強(qiáng)度的方向與x 軸一致，即 當(dāng)導(dǎo)體圓柱處于靜電平衡時，圓柱內(nèi)的電場強(qiáng)度為零，圓柱為等位體，圓柱表面電場強(qiáng)度切向分量為零，且柱外的電位分布函數(shù)應(yīng)與z 無關(guān)。解的形式可取前述一般形式，但應(yīng)滿足下列兩個邊界條件： 例 3.6.2 均勻外電場 中，有一半徑為 a、介電常數(shù)為的無限長均勻介質(zhì)圓柱