高等代數(shù)教案北大版第八章

1、授課內(nèi)容第八章 入矩陣 第一講 入矩陣教學(xué)時(shí)數(shù)2學(xué)時(shí)授課類型講授法與練習(xí)法教學(xué)目標(biāo)使學(xué)生了解 九-矩陣的概念，以及 九-矩陣和數(shù)字矩陣的關(guān)系，基本掌握Z-矩陣秩的判斷，可逆的條件，以及求逆矩陣。教學(xué)重點(diǎn)九-矩陣秩的判斷，可逆的條件，以及求逆矩陣。教學(xué)難點(diǎn)求九-矩陣的逆矩陣教學(xué)方法與 手段啟發(fā)式講授，討論，練習(xí)教 學(xué) 過 程n階矩陣A與對角陣相似的充要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量 .那么當(dāng)只有n（mn）個(gè)線住無關(guān)的牛!征向量時(shí)，A與對角陣是不相似的.對這種情 況，我們“退而求其次”，尋找“幾乎對角的矩陣來與A相似.這就引出了矩陣在相似下的各種標(biāo)準(zhǔn)型問題 .Jordan標(biāo)準(zhǔn)型是最接近對角的矩陣

2、并且其有關(guān)的理論包含先前有關(guān)與對角 陣相似的理論作為特例.此外，Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的廣泛應(yīng)用涉及到Hamilton-Cayley定理的證明，矩陣分解，線性微分方程組的求解等等.由于Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的求解與特征多項(xiàng)式有關(guān)，而從函數(shù)白角度看，特征多項(xiàng) 式實(shí)際上是特殊的函數(shù)矩陣（元素是函數(shù)的矩陣），這就引出對 九-矩陣的研究.一、九-矩陣及其標(biāo)準(zhǔn)型定義1稱矩陣A（九）（fj （九）為九-矩陣，其中元素fj（K）（i=1,2|,m;j =1,2,|,n）為數(shù)域F上關(guān)于九的多項(xiàng)式.定義2 稱n階九-矩陣A（九）是可逆的，如果有A（九）B（九）=B（?u）A（“=In并稱B（九）為A（九）的逆矩陣.反之

3、亦然.定理1矩陣A（K）可逆的充要條件是其行列式為非零的常數(shù)，即det(A( ) = c = 0.證明：(1)充分性設(shè)|A(九廣d是一個(gè)非零的數(shù).A*(九)表示A(A)的伴隨矩陣，則d -1A* (九)也是一個(gè) 九-矩陣，且有1 *1*A d A p. ) = d A A*、)= I因此，A(7J是可逆的.(2)必要性設(shè)A(九)有可逆矩陣B( X)，則A B = I兩邊取行列式有A(“B(7/ = |l| = 1由于|A(八與同“都是多項(xiàng)式，而它們的乘積為1,所以它們都是零次多項(xiàng)式 即都是非零常數(shù).證畢.例題1判斷九-矩陣%2+1 2 九1、A(九尸九十1九 B( ) ，此時(shí)，B( a中那些包

4、含i行與j行的階子式和 那些不包含i行的k階子式都等于 A兒)中對應(yīng)的k階子式；B( K)中那些包含i 行但不包含j行的k階子式，按i行分成兩個(gè)部分，而等于 A K)的一個(gè)k階子式 與另一個(gè)k階子式的土義兒)倍的和，,也就是A7J的兩個(gè)k階子式的線性組合 所以，f( K)是的k階子式公因式，從而f(九)| g(九).對于列變換，可以一樣地討論.總之，A(九)經(jīng)過一系列的初等變換變成蛻K)，那么f(孫。九).又由于初等變換的可逆性，R兒)經(jīng)過一系列的初等變 換可以變成A(K),從而也有g(shù)pj| f( Z).當(dāng)A九)所有的階子式為零時(shí)，B(九)所有的k階子式也就等于零；反之亦然 故A(兒)與蛻K)

5、又相同的各階行列式因子，從而有相同的秩.證畢.既然初等變換不改變行列式因子，所以，每個(gè)九-矩陣與它的標(biāo)準(zhǔn)型有完全相同的行列式因子.而求標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣是較為簡單的，因而，在求一個(gè)九-矩陣的行列式因子時(shí)，只要求出它的標(biāo)準(zhǔn)型的行列式因子即可.討論、練習(xí)與作業(yè)課后反思授課內(nèi)容第二將 人-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)型教學(xué)時(shí)數(shù)2授課類型講授課教學(xué)目標(biāo)了解九-矩陣的初等變換，掌握求標(biāo)準(zhǔn)型的方法， 掌握最小多項(xiàng)式的概念和 求最小多項(xiàng)式的方法。教學(xué)重點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)型的方法和最小多項(xiàng)式的求法教學(xué)難點(diǎn)求九-矩陣標(biāo)準(zhǔn)型的方法教學(xué)方法與 手段課堂講授，輔以提問、練習(xí)教 學(xué) 過 程一、九-矩陣的初等變換。定義1卜面的三種變換叫做 九

6、-矩陣的初等變換：(1)矩陣的兩行(列)互換位置；(2)矩陣的某一行(列)乘以非零的常數(shù)C;(3)矩陣的某一行(列)加另一行(列)的小(九)倍，(九)是一個(gè)多項(xiàng)式。初等變換都是可逆的，并且有p(i, j),= p(i,j),p(i),= p(i(c),p(i,j(), = p(i,j(*)。為了寫起來方便起見，我們采用以下的記號：i, j代表i, j行(列)互換位置；i(c)代表用非零的數(shù)c去乘行(列)；i + j()代表把j行(列)的小(九)倍加到i行(列)。定義2人-矩陣A(九)稱為與B(K)等價(jià)，如果可以經(jīng)過一系列初等變換將A(九)化為B(%)。等價(jià)是九-矩陣之間的一種關(guān)系，這個(gè)關(guān)系，顯

7、然具有下列三個(gè)性質(zhì)：反身性：每一個(gè) 九-矩陣與自己等價(jià)。對稱性：若AQ）與B（Q等價(jià)，則B（K）與A（K）等價(jià)。這是由于 初等變換具有可逆性的緣故。傳遞性：若 A。）與B。）等價(jià)，B（K）與C（九）等價(jià)，則AQ）與C（九）等價(jià),引理 設(shè)九-矩陣A（九）的左上角a11（人）0,并且A（，“）中至少有一個(gè)元素不能被它除盡，那么一定可以找到一個(gè)與A（九）等價(jià)的矩陣B（九），它的左上角元素也不為零，但是次數(shù)比a11a）的次數(shù)低。定理2任意一個(gè)非零的sn的九-矩陣A（九）都等價(jià)與下列形式的矩陣d（九）d2（*J*dr（%）0 +:.0 一最后化成的這個(gè)矩陣稱為A（八）的標(biāo)準(zhǔn)形。例求九-矩陣A()=nn

8、2n1 九九九hfij-h的標(biāo)準(zhǔn)型.- 二 2n 2r. 2I 1十九九一九1J解21九九-1 2口、1九九J 00 A(0 九一九T0九一九T0九0/1 22 2入一九1一-2-100 一九一兒,210 0九十九J即為所求的標(biāo)準(zhǔn)型二、矩陣最小多項(xiàng)式定義3：設(shè)Aw Mn（K）是一個(gè)矩陣，如果多項(xiàng)式mm 1f （） = a0 - a- am j 1 - am使得：f （A） -aoAm - a1Am,- amJA - amEn = 0則稱f （九）是A的零化多項(xiàng)式。A的次數(shù)最小的首一零化多項(xiàng)式稱為A的極小多項(xiàng)式（minimal polymial ），記為 mA（7J。引理2： mA（九）整除A的

9、任意零化多項(xiàng)式。特別的mA（? ） | fA）。證明 設(shè)f（K）是A的任一零花多項(xiàng)式，則 f（A）=0。由帶余除法定理可知f （7） = mA（K）q（?u） +r（九），r（Q = 0或 （r（兒） S0（mA（X）。由 r（A） = 0及力（mA（ K）的最小性知r （九）=0mA。）3。）引理3： mA。的根必是fA（-）的根。證明 若A有特征根 /不是mA（九）的根，則（九九0,mA） =1。二存在u（7）,v（） w Cu使彳導(dǎo) u（K）（九-） +v（九）mA（九）=1二u（A）（A %Im） = In,取行列式知det（A 九0Im）=0與均是A的特征根矛盾。由引理1、2知仃（九

10、）與fA（九）有相同的根。引理4例1設(shè)相似矩陣有相同的最小多項(xiàng)式，反之不真。00 B =001 0 0、0 0 00 0 00 0 0；0 10 00 0 0 0 A 0 0 0 1mA。、）= mB （勾=九2,但A、B不相似。引理5設(shè)A為n階方陣且A相似于出B2B =) =mB(Q, mB2(Q。定理3設(shè)Aw Mn(C)sfA() =( - i)r1( - 2)r2L( - i)ri/ ri =ni 1則 mA)=(九%)1(九%)t2LLa ,其中 1Mti ri，1i s.由引理1、2即得結(jié)論。氣-1 0、A= 0 2 0 ,求 mA(Z)-1 2fA。=（九3）（九2）2 ,二mA（

11、九）只能是下兩個(gè)多項(xiàng)式之一，即m（九）=（3）（九一2）,m2（兒）=（-3）（九2）2將A帶入明仕）得明（九）=0,故 mA。.）=（九一3）。一2）。定理4mA（2）= fA（A） ,Dn（K）為A的n-1階行列式因子。Dn式）可根據(jù)如下方法求出 Dn（九）。因 為 （fA（九）一 fA（u），記 r （九,u）= fA（：） - fA（u）故一 ufA（K） 一 fA（u） = （九一u）r（%u）,分別以 川 與A 代九和ui得fA（K）I =（九 I 一 A）r （九I ,u）得 r。-1 一 A）=（川 一 A ）（A 表小 A 的伴隨矩陣。而Dni（九）恰為（川-A*）的所有元素

12、的首一最大公因式故用上述方法可求出A的最小多項(xiàng)式）。例4設(shè)3 32 ）A=|1 5-2 求mAa）。1-1 30 J解fA（，u）=（九2）2（九4）r （八,u） = A （：）A（U）= u2 + u（九一 8） 十 九2 8九 + 20九u（九 25 人+63九+ 6*2_2_2_，（川一A ） =A2+A（八一8）十（九2 8九十 20）1一九十2九 23九十2- -八-2九十23九+ 6九顯然（九I -A ）中所七兒系自一取大公因式Dn（丸）九一2mA。）一（九 2）（九 4）口2（7-）討論、練習(xí)與 作業(yè)課后反思2 -4-8九+ 12 ,24授課內(nèi)容第三講/、變因子教學(xué)時(shí)數(shù)2授課類

13、型講授、互動(dòng)教學(xué)目標(biāo)通過2學(xué)時(shí)的講授，使學(xué)生基本掌握線性變換的矩陣表示方法和來源，了 解矩陣和線性變換的這種等價(jià)關(guān)系，掌握/、變因子的求法。教學(xué)重點(diǎn)入一矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型和不變因子教學(xué)難點(diǎn)入一矩陣不艾因子的求法教學(xué)方法與 手段課堂講授、練習(xí)教 學(xué) 過 程一、 矩陣表小設(shè)V和 W 都是數(shù)域 F上的有限維向量空間，dimV=n , dimW=m , o- CHom(V , W).b完全被它在V的一個(gè)基上的作用所決定.因此在V中取一個(gè)基31, ,an ； 同時(shí)，在W中取一個(gè)基P1, ，口m,則仃01，。依馬由P1,% ,Pm線性表示 為6(31) =a1101 +a21P2+amFm j3(Ctn) =a

14、1nP1 +a2np2 +a amn m,1、, (1)將此寫成矩陣形式，并令丁即出，%)=(仃g),仃令2),產(chǎn)包),則得a11a1n。(口1, Un)=(P1, Pm) a2-1a2,nn的同構(gòu)映射，記作 Hom（V , W）Fm沏.證 前面已證中是到Hom（V , W）到FmM的雙射.現(xiàn)在來證明中保持加法與 純量乘法運(yùn)算.任取仃,丁 C Hom（V , W）,設(shè)邛（q）=A,邛（力二B ,即仃&，,）=（瓦，Pm）A,似3,）=（0,，Bm）B ,則（二- .）（：1, ,： n）=（二.）（；1）, ,（二.）（：?）=（二（），二（：）（：1），（：n）= （：m）A （：1，：m）

15、B=（：1，一 m）（A B（3）這表明E誑基%和基Pi下的矩陣是A+B.因此邛（o+ T 尸A +B=。（0）+5（T ）.類似可證 中*仃）=5=心（仃），其中kC F.因此，中是Hom（V , W）到F m坨 的同構(gòu)映射.再注意到定理7.1.2,則有推論 設(shè)dimV=n , dimW=m ,則Hom（V , W）是有限維的，并且dimHom （V , W）=dimV dimW.（4）當(dāng)知道V到W的線性映射。在基j 和基Pi 下的矢1陣A之后，V中任一向量a在5下的象很容易求出，即有命題 設(shè)必,，%是V的一個(gè)基，*,，Pm是W的一個(gè)基，仃CHom（V,W),且0在基叩和基pi下的矩陣為A.

16、又V”,Xi CV,設(shè)a在基叼下的坐標(biāo)為：，則仃Q)在基快下的坐xKnJ標(biāo)為A 1n ；證我們有a(a) =x1cr(a1) + +xncr(an)=，ZXi、，Xi、 Xi 、HCti,Ctn) ： =(Pi,，Pm)A) ： =(Pi,，Pm) A.Xnn J心J:tn),Xi 因此，A :是a(a)在基Pi,，口下的坐標(biāo).、Xn J推論 設(shè)V到W的線性映射仃在基口 j和基Pi 下的矩/ 、Xi陣為A, V中小-向量a在基%下的坐標(biāo)為X= : , W中向量不Xn J在基Pi下的坐標(biāo)為 Y=:，則仃()=尸U AX =Y . kyn J現(xiàn)在我們來討論 n維向量空間V上的線性變換與矩陣的關(guān)系.

17、設(shè)ctC EndV,我們把上面關(guān)于線性映射與矩陣的關(guān)系運(yùn)用到V上的線性變換中.這時(shí)，只需在V中取定一個(gè)基 支i,， ,把基向量豆j在仃下的象仃(四)仍然用這 個(gè)基線性表出，即( 、 aiiain,、，、a2ia2n,、Wi,8)=(3，):,(5)a niann /右端的n階矩陣A= (aij )nn叫做線性變換。在基0(i，On下的矩陣.定理2 設(shè)V是數(shù)域F上n維向量空間，在V中取定一個(gè)基0tl，Un ,則V上的每一個(gè)線性變換與它在基%,，下的矩陣的對應(yīng) 9是向量空間EndV到Mn(F)的同構(gòu)映射，也是環(huán) EndV到Mn(F)的同構(gòu)映射.證 后半部分中邛是雙射，保持加法也已證明，剩下只要證中

18、保持乘法.設(shè)線性變換 施基8，Un下的矩陣分別是 A, B,則仃（四，,otn） =（s，O（n）A , T（1，0n） = 3，,O（n）B .因?yàn)椋ǘ?1-，：n）=；:（.（：1, , ： n） =C-（：1,， n）B） nnnn-；（二： bi1 = i J ,： bin -i） =（；： bi1 二（1 i）,，1： bnC（.：Si） i 4i 1i 4i 4= （o-（a1）,* ,（1V） =In.同理 BA=In .所以 B=A - 1 .反過來，設(shè)仃T A ,而A可逆，則有 EEndV使7T a.于是In =AA=中（5 ）,從而易見 5 =1v .同理可證 B=1v

19、 .所以O(shè)可逆，且仃.命題 設(shè)V是數(shù)域F上n維向量空間，仃 EndV .若仃在V的基U1,，4 下的矩陣為 A , a V在基必，”下的坐標(biāo)為 X,則仃）在基 四,，$下的坐標(biāo)為AX .二、不變因子現(xiàn)在來證明，九-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。為此，我們引入定義2設(shè)九-矩陣A（K）的秩為r ,對于正整數(shù)k, 1 k .） , d2（九），dr。是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，且dig） |df （九）（i =1,2，r 1）。不難證明，在這種形式的矩陣中，如果一個(gè)k級子式包含的行與列的標(biāo)號不完全相同，那么這個(gè)k級子式一定為零。因此，為了計(jì)算k級行列式因子，只要看由ii,i2,，ik列（1 Wii i2（l 2

20、ri0 九一九 一九0 _九 九一1_100一堂T 01九2C2 Mc3一n n n 20 一九九一九32不變因子di （劫=1, d2 （4=1, d3（九）=九一九十九。討論、練習(xí)與作業(yè)課后反思授課內(nèi)容第五講 人-矩陣的初等因子教學(xué)時(shí)數(shù)2授課類型講授課教學(xué)目標(biāo)了解九-矩陣的初等因子的定義， 初等因子與不變因子的關(guān)系， 掌握初等因子的求法。教學(xué)重點(diǎn)初等因子與不變因子的關(guān)系，掌握初等因子的求法教學(xué)難點(diǎn)初等因子的求法教學(xué)方法與 手段課堂講授，輔以提問、練習(xí)教 學(xué) 過 程這一節(jié)與下 T.中我們假定討論中的數(shù)域P是復(fù)數(shù)域。上面已經(jīng)看到，不變因子是矩陣的相似小變量。為了得到若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，再引入定義1把矩

21、陣A （或線性變換 A ）的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子分解成 互不相同的一次因式方哥的乘積，所有這些一次因式方哥（相同的必須按出現(xiàn) 的次數(shù)計(jì)算）稱為矩陣 A （或線性變換A）的初等因子。例1設(shè)12級矩陣的小變因子是1,1（9個(gè)）,（x-i）2（x+i）,（九i）2（九+i）a2+1）2。按定義，它的初等因子有 7個(gè)，即（1）2, （1）2,（九1）2,（九+1）, （i）2,（九十 i）2。其中（九一1）2出現(xiàn)三次，（九十1）出現(xiàn)二次?，F(xiàn)在進(jìn)一步來說明不變因子和初等因子的關(guān)系。首先，假設(shè)n級矩陣A的/、變因子d1,d2（九）,，dnP）為已知。將di （九）（i =1,2,，n）分解成 互小相同

22、的一次因式方帚的乘積：d1（K）=（九-）k11 （九-）k12（九r）k1r,d2四=（一（產(chǎn)（%）k2r，04 口!L & !1. dnQ）=（兒九1）kn1 （九K2）kn2（九%）knr ,則其中對應(yīng)于 之1的那些方哥 k（ - - j） j（kj -1）就是A的全部初等因子。我們注意不變因子有一個(gè)除盡一個(gè)的性質(zhì)，即di）|di中（八）（i=1,2,，n1）,從而k：k i ：C； %）|（-j）（i =1,2,n-1;j =1,2,，r）。因此，在d1（Z）, d2（Z），dn（K）的分解式中，屬于同一個(gè)一次因式的方哥的指數(shù)有遞升的性質(zhì)，即k1j * Wknj（j =1,2,，r）。

23、這說明，同一個(gè)一次因式的方哥作成的初等因子中，方次最高的必定出現(xiàn)在dn（K）的分解中，方次次高的必定出現(xiàn)在dn二（九）的分解中。如此順推下去，可知屬于同一個(gè)一次因式的方哥的初等因子在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的。上面的分析給了我們一個(gè)如何從初等因子和矩陣的級數(shù)唯一地作出不變因子的方法。設(shè)一個(gè) n級矩陣的全部初等因子為已知，在全部初等因子中將同一個(gè)一次因式（兒-%） （j =1,2，r）的方哥的那些初等因子按降哥排列，而且當(dāng)這些初等因子的個(gè)數(shù)不足n時(shí)，就在后面補(bǔ)上適當(dāng)個(gè)數(shù)的1,使得湊成n個(gè)。設(shè)所得排列為knjkn _Ljk1 j（九一%）,（九%），（九九j）（j =12 ,r）。于

24、是令di（ ） =（一1之（-2）ki2 （-r）kir （i =1,2, ,n）則dKK）, d?（九），dn （九）就是A的不變因子。這也說明了這樣一個(gè)事實(shí)：如果兩個(gè)同級的數(shù)字矩陣有相同的初等因子，則它們就有相同的不變因子，因而它們相似。反之，如果兩個(gè)矩陣相似，則它們有相同的不變因子，因而它們有相同的初等因子。綜上所述，即得定理1兩個(gè)同級矩陣相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子。引理A()f1()g()0=I0f2(九)g2(九)一如果多項(xiàng)式fi()B()= ：f2*）g1（K）0【一，0 早九版什）f2（九）都與gi（X） , g2（九）互素,則A（九）與B（Q等價(jià)。卜面的定理給了我

25、們一個(gè)求初等因子的方法，它不必事先知道不變因子。定理2 首先用初等變換化特征矩陣 九E-A為對角形式，然后將主對角線 上的元素分解成互不相同的一次因式的乘積，則所有這些一次因式的方哥（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）就是A的全部初等因子。一000010，求羽A的初等因子。解方法 1： D1(Z) =1,D2(九)=1, 口3。)=1, D4=(九九 0)4,則不變因子di(%)=1, d2(Q=1d3()=1, d4 (，-) = (九一九0)4初等因子為（八一）4。方法2:一 0-1000，0-10001一 0-1000 -0課后反思-1九-及001初0-10300九A0-1000九0一1000初

26、0 （九一九0）之-10i 00九一九0-1000兒一九0一10 001初010000 10：0 0 0 （九-%）4初等因子為（九一八0）4。一460例3 A= 3 5 0，求兒IA的初等因子。-3 -6 1_一九-4-60 解 KI A=3 九+5036九一1_一1001初n00 九1000（九1）（九+2） j所以初等因子為 九一1,九1,九+2。1討論、練習(xí)與 作業(yè)授課內(nèi)容第六講若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式理論簡介教學(xué)時(shí)數(shù)2授課類型講授、互動(dòng)教學(xué)目標(biāo)了解若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的定義，掌握若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的求法教學(xué)重點(diǎn)若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的求法教學(xué)難點(diǎn)若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的求法教學(xué)方法與 手段課堂講授、練習(xí)教 學(xué) 過 程我們用初等因子的理論

27、來解決若 形的初等因子。不難算出若當(dāng)塊Jo =1的初等因子是（兒%）n。事實(shí)上，考慮它的特征矩陣九E - J。= 顯然|布一 Jo 1 =（九-九0）n ,這就;由于 布J。有一個(gè)n 1級子式是當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算問題。首先計(jì)算若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)“%000-1工000100 A. , ,.A A,0。1 2f，-九0000一1九一九0000-1-00。 A A. . , A A A A00-1九一九0一是KE Jo的n級行列式因子。-1q q * -八一為00 1所以它的n_1級行列式因子000是-100 A. , - , ,0-1九一九000-1 .1,從而它以下各級的行列式因= (-1)2.子全是 1。因此,它的不變因子di（九）=dn/）=1 , dna）= （&）n。有此即得，(XE -J0)no若當(dāng)形矩陣的初等因子也很容易算出。設(shè)J 2+ .J4Ji1J =是一個(gè)若當(dāng)形矩陣，其中九i0 ,1J i =01 ,00 ,0 00 0（i =12.0 01九i ikixkik.既然Ji的初等因子是（九%） i（i =1,2，s）,所以九EJi與一1111+I&Eks Js1111一1等價(jià)。因此,決定。例1在第5節(jié)的例中,（工