《幾何畫板》課件制作-圓錐曲線的形成和畫法

1、 幾何畫板課件制作作者：馬現嶺摘要幾何畫板是一個適用于幾何（平面幾何，解析幾何，射影幾何，立體幾何）、部分物理、天文教學的專業(yè)學科優(yōu)秀平臺軟件，它能輔助教師在教學中使用現代化教育技術并進行教學試驗，也可以幫助學生在實際操作中把握學科的內在實質，培養(yǎng)其觀察能力，問題解決能力，并發(fā)展思維能力。它代表了當代專業(yè)工具平臺類教學軟件的發(fā)展方向。在對幾何畫板進行系統(tǒng)的學習之后，我利用有關知識制作了兩大類綜合的數學課件。主要包括：用動態(tài)效果展示圓錐曲線及截面的形成和圓錐曲線的畫法。這兩類課件在教學上都有很重要的應用。最新的普通中學數學課程標準中強調“教師應向學生展示平面截圓錐得到的橢圓的過程，使學生加深對圓

2、錐曲線的理解，有條件的學校應充分發(fā)揮現代教育技術的作用，利用計算機演示平面截圓錐所得的圓錐曲線?！边@表明圓錐曲線的教學在以往的教學過程中存在著很大的困難，由于以往教育技術的落后，無法生動直觀的進行講解。現在有了這個課件，我們就能達到既生動又直觀的教學效果。第二類利用幾何畫板實現了軌跡、函數圖像的變換以及圖像變換的動態(tài)演示，并由此法制作了幾個有關函數圖像變換的課件。第二類課件系統(tǒng)介紹了圓錐曲線的畫法,為在教學中提高學生學習興趣,開展對圓錐曲線的研究,提供了良好的方法和方便的途徑。全文由三部分組成：第一部分：幾何畫板課件制作的選題原則。第二部分：詳細介紹了我所選擇制作的數學課件及其制作過程。第三部

3、分：學習及應用幾何畫板的體會。關鍵詞：幾何畫板、標記向量、橢圓、圓錐曲線、圓錐截面、軌跡。AbstractTheGeometersSketchpadisanexcellentplatformforteachingofgeometry(planegeometry,analyticgeometry,projectiongeometryandsolidgeometry).Italsoappliestoteachingofpartialphysicsandastronomy.Thisplatformnotonlycanhelpteachersusethemoderneducationtechnolog

4、yinthecourseofteaching,butalsocanhelpstudentsgrasptheinwardnessofscience,andcultivatetheirabilityofobservation,solvingquestion,andprogressingtheirideation.Itrepresentsthedevelopingdirectionoftheeducativetoolsoftware.AfterIlearntheGeometersSketchpad,Ihavemadekindsofcomprehensivemathematicscoursewares

5、,mainlyincluding:Demonstratethedevelopmentofconecurve.Thesekindsofcoursewareshaveveryimportantapplicationonteaching.InThenewestordinarymiddleschoolmathematicscoursestandard,itisemphasizedthatteachershoulddemonstratetostudenttheplanesectionellipsethatconegets,makestudentdeepentheunderstandingforconec

6、urve,undercertainconditionschoolsshouldplaytheroleofmoderneducationaltechnologyfully,usingcomputertodemonstrationincomingofconecurvefromconebytheplane.Itshowsthattheteachingofconecurvehasgreatdifficultyinformerteachingcourse,justbecausethateducatingtechnologyfallbehindbefore,anditcannotbeactiveandvi

7、sualtoexplain.Now,herearethesecoursewares,wecanreachactiveandvisualteachingeffect.Thesecondkindofsidespreadoutproblemisconcernedwithinformerlesson,butthemethodtoproduceisfussy.ThebiggestadvantageofmylessonliesinthemethodthatIhaveusedaunificationtocarryout,sothatthetimetoproduceisshortenedgreatly,and

8、hasreachedverygooddemonstrationeffect.Thepapertextiscomposedofthreeparts:Inthefirstpart:IwritesomefundamentalaboutwhatkindsofproblemwecanmakethecoursewaresintheGeometersSketchpad.Inthesecondpart:ThemathematicscoursewaresanditsproducecoursethatIselecttomakeareintroducedindetail.Inthelastpart:Irelatet

9、heexperiencestudybyusingtheGeometersSketchpad.Keywords:TheGeometersSketchpad、markvector、ellipse、conecurve、conesection、trace.TheGeometersSketchpad是美國優(yōu)秀的教育軟件。由美國NicholasJackiw和ScottSteketee程序實現，StevenRasmussen領導的KeyCurriculum出版社出版。它的中文名是幾何畫板一21世紀的動態(tài)幾何，以下簡稱幾何畫板。它小巧玲瓏，操作簡單，是數學學習的有力助手。它可以說是我們的數學實驗室，因為它能夠

10、有效地使數形結合，使我們在數學學習中既理解了數學結論，又得到了數學經驗。眾所周知數學是訓練邏輯思維的，尤其幾何。通過教師的輔導，我們在自己的記憶中形成套邏輯思維體系。那么怎樣才能使我們更好地理解幾何知識、掌握邏輯思維方法呢？一個方法是多看、多想，增加我們的學習經驗，另一個方法就是尋找良好的輔助工具，幫助我們在動態(tài)的幾何之中，去觀察，探索。幾何畫板就是一個適用于幾何（平面幾何，解析幾何，射影幾何，立體幾何）、部分物理、天文教學的專業(yè)學科優(yōu)秀平臺軟件，它能輔助教師在教學中使用現代化教育技術并進行教學試驗，也可以幫助學生在實際操作中把握學科的內在實質，培養(yǎng)其觀察能力，問題解決能力，并發(fā)展思維能力。它

11、代表了當代專業(yè)工具平臺類教學軟件的發(fā)展方向。在對幾何畫板進行系統(tǒng)的學習之后，我利用有關知識制作了兩大類綜合的數學課件，主要包括：用動態(tài)效果展示圓錐曲線的形成和圓錐曲線的畫法。這兩類課件在教學上都有很重要的應用。這里我所選擇的幾何畫板版本為4.04版，目前最高的版本為5.0英文版，此外還有3.03版、4.03版和4.06版.下面我就課件的選題、制作及使用幾何畫板的感受幾方面來展開我的論文。第一部分幾何畫板的選題原則在數學教學過程中，不論是代數教學還是幾何教學，遇到的最大困難就是：教師在教學過程重使用常規(guī)工具（如黑板，粉筆，圓規(guī)和直尺等）作圖或是演示都有一定的局限性，而且無法達到動態(tài)地、任意地展示

12、的目的，更多的時候無法揭示事物變化過程中的規(guī)律。幾何畫板一21世紀的動態(tài)幾何。顧名思義，幾何畫板就是一個可以很好的解決以上難題的輔助教學工具。幾何畫板在中學數學教學中有很多應用，不論在代數教學還是在幾何教學中都顯示出它的超凡魅力。例如，在代數學教學中，它對函數、極限、復數和不等式等的教學起到了很大的作用。在幾何學教學中，平面、立體和解析幾何更讓幾何畫板大顯身手。當然，并不是所有教學都要利用幾何畫板來完成，也并不是所有教學內容都適合利用幾何畫板達到最好的效果，這就要遵循幾何畫板的選題原則：第一：幾何畫板可以動態(tài)地演示圖形的變化過程。例如：下面要展示的圓錐曲線和函數圖象的變換的課件都體現了動態(tài)的特

13、點；第二：幾何畫板可以有效地使數形結合。例如：大量極值問題都可以通過幾何畫板來動態(tài)模擬。第三：幾何畫板可以精確畫出函數圖形并表現其全部情況。例如：函數教學中大量的繪圖工作可以輕而易舉地通過幾何畫板來完成。而且對于一類函數，幾何畫板可以通過改變系數及參數而達到表現其全部情況的目的。例如：三角函數中正弦函數y=Asin（3x+d）+d的圖像可以通過調整A,d的值得到不同的精確圖像。第四：幾何畫板最重要的是可以很好的表現圖形的任意性。例如：在讓學生掌握三角形重心,內心,外心等概念時,在以往的教學過程中只能在黑板上畫出幾個三角形作代表,不能很好地說明三角形的任意性,而利用幾何畫板就可以任意拖動三角形的

14、頂點以達到任意三角形的目的。總之,在所做課件中我們能夠充分體現出幾何畫板的以上優(yōu)勢,并能夠恰當的應用到教學實踐中,為教學服務。這就可以稱作是一個成功的課件設計。利用幾何畫板就是要充分利用它動態(tài)幾何的特點,把在傳統(tǒng)教學中比較難描述清楚的圖形,用動態(tài)效果展現給學生,從而達到更好得教學效果。第二部分課件設計與制作第一類課件：圓錐曲線的形成選題：圓、橢圓、拋物線、雙曲線這四種曲線可以看作不同的平面截圓錐面所得到的截線，故它們統(tǒng)稱為圓錐曲線。在中學數學教學中，很難用實物教具演示圓錐曲線的形成過程。在學習之初，學生很難對圓錐曲線的形成有一個直觀的認識。現利用幾何畫板模擬不同的平面截圓錐面的過程，動態(tài)演示不

15、同圓錐曲線及截面的形成，為高中數學圓錐曲線的學習作引入。這樣設計使學生對抽象的圓錐曲線概念有一個更感性的認識，更便于學生理解圓錐曲線的實際意義。原理：圓錐面被一平面所截所得的曲線形有：圓、橢圓、拋物線、雙曲線。制作過程：圓錐曲線的構造1構造能夠控制截面作移動和傾斜變化的示意圖1作小橢圓：利用同心圓法作橢圓，橢圓的長半軸為OA，短半軸為OB；（1）過O作OA的垂線，在垂線的上方任取一點H,作線段HO并隱藏垂線。用線段連接AH,分別在線段HO和AH上任取點C和點D，連接CD；（2）作截面：以點C為圓心，以小線段r為半徑作圓。在上半圓上任取一點E，隱藏小圓。依次選定點E和點C并標記為向量，把點C按標

16、記向量平移得到點E，再依次選定點C和點D并標記為向量，把點E和E按標記向量平移得到點F和F。同時選定點E、F、F和E，用線段相連得截面EFFE，并涂上淺黃色，如圖1A雙曲線FO(a)圓錐截面的形成MN(b)注意：利用示意圖控制截面作移動和傾斜變化1）拖動點A或點B,可以改變橢圓的大??；拖動點C或點D,可以使截面EFFE上下移動或上下傾斜；拖動點E,可以使截面左右傾斜或翻轉。2構造圓錐面被截面所截形成圓錐截面曲線的過程做大橢圓:利用同心圓法作橢圓,橢圓的長半軸OA=2|OA|,短半軸OB=2|OB|,橢圓中心為O；作圓截面:依次選定點O和點H并標記為向量，把點O按標記向量平移兩次得點H,使OH=

17、2|OH|。在橢圓上任取一點P,用線段連接OP依次選定點P和點H并標記為向量，把點H按標記向量平移得點P,用線段連接PP和AH；作P軌跡，同時選定點P和點P,執(zhí)行作圖/軌跡選項，求得一個與圓橢圓關于H對稱的橢圓；作PP軌跡，再同時選定線段PP和點P,執(zhí)行作圖/軌跡選項，作出圓錐面,并用淺顏色表示。作截面：依次選定點O和C并標記為向量，把點O按標記向量平移兩次得點C,使OC=2|OC|。過點C作平行于CD的直線a交HA于點D。在直線a上任取一點M,選定點M和C并標記為向量，把點C按標記向量平移得點M。過點M作EE平行線d,在d上任取一點N,選定點N和M并標記為向量，使點M按標記向量平移得點N。依

18、次選定點M和M并標記為向量，使點N,N按標記向量平移得點Q和Q。隱藏直線d,用線段連接N、N、Q、Q得截面NNQQ,并涂上淺黃色。作圓錐曲線：先求作截面NNQQ與棱HP的交點G。過點D作OA平行線交OH于O點。分別過點O和D作線段OP和FF的平行線b和c,并交于點R。作直線RC,求得RC與PP的交點G,即為截面與棱PP的交點。隱藏除直線a外的所有直線。求點G的軌跡，同時選定點G和點P,執(zhí)行作圖/軌跡選項，求得截面與錐面相交的圓錐曲線。根據截面不同位置,點G的軌跡可分別形成橢圓、拋物線、雙曲線等,建立動畫按鈕控制截面的運動,改標簽為“圓錐曲線”。用同樣方法，可求得圓錐曲線在水平面上的投影，即過G

19、點作AO的垂線與PO交于點G,求點G的軌跡即是。在控制圖上選取四個特殊點,此時所成圓錐曲線為雙曲線、拋物線、橢圓、圓。分別構造到這幾個點的移動按鈕，并改名為“雙曲線”“拋物線”、“橢圓”、“圓”如圖2所示：第二類課件圓錐曲線的畫法選題：圓錐曲線的畫法雖然很多種，但歸納起來有以下五種：利用圓錐曲線的第二定義；利用圓錐曲線的第一定義；利用圓錐曲線的參數方程；利用圓錐曲線的極坐標方程；利用圓錐曲線的標準方程。此部分將將詳細介紹以上方法，并將以動態(tài)的形式展示出來。一、由第二定義出發(fā)統(tǒng)一構造橢圓、拋物線和雙曲線原理：到定點和定直線的距離之比等于定值m的點的軌跡：當0m1時，軌跡為雙曲線。制作過程：1）如

20、圖（3）所示：打開一個新畫板，畫一條豎直的直線j（定直線）和直線外一點A（定2）取點C,B作圓C1,交直線k于E。3）新建參數t，并標記比值，讓點E以C為中心，按標記比進行縮放得E。4）取C，E作圓C2，取CA的中點G和點C作圓C3,交C2于F。5）用直線連接A,F交直線k于D，則AD/CD二CE/CE=1/1。6）選中C,D作軌跡，作點D關于直線l的對稱點D,選中C,D作軌跡，最后隱藏不必要的對象。說明：（1）在圓Cl中，CB=CE，在圓C2中，CF=CE，在/BCF和/ADC中，因為ZCFB=ZACD=ZBAC,ZCBF=ZDAC（同弧上的圓周角相等），所以/BCF和/ADC為相似三角形。

21、則CB/CF=AD/CD=CE/CE=m=1/1,即定點A和定直線j距離之比等于定值m。（2）單擊運動參數t按鈕，比值m隨之改變，這時可以動態(tài)地看到，當m小于1的值逐漸變?yōu)?時，軌跡由橢圓變成拋物線；當m大于1時，軌跡變成雙曲線。二、由第一定義出發(fā)，構造橢圓和雙曲線及拋物線原理：橢圓（雙曲線）到定點的距離和定直線的距離之和（差）等于定值的點的軌跡拋物線到定點的距離和定直線的距離相等的點的軌跡。制作過程：橢圓（或雙曲線）的制作：6644EFQ55-01-5510H4-2-H圖4圖5（1）作出平面直角坐標系，在x軸上任取兩點作圓，標記圓心的點記為F，另一點隱藏。1再x軸上任取一點記為F（在圓內時并

22、且不與F重合時如圖（4），軌跡為橢圓，在圓外時21如圖（5），軌跡為雙曲線），在圓上任取一點M。（2）過F、M作直線MN，交圓于另一點N。聯結FM、FN，并且作它們的中垂線，與122直線MN相交于A、B。AB即為過焦點F的橢圓（或雙曲線）的弦，FA、FB就是橢圓112（或雙曲線）的焦半徑。1）F（-,0（P0）是兀軸正向上的自由點，過F的動直線與y軸交于M,過M作FM的12丿垂線,交x軸于N,作與N關于M對稱的點P。如圖（6）2）選擇點M、P,單擊構造/軌跡,得點P的軌跡為拋物線,方程為y2=2px。FP是它的一條焦半徑。2P說明：設過F的拋物線的焦點弦為PQ。設ZXFP=a則過拋物線焦點的弦

23、長為一,sin2a這樣可以計算出FQ,以F為圓心，以算出的值FQ為半徑作圓，可以找出點Q。從而作出拋物線的焦點弦。三、利用參數方程構造橢圓和雙曲線作橢圓原理：利用橢圓參數方程x二acos0y二bsin0制作過程：1）如圖（7）所示:開一個新畫板，畫線段AB，以A為圓心，AB為半徑構造大圓C1。2）構造過點A與AB垂直的直線k，在直線k上取一點C,以A為圓心，以AC為半徑構造小圓C2。3）在大圓C1上任取一點D,構造過點D和點A的直線l,直線l與小圓C2交于E。4）構造過E與AB平行的直線m。5）構造過D與AB垂直的直線n,并構造m與n的交點F。6）建立軌跡：同時選中點D和點F,單擊構造/軌跡選

24、項，畫板顯示橢圓，拖動點A或點C,可以改變橢圓的形狀。7）除了保留點A,B,C和橢圓軌跡外，隱藏其它對象。作雙曲線原理：利用雙曲線參數方程；x二asecfy=btgO制作過程：1）打開一個新畫板，單擊圖表/定義坐標系，建立直角坐標系，標記原點為A,單位點為B。2）在x軸上取一點C,按順序選取A,C,單擊作圖/以圓心和圓周上的點繪圓記為C1，同樣，在y軸上取一點D,構造以A為圓心通過點D的圓C2。3）在C1上取一點E（自由點），構造過A,E的直線j。4）構造過E和AE垂直的直線k,并構造k與橫軸的交點F。同樣構造過F與x軸垂直的直線l.5）構造C2與x軸正向的交點G,并構造過G與x軸垂直的直線m

25、,交直線j于H,過H與x軸平行的直線o,交直線l于I點。6）構造軌跡：同時選中點E和點I,單擊作圖/軌跡。隱藏不必要的對象。說明：（1）選中I點，單擊顯示/追蹤交點，再選中E點，單擊編輯/操作類按鈕/動畫,并把標簽改為“雙曲線”隱藏除I點和坐標軸的其它對象。單擊“雙曲線”按鈕可動態(tài)演示雙曲線的形成。如圖（8）所示：圖8四、利用在極坐標系下，圓錐曲線的統(tǒng)一方程卩=ep一1-ecosO原理：在極坐標系中，橢圓、拋物線、和雙曲線的統(tǒng)方程為p=ep1-ecosO當0e1時，方程代表橢圓;當e=1時，方程代表拋物線;當el時，方程代表雙曲線。制作過程：1）打開一個新畫板，單擊編輯/參數選項，在打開的“參

26、數選項”對話框中單擊“單位”，把角度選為弧度并單擊“確定”。2）單擊圖表/定義坐標系,再單擊圖表/隱藏網格，標記原點為O單位點為B。如圖（9）所示：|運動點E得不同的圓錐曲線e=2.28mZBOG=0.18冗弧度1-e-cos(mZBOG)10FO=2.14厘米P=2.14厘米CE=2.28CD3）畫射線CD，在CD上畫一點E，在極軸的反向延長線上畫一點F。4）度量線段CE、CD、FO的長，過F作極軸的垂線k.設PO=p。5）計算CE/CD，設CE/CD=e。隱藏CD、CE的度量值。6）畫單位圓，在單位圓上畫一點G。先選擇點B、G、單位圓，單擊構造/圓上的弧,順序選取點B、0、G,單擊度量/角

27、度,得ZBOG的大小，設ZBOG=0。用線段連結0、G,選中弧BG并單擊構造/弧內部/扇形內部,扇形即被著色。7)計算p=ep1-ecos08)先后選擇計算值p=EP-1-ecos0，角度值0（注意順序），并單擊圖表/繪制點，得到的點記為H。同時選擇G、H,單擊構造/軌跡,得到方程p=EP的曲線。1-ecos09）選中點E,單擊編輯/操作類按鈕/動畫，彈出如圖（10）所示：對話框。修改標簽為“運動點E得不同的圓錐曲線”說明:1.拖動F可以改變參數p的大小。卻計宜簾助(M)I取稍|:111女圖11單擊“運動點E得不同的圓錐曲線”E點在射線CD上運動，當E點在CD之間運動時得橢圓，在D點時得拋物線

28、，在D右側得雙曲線。五、利用橢圓、拋物線和雙曲線的標準方程作曲線這里只介紹橢圓的作法，拋物線和雙曲線同樣可以作出。橢圓的制作原理：由橢圓的標準方程蘭+21=1可得y=土brO2二2,這樣我們先作出y=勺圖象，然后再作出a2b2aay=-a2-x2的圖象，最后即得橢圓曲線。a制作過程：1）打開一個新畫板單擊圖表/定義坐標系，建立直角坐標系。標記原點為A。如圖（12）所示2=1.12a=2.78厘米b=1.40厘米CE=1.67b)圖132）在x軸上取一點C,在y軸上取一點D，然后度量A、C兩點的距離。選中A、C。單3）擊度量/距離,同樣度量A,D兩點的距離。分別改標簽為a、b。4）在x軸上取一點

29、E,并度量其橫坐標X。E5）單擊度量/計算,輸入如圖（11）所示：計算出I:a2-x2的值，選擇x,計算值a、EEa2-x2（注意順序）單擊圖表/繪制（x,y），得點F。a上E6）作軌跡：選中E、F,單擊作圖/軌跡,作出上半個橢圓。7）雙擊x軸，這樣把x軸標記為鏡面，選中點F,單擊變換/反射,得到的點為F。然后選中E、F單擊作圖/軌跡,作出下半個橢圓。8）選中上半個橢圓，單擊編輯/屬性,得如圖（13）所示對話框，并把采樣數量改為5000,然后單擊“確定”同樣修改下半圓的屬性。這樣可以使橢圓的圖像比較平滑。第三部分學習幾何畫板的體會計算機在數學教學中有著它的獨特作用，在輔助學生認知的功能要勝過以

30、往的任何技術手段。在幫助學生系統(tǒng)地復習、運用知識方面也有著比傳統(tǒng)教學更先進的模式，特別它的表述的方式很靈活，可以以文字、圖形、動畫、電影、圖表等多種方式出現。再加入良好的教學軟件輔助更顯示出計算機輔助教學的強大優(yōu)勢。所以，當代教師應該掌握計算機輔助教學，并達到對一兩種軟件的熟練使用。幾何畫板作為優(yōu)秀的教學軟件之一，是一個通用于數學，物理，天文的教學平臺。其豐富的功能使用戶可以隨心所欲的編寫所需的教學課件。該軟件提供了充分的技術手段幫助用戶實現其教學思想。用戶只要熟悉它的簡單使用技巧就可以自行設計和編寫應用范例，無需學習任何編程語言。所做的課件所體現的并不是設計者的計算機軟件應用水平，而是他具有的數學教學思想和實際教學水平。幾何畫板不僅能夠幫助教師擴展在傳統(tǒng)教學中的能力，而且還為新的教學方法提供了可能。在新的教學方法中，強調學生的主體參與，學生課堂的主體，通過學生的參與來幫助學生更好